第一節(jié)不定積分概念及其線性法則

第一節(jié)不定積分的概念及其線性法則一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的線性運(yùn)算法則四、直接積分法

引例設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)(1,2),所求曲線方程為定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念

1.原函數(shù)

設(shè)

f(x)在區(qū)間

I內(nèi)有定義，若存在可導(dǎo)函數(shù)

F(x)使對(duì)每一個(gè)

xI有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

，則稱

F(x)為

f(x)在區(qū)間

I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)

.關(guān)于原函數(shù)有以下三個(gè)問題：1)f(x)滿足什么條件,其原函數(shù)一定存在？2)若f(x)有原函數(shù),其原函數(shù)有多少個(gè)？3)f(x)的全體原函數(shù)如何表示?原函數(shù)存在定理

若f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)

,則在區(qū)間I內(nèi)一定存在f(x)的原函數(shù).簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).若f(x)有原函數(shù),則f(x)的原函數(shù)有無窮多個(gè).若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)的全體原函數(shù)可表示為F(x)+C.(C為任意常數(shù))任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)2.不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量若F(x)

是f(x)在區(qū)間I

內(nèi)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)在區(qū)間I

內(nèi)的全體原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I

內(nèi)的不定積分,例1

求例2

求3.不定積分的幾何意義不定積分稱為積分曲線族,且在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處每條曲線上的切線斜率相等都為f(x),即在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處各切線相互平行.y=F(x)為平面上的一條曲線.y=F(x)+C為平面上的一族曲線.設(shè)

F(x)

是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為積分曲線.結(jié)論：求不定積分的運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆的.4.不定積分與微分(導(dǎo)數(shù))的關(guān)系由此根據(jù)微分公式可得積分公式.二、基本積分表P172(k

是常數(shù));二、基本積分表P172(k

是常數(shù));解例1

求例

2求積分解三、不定積分的線性運(yùn)算法則(性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)線性組合的情況)四、直接積分法

直接積分法

根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式,直接求出不定積分的方法.例1

求下列不定積分：例1

求下列不定積分：說明以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形才能使用基本積分表.解解解4.

求積分解5.

求積分解6.

求積分解7.

求積分解8.

求積分解9.

求積分解解在求f(x)的所有原函數(shù)中,有時(shí)需要確定一個(gè)滿足條件y(x0

)=y0

的積分曲線.即求通過點(diǎn)(x0

,y0)的積分曲線.這個(gè)條件一般稱為初始條件,它可以唯一確定積分常數(shù)C的值.例2

解故所求曲線方程為例3解例4解注意:1)導(dǎo)數(shù)是唯一的,但原函數(shù)不唯一.2)任一初等函數(shù)都可求導(dǎo)數(shù),且導(dǎo)數(shù)一般也為初等函數(shù),但一些初等函數(shù)的不定積分就不能用初等函數(shù)來表示.這些不定積分的原函數(shù)存在,但不能用初等函數(shù)來表示.3)不定積分與變量符號(hào)有關(guān).基本積分表不定積分的性質(zhì)

原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分是互逆關(guān)系四、小結(jié)思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？思考題解