2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市第一六二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市第一六二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，則

(

）A．2

B．4

C．

D．10參考答案：A2.已知集合，集合，則（

） A． B． C． D．參考答案：D3.已知集合，，則A∩B=（ ）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵，，∴.

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．8+π B．8+π C．4+ D．4+參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)四棱柱與半球的組合體，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)四棱柱與半球的組合體，故體積V=1×2×4+×=8+π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積與表面積，棱柱的體積與表面積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔．5.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m參考答案：B考點(diǎn)：直線與平面平行的判定．分析：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：A，根據(jù)線面垂直的判定定理判斷．C：根據(jù)線面平行的判定定理判斷．D：由線線的位置關(guān)系判斷．B：由線面垂直的性質(zhì)定理判斷；綜合可得答案．解答：解：A，根據(jù)線面垂直的判定定理，要垂直平面內(nèi)兩條相交直線才行，不正確；C：l∥α，m?α，則l∥m或兩線異面，故不正確．D：平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，不正確．B：由線面垂直的性質(zhì)可知：平行線中的一條垂直于這個(gè)平面則另一條也垂直這個(gè)平面．故正確．故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判定定理，也蘊(yùn)含了對(duì)定理公理綜合運(yùn)用能力的考查，屬中檔題6.如果等差數(shù)列中，，那么（

）A.14

B.21

C.28

D.35參考答案：C略7.圓心在軸上，半徑為2，且過點(diǎn)的圓的方程為（

）、

、

、、參考答案：A略8.對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則改樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是

（

）

A．46，45，56

B．46，45，53

C．47，45，56

D．45，47，53參考答案：A9.定義函數(shù)，若存在常數(shù)，對(duì)任意的，存在唯一的，使得，則稱函數(shù)在上的幾何平均數(shù)為.已知，則函數(shù)在上的幾何平均數(shù)為（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略10.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，.現(xiàn)有以下三種敘述：①是函數(shù)的一個(gè)周期；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③是偶函數(shù).其中正確的是

(

)A．②③

B.①②

C．①③

D.①②③參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為．類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為

參考答案：12.已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝()x．若存在x0∈[，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

▲

．參考答案：試題分析：由得，即，所以，．存在x0∈[，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，即，，設(shè)（），則，時(shí)，，設(shè)，則，而，易知在是遞減，在上遞增，因此，，所以，即．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．解題時(shí)需由奇偶性定義求出函數(shù)的解析式，存在x0∈[，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，其中等式可轉(zhuǎn)化為，這樣求的取值范圍就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．當(dāng)然在求函數(shù)值域時(shí)還用到換元法和的單調(diào)性，問題進(jìn)一步進(jìn)行了轉(zhuǎn)化．13.甲、乙、丙、丁、戊名學(xué)生進(jìn)行講笑話比賽，決出了第一到第五的名次，甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”．從這個(gè)回答分析，人的名次排列共__________（用數(shù)字作答）種不同情況參考答案：先排乙，有種排法；再排甲，也有種排法，余下個(gè)有種排法，故人的名次排列共有種不同情況．14.對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xn（1﹣x）在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是

．參考答案：2n+1﹣2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；數(shù)列的求和．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：欲求數(shù)列的前n項(xiàng)和，必須求出在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率即得直線方程進(jìn)而得到切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．最后利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算，從而問題解決．解答： 解：y′=nxn﹣1﹣（n+1）xn，曲線y=xn（1﹣x）在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣1﹣（n+1）2n切點(diǎn)為（2，﹣2n），所以切線方程為y+2n=k（x﹣2），令x=0得an=（n+1）2n，令bn=．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為2+22+23+…+2n=2n+1﹣2．故答案為：2n+1﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式．解后反思：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率時(shí)，要首先判定所經(jīng)過的點(diǎn)為切點(diǎn)．否則容易出錯(cuò)．15.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：16.設(shè)全集，集合，，則=

▲

，=

▲

，=

▲

.參考答案：=，=，=.17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，則邊長(zhǎng)b的等于

．參考答案：4【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用．【專題】解三角形．【分析】由已知條件利用正弦定理得ba=2cb，從而得到c=2，由此利用余弦定理能求出邊長(zhǎng)b的值．【解答】解：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，∵，∴ba=2cb，從而a=2c，又a=4，所以c=2，∴．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的邊長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理和余弦定理的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）求證：直線CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一點(diǎn)G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小為，若存在，確定G的位置，若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在PC上取一點(diǎn)F，使PF=2FC，連接MF，NF，結(jié)合已知可得MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．從而可得MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．再由線面平行的判定可得直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．進(jìn)一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由線面垂直的判定可得直線CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G點(diǎn)位置．【解答】證明：（Ⅰ）在PC上取一點(diǎn)F，使PF=2FC，連接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．又AM?平面PNC，∴直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）∵E是AB中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．又DE∩PD=D，∴直線CD⊥平面PDE；解：（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)面PDA的法向量，由，得．設(shè)面PDG的法向量，由，得．∴cos60°=．解得，則．∴G與B重合．點(diǎn)B的位置為所求．19.設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)為正項(xiàng)的等比數(shù)列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.

(1)求{an},

{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn;參考答案：解：（1）設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則依題意有q>0,……3分解得d=2,q=2.所以an=2n-1,

bn=2n-1

((2),Sn=1+

2Sn=2+3+

兩式相減得：Sn=2+2(=2+20.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立直角坐標(biāo)系.（I）求曲線的極坐標(biāo)方程；（II）過點(diǎn)作斜率為1直線與曲線交于，兩點(diǎn)，試求的值.參考答案：（I）由得，∴即：圓的極坐標(biāo)方程為.（II）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，直線:（為參數(shù)）和圓的方程聯(lián)立得：，所以，所以，21.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得.綜上，的解集為.（2）（方法一）由得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值5，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值5，故，即的取值范圍為.（方法二）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值5，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值5，故，即的取值范圍為.22.(本小題滿分12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)(1)求證：BC1∥平面CA1D(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B(3)若底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，BB1=求三棱錐B1-A1DC的體積參考答案：證明：（1）連接AC1交A1C于點(diǎn)E，連接DE因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C是矩形，則E為AC1的中點(diǎn)E又D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC1，