2022年度湖南省衡陽市衡東縣東煙中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析

2022年度湖南省衡陽市衡東縣東煙中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與P到直線的距離和的最小值是（

）A. B. C.3 D.參考答案：D【分析】先求出焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程，過P作PN垂直直線x＝﹣1，有|PN|＝|PF|，連接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，從而只求|FA|即可．【詳解】由y2＝4x得p＝2，1，所以焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線x＝﹣1，過P作PN垂直直線x＝﹣1，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以有|PN|＝|PF|，連接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，所以P為AF與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，﹣1）的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣1的距離之和的最小值為|FA|，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與P到直線的距離和的最小值是.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．2.某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè)，命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A．甲的極差是29 B．甲的中位數(shù)是25C．乙的眾數(shù)是21 D．甲的平均數(shù)比乙的大參考答案：B【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】通過莖葉圖找出甲的最大值及最小值求出極差判斷出A正確；找出甲中間的兩個(gè)數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即數(shù)據(jù)的中位數(shù)，判斷出B錯(cuò)誤，根據(jù)眾數(shù)的定義判斷C正確；根據(jù)圖的集中于離散程度，判斷出甲的平均值比乙的平均值大，判斷出D正確；【解答】解：由莖葉圖知，甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，A正確；甲中間的兩個(gè)數(shù)為22，24，所以甲的中位數(shù)為×（22+24）=23，B錯(cuò)誤；乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以眾數(shù)是21，C正確；甲命中個(gè)數(shù)集中在20以上，乙命中個(gè)數(shù)集中在10和20之間，所以甲的平均數(shù)大，D正確．故選：B．3.拋物線上的兩點(diǎn)、到焦點(diǎn)的距離之和是，則線段的中點(diǎn)到軸的距離是（）

A．B．C．D．參考答案：A4.已知向量,則的充要條件是（）

參考答案：A略5.已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，等比數(shù)列{bn}的公比q是小于1的正有理數(shù)．若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】確定的表達(dá)式，利用是正整數(shù)，q是小于1的正有理數(shù)，即可求得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2∴=∵是正整數(shù)，q是小于1的正有理數(shù)．令=t，t是正整數(shù)，則有q2+q+1=∴q=對(duì)t賦值，驗(yàn)證知，當(dāng)t=8時(shí)，有q=符合題意故選C．6.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A．2 B．3 C．6 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】先求出左焦點(diǎn)坐標(biāo)F，設(shè)P（x0，y0），根據(jù)P（x0，y0）在橢圓上可得到x0、y0的關(guān)系式，表示出向量、，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算將x0、y0的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進(jìn)而可確定答案．【解答】解：由題意，F(xiàn)（﹣1，0），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則有，解得，因?yàn)?，，所?，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x0=﹣2，因?yàn)椹?≤x0≤2，所以當(dāng)x0=2時(shí)，取得最大值，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力．7.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），離心率，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，從而可得a=2，b=，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，故a=2，b=，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．8.等比數(shù)列中，,,,則（

）

A

B

C7

D6參考答案：D9.設(shè)是三個(gè)內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊，且，那么直線與直線的位置關(guān)系A(chǔ).平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.重合參考答案：B略10.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，

A．36

B．18

C．72

D．9

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線及直線0截圓C所得的弦長均為10，則圓C的面積是__________。參考答案： 12.下列命題中_________為真命題．①“A∩B=A”成立的必要條件是“AB”；②“若x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題；③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；④“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”的逆否命題．參考答案：②④13.設(shè)，，且，則

.參考答案：

略14.已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，的面積分別為則______．參考答案：4【分析】由離心率公式可得a、b、c的關(guān)系，設(shè)出的方程，以及點(diǎn)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩點(diǎn)間距離公式，可得取最值時(shí)P的位置，由三角形的面積公式，可得答案.【詳解】解：離心率為，即，，可得的方程為，設(shè)，可得由表示原點(diǎn)與的距離的平方，顯然垂直于時(shí)，最小，由，即，聯(lián)立直線，可得，即，當(dāng)與重合時(shí)，可得的距離最大，可得即有故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考察雙曲線的性質(zhì)，考察推理論證和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題型.15.已知函數(shù)，若成立，則＝______參考答案：

14,

15,1

16，16.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ① ②AB與CM所成的角為600③EF與MN是異面直線 ④以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_______.參考答案：1,3略17.過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】把x=﹣c代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)∠F1PF2=60°推斷出=整理得e2+2e﹣=0，進(jìn)而求得橢圓的離心率e．【解答】解：由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了考生綜合運(yùn)用橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和分析推理的能力，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：已知在全部人中隨機(jī)抽取人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)；（2）能否認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；(參考公式：，其中)參考答案：解：(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：

(4分）（2）∵

（10分）∴有99%以上的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān).

（12分）

略19.（本小題滿分12分）已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓C：相交于兩點(diǎn)。（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且,求直線的方程.參考答案：（本小題滿分10分）已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓C：相交于兩點(diǎn)。（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求直線的方程.解：（1）設(shè)過點(diǎn)的直線方程：，即：?！?分已知，圓C的圓心C：（2,3），半徑R=1。故，解得：，。Ks5u此時(shí)，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線與圓C：相交于兩點(diǎn)。

……………4分（2）設(shè)圓C上兩點(diǎn),,經(jīng)過M、N、A的直線方程：，（，），圓C:。由已知條件，可列：，

……………①，

……………②，

……………③，

……………④①

-②：，即：

……………⑤由④和⑤得，，

……………⑥解之為，，。恰好為（2，3），即為圓心C。

……………8分故，直線的方程為:，寫成一般式為：?！?0分略20.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=． （1）求b的值； （2）求sinC的值． 參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理． 【專題】解三角形． 【分析】（1）由余弦定理代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；（2）由cosB=可得sinB=，由正弦定理=，代值計(jì)算即可． 【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB， 代入數(shù)據(jù)可得b2=4+25﹣2×2×5×=17， ∴b=； （2）∵cosB=，∴sinB== 由正弦定理=，即=， 解得sinC= 【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理的簡單應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題． 21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)A（，﹣）．（1）求橢圓的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B（不同于點(diǎn)A）在橢圓C上？若存在求出此時(shí)直線l的方程，若不存在說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由已知，焦距為2c=2，解得c=．又在橢圓C上，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得a2，b2．（2）當(dāng)k=0時(shí)，直線l：y=1，點(diǎn)不在橢圓上；當(dāng)k≠0時(shí)，可設(shè)直線，即，代入橢圓方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱，則其中點(diǎn)在直線y=kx+1上，解得k，進(jìn)而判斷出結(jié)論．【解答】解：（1）由已知，焦距為2c=2，解得c=．又在橢圓C上，∴=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得a2=3，b2=1．故所求橢圓的方程為：=1．…（2）當(dāng)k=0時(shí)，直線l：y=1，點(diǎn)不在橢圓上；…當(dāng)k≠0時(shí)，可設(shè)直線，即，代入橢圓方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，∵，∴，…若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱，則其中點(diǎn)在直線y=kx+1上，∴，解得k=﹣1．因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在直線y=﹣x+1上，…所以對(duì)稱點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，不合題意所以不存在y2=4x滿足條件…22.(本小題滿分12分）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理(即確定一個(gè)居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn),用水量不超過的部分按照平價(jià)收費(fèi)，超過的部分按照議價(jià)收費(fèi)).為了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量(單位:)，制作了頻率分布直方圖.(1)由于某種原因頻率分布直方圖部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，請(qǐng)?jiān)趫D中將其補(bǔ)充完整；(2)用樣本估計(jì)總體，如果希望80%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn),則月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)定為多少噸，請(qǐng)說明理由；