2022年河南省南陽(yáng)市板場(chǎng)道川中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年河南省南陽(yáng)市板場(chǎng)道川中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若tanθ+=4，則sin2θ=（）A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)： 二倍角的正弦；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．

專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 先利用正弦的二倍角公式變形，然后除以1，將1用同角三角函數(shù)關(guān)系代換，利用齊次式的方法化簡(jiǎn)，可求出所求．解答： 解：sin2θ=2sinθcosθ=====故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了二倍角公式，以及齊次式的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)全集，集合，，則

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.已知復(fù)數(shù)z滿足，則=

（

）

A．-2i

B．-2

C．2i

D．2參考答案：A4.已知函數(shù)，，關(guān)于方程（為正實(shí)數(shù)）的根的敘述有下列四個(gè)命題

①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根

其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：D略5.有一個(gè)正方體的玩具，六個(gè)面標(biāo)注了數(shù)字1，2，3，4，5，6，甲、乙兩位學(xué)生進(jìn)行如下游戲：甲先拋擲一次，記下正方體朝上的數(shù)字為，再由乙拋擲一次，朝上數(shù)字為，若就稱甲、乙兩人“默契配合”，則甲、乙兩人“默契配合”的概率為（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：D甲、乙兩人拋擲玩具所有可能的事件有36種，其中“甲、乙兩人‘默契配合’”所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16種。∴甲乙兩人“默契配合”的概率為。∴選D。6.若復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=5(其中i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A7.設(shè)集合，，則M∩N=（）A.{－2,－1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{1,2}參考答案：C【分析】先求解集合N中的不等式，再求交集即可。【詳解】；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，求兩個(gè)集合的交集，屬于基礎(chǔ)題。8.設(shè)命題p：，則p為（

）A．

B．C．

D．參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】全稱量詞與存在性量詞【試題解析】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，p為：。

故答案為：A9.設(shè)集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，則A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【分析】求解指數(shù)函數(shù)的值域化簡(jiǎn)A，求解一元二次不等式化簡(jiǎn)B，再由并集運(yùn)算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查并集及其運(yùn)算，考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．10.設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)。若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑(

)A．成正比，比例系數(shù)為C

B．成正比，比例系數(shù)為2CC．成反比，比例系數(shù)為C

D．成反比，比例系數(shù)為2C參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)向量＝(1，2)，＝(2，3)，若向量λ+與向量＝(?4，?7)共線，則λ=____________.參考答案：2略12.如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，，設(shè)∥，若，則的值為

．參考答案：13.的最大值為

.參考答案：14.在等腰直角三角形中，，在斜邊上任取一點(diǎn)，則的概率為

參考答案：15.若函數(shù)的圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的解析式為

．參考答案：16.設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則x取值集合是

.參考答案：17.已知a∈(，)，sinα=，則tan2α=

參考答案：.法一：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正切公式，難度較低.

因?yàn)椋?，所以，?/p>

所以.法二：，，由三角函數(shù)定義，，，，，所以，所以.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)．（1）求g(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）直接對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得減區(qū)間；（2）先判斷是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由f(x)=0得，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得的大致圖像，分析y=a與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得到函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（3）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)變形構(gòu)造出函數(shù)h(x)=f(x)-ag(x)，通過(guò)研究該函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的最小值大于等于0恒成立，求得a即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，g(x)遞減,故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由f(x)=0得，，，當(dāng)時(shí)，遞減且，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，故，,大致圖像如圖，∴當(dāng)時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=e或時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).（3）h(x)=f(x)-ag(x)=x，,設(shè)的根為，即有，可得，時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，，∴【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的分類討論及轉(zhuǎn)化思想，考查了不等式的恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于難題．19.（本小題滿分12分）

如圖，正四棱錐S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分別為BC、SC、DC的中點(diǎn)，設(shè)P為線段FG上任意一點(diǎn)．

（l）求證：EP⊥AC;

（2）當(dāng)直線BP與平面EFG所成的角取得最大值時(shí)，求二面角P-BD-C的大小．參考答案：(1)證：設(shè)AC交BD于O，

∵S－ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC

1分

又∵BD⊥AC，

又∵，∴. 4分(2)解：設(shè)AB=2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，)，F(xiàn)(，，)，B(1，，0) 5分

∴

設(shè)，

故點(diǎn)

∴ 6分

設(shè)面EFG的法向量為n=(abc)

∵

∴，令a=1得n=(1，1，0) 7分

設(shè)BP與平面EFG所成角為，則

= 8分

∵點(diǎn)P在線段FG上，∴，即=1時(shí)取最大值

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合 9分

設(shè)二面角P－BD－C的大小為

∵點(diǎn)P到平面ABCD的距離為，點(diǎn)P到BD的距離為1 10分

則

∴二面角P－BD－C的大小為． 12分20.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE∥平面A1BD。（Ⅰ）求證：點(diǎn)D是CC1的中點(diǎn)；（Ⅱ）若A1D⊥BD，求平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值。參考答案：見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何綜合解：（Ⅰ）取A1B1的中點(diǎn)F，連接FC1，EF，設(shè)EF，A1B=G，連接CD，

由作圖過(guò)程易得：四邊形CEFC1為平行四邊形，EC∥AA1。

在△AA1B中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G是A1B的中點(diǎn)，

EG=AA1=CC1。

又CE∥平面A1BD，CE平面EFC1C，

且平面EFC1C平面A1BD=DG，

∴DG∥CE，又∵EG∥CD

∴四邊形CEGD為平行四邊形，CD=EG=CC1，

∴點(diǎn)D是CC1的中點(diǎn)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EF∥AA1，AA1⊥平面ABC，

∴EF⊥平面ABC

又△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴CE⊥AB且CE=

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)EF=2h，

則B(1,0,0)，C(0,

,0)，F(xiàn)(0,0,2h)，A1(-1,0,2h)，D(0,,h)，

，，，

由A1D⊥BD可知：，h=

由z軸⊥平面ABC可得：平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)。

設(shè)平面A1BD的法向量為=(x,y,z)，

由，得，

令x=，則

∴平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為。

21.A．選修4-1：幾何證明選講如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝2，過(guò)C作圓O的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點(diǎn)D、E，求線段AE的長(zhǎng)．參考答案：A．在Rt△ABC中，因?yàn)锳B＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，因?yàn)閘為過(guò)C的切線，所以∠DCA＝∠CBA，所以∠DC