《橢圓及其標準方程》設(shè)計曾宇燕

《橢圓及其標準方程》教學(xué)設(shè)計福州金山中學(xué)曾宇燕一、教材分析１．教材背景《橢圓及其標準方程》是人教版選修2-1（A版）第二章《圓錐曲線與方程》節(jié)的內(nèi)容。新課程標準將本節(jié)內(nèi)容授課時間安排為兩個課時。本節(jié)作為第一課時，重在理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。２．本課的地位和作用橢圓是“圓錐曲線”的重要組成部分，既是“圓”的延伸，又是今后學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。同時，橢圓又是前一課題“曲線與方程”的深化，是進一步使用坐標法研究曲線的經(jīng)典素材，對學(xué)生深入了解解析幾何思想具有積極意義。二、學(xué)情分析知識上：已學(xué)習(xí)直線和圓的方程、曲線與方程，有一定知識基礎(chǔ)；方法上：初步掌握了坐標法，但仍存在推導(dǎo)障礙；思維上：形象思維與抽象思維并存，且抽象思維占主導(dǎo)；能力上：發(fā)現(xiàn)、分析、概括、數(shù)學(xué)交流能力較強；情感上：大部分學(xué)生好奇，喜表現(xiàn)，樂于探究。三、重難點分析重點：橢圓定義及其標準方程。難點：橢圓定義的歸納以及橢圓標準方程的推導(dǎo)。突破難點的關(guān)鍵：在橢圓定義的歸納中，首先引導(dǎo)學(xué)生分析筆尖滿足的條件，從幾何意義層面對橢圓屬性進行概括，然后教師再利用幾何畫板加以直觀輔助概括。在橢圓標準方程的推導(dǎo)中，在根號的移項中，充分暴露思維的合理性；在方程的化簡過程中，努力追求方程形式的簡潔美以及參量所蘊含的幾何意義。四、教學(xué)目標１．知識與技能理解橢圓的定義；理解橢圓標準方程及其推導(dǎo)過程；掌握求解橢圓標準方程的方法。２．過程與方法通過回顧、實驗、歸納、推導(dǎo)等活動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓定義和標準方程的獲得過程，進而培養(yǎng)學(xué)生分析、概括、推理以及合作交流能力，滲透類比、數(shù)形結(jié)合、坐標法、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價值觀通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受橢圓探索的樂趣，體會橢圓的簡潔美，體會數(shù)學(xué)的嚴謹及數(shù)與形的和諧統(tǒng)一。五、教法與學(xué)法根據(jù)對教材、重難點、目標及學(xué)生情況的分析，確定以下教法、學(xué)法：教法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法；學(xué)法：主要滲透類比、動手實驗、推理論證、反思總結(jié)等學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)。六、教學(xué)過程設(shè)計1.回顧引言，引出課題在本章開章引言中，我們知道圓錐曲線包括圓、橢圓、拋物線、雙曲線，同時通過數(shù)學(xué)史了解到圓錐曲線名稱的由來，而圖片的展示也讓我們認識到圓錐曲線在生活、生產(chǎn)、天文等方面具有重要應(yīng)用。從今天起，我們將系統(tǒng)學(xué)習(xí)圓錐曲線的后三種，首先來學(xué)習(xí)橢圓。提問：怎么來學(xué)習(xí)橢圓？我們是怎么學(xué)習(xí)圓的？[設(shè)計意圖]：引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的學(xué)習(xí)主要過程，類比出橢圓學(xué)習(xí)的主要步驟，進而培養(yǎng)學(xué)生類比學(xué)習(xí)策略，達到會學(xué)的目的。2.動手畫圖，歸納定義實驗操作：取一根定長的繩子，將繩子兩端移開一段距離，并分別固定在兩點上，套上筆后拉緊繩子，移動筆尖，畫出橢圓軌跡。（兩人一組合作）。圖(1)圖(2)[設(shè)計意圖]：通過實驗操作，一方面增強學(xué)生對橢圓的直觀感知，為后面橢圓定義的歸納做好鋪墊；另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生的合作精神與動手操作能力。提問：筆尖移動過程中，動點都滿足什么條件？先讓學(xué)生結(jié)合畫圖過程(如圖(1))，從幾何意義角度進行分析；教師再結(jié)合幾何畫板動態(tài)演示（如圖（2）），從“數(shù)形結(jié)合”角度分析或確認。[設(shè)計意圖]：學(xué)生基于手中所畫的橢圓進行觀察、分析、抽象，從幾何意義角度自主發(fā)現(xiàn)動點滿足的條件；而老師適時對運用幾何畫板的動態(tài)演示，可以進一步直觀地把上述抽象思維觀察直觀化，從而降低學(xué)生的認知負荷，提高教學(xué)效果。得出定義：平面內(nèi)與兩個定點，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。深度挖掘：兩定一動。在此基礎(chǔ)上得出表示橢圓的集合：3.觀察分析，建立方程提問：求解曲線方程一般包括哪些步驟？建系、設(shè)點、列式、化簡。【步驟一】：建系提問：觀察你手中橢圓的形狀，怎樣選擇坐標系才能使橢圓的方程簡單？圖[設(shè)計意圖]：引導(dǎo)學(xué)生在觀察橢圓形狀的基礎(chǔ)上，利用橢圓對稱性建立直角坐標系，進一步培養(yǎng)學(xué)生建立直角坐標系的能力?！静襟E二】：設(shè)點設(shè)橢圓上動點，橢圓焦距為，那么焦點，的坐標分別為，，又設(shè)橢圓上任意一點到兩個焦點距離的和為，當然。提示：這樣設(shè)的目的在于使焦點以及左右兩端點的坐標不出現(xiàn)分式，以便導(dǎo)出的橢圓方程形式簡單?！静襟E三】：列式根據(jù)橢圓定義，橢圓集合為：所以：……①【步驟四】：化簡重點突破：方程左邊有兩個開方根，如果直接兩邊平方，會導(dǎo)致次數(shù)較高，難以化簡。而如果把其中一個根號移到方程右邊，再兩邊平方，化簡過程較為簡單?；喺淼茫禾釂枺哼@個方程有什么特點？還能進一步變式，使其形式更具簡潔美嗎？可得：由橢圓定義可知，,所以，因此。提問：還能進一步變式，使其形式更具簡潔美嗎？觀察圖，你能從中找出表示、、的線段？圖，故可令。[設(shè)計意圖]：說明為什么令，讓學(xué)生感受這一做法的合理性，這樣不僅使方程具有對稱美，而且具有明確的幾何意義。最后整理可得：……②說明：方程②即為橢圓的標準方程，其焦點在軸上，兩個焦點分別是，。變式：如圖所示，如果焦點，在軸上，且，的坐標分別是，，，意義同上，那么橢圓的方程是什么？圖引導(dǎo)學(xué)生分析，不難發(fā)現(xiàn)只要把方程中的，順序?qū)φ{(diào)，就可以得到焦點在軸上的標準方程。因此，橢圓標準方程有兩種形式教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納：①焦點在不同的數(shù)軸上，橢圓的標準方程形式不同，注意對號入座；②在橢圓兩個標準方程中，都有。③，，始終滿足關(guān)系式：。[設(shè)計意圖]：一方面，培養(yǎng)學(xué)生反思總結(jié)良好習(xí)慣；另一方面，通過分析總結(jié)，全面理解橢圓的標準方程。4.例題學(xué)習(xí)，初步應(yīng)用【例題】：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標準方程。分析：方法一：利用橢圓定義；方法二：利用待定系數(shù)法。學(xué)生完成練習(xí)后，教師利用希沃平臺，將典型的幾種答案拍照上傳，在平臺上同時對比分析學(xué)生的不同解法，并利用白板功能實時進行批注講評。[設(shè)計意圖]：學(xué)以致用，加深對橢圓定義及其標準方程的理解和掌握；一題多解，有助于學(xué)生靈活掌握求解橢圓標準方程的策略?！咀兪骄毩?xí)】：已知中，長為，周長為，那么頂點在怎樣的曲線上運動？[設(shè)計意圖]：通過變式教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；進一步加深學(xué)生對橢圓概念的理解；促使學(xué)生在分類討論的基礎(chǔ)上，靈活尋找并應(yīng)用，，關(guān)系式取求解橢圓方程。5.小結(jié)反思，整合強化（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？（2）在推導(dǎo)橢圓標準方程過程中，你哪些學(xué)習(xí)體會？（3）求解橢圓標準方程，需要注意哪些事項？有哪些方法？[設(shè)計意圖]：引導(dǎo)學(xué)生從知識、