2022年遼寧省大連市長(zhǎng)?？h第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2022年遼寧省大連市長(zhǎng)海縣第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集為{x|－3＜x＜2}，則不等式bx2－5x＋a＞0的解集為()A．{x|－＜x＜}

B．{x|x＜－或x＞}C．{x|－3＜x＜2}

D．{x|x＜－3或x＞2}參考答案：B略2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．

B．

C．2

D．1參考答案：C試題分析：因,故,故應(yīng)選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的求法．3.設(shè)集合則參考答案：D略4.已知區(qū)域由不等式組確定，若為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為(

)A.

B.

C.D.參考答案：B5.已知函數(shù)，則一定在函數(shù)圖像上的點(diǎn)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.條件，條件，則是的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A7.若不等式的解集為，則的取值范圍為、

、

、

、參考答案：D8.參考答案：B9.（07年全國(guó)卷Ⅰ理）是第四象限角，，則A．

B．

C． D．參考答案：答案：D解析：是第四象限角，，則－10.已知向量，若為實(shí)數(shù)，，則=

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是等比數(shù)列，，則

.參考答案：1設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則依題意，有，解得，所以.12.某學(xué)校共有師生3200人，先用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本．已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是．參考答案：200【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】根據(jù)學(xué)校的總?cè)藬?shù)和要抽取的樣本容量，做出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，根據(jù)學(xué)生要抽取150人，做出教師要抽取的人數(shù)是10，除以概率得到教師的人數(shù)．【解答】解：∵學(xué)校共有師生3200人，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是=，∴=，∴學(xué)校的教師人數(shù)為10×20=200．故答案是：200．13.(不等式選做題)已知、均為正數(shù)，且，則的最大值為

.參考答案：14.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，其中邊DA在x軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若正方形沿x軸正向滾動(dòng)，先以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B落在x軸上時(shí)，再以B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，當(dāng)正方形ABCD的某個(gè)頂點(diǎn)落在x軸上時(shí)，則以該頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)頂點(diǎn)C（x，y）滾動(dòng)時(shí)形成的曲線為y＝f（x），則f（2019）＝________．參考答案：0【分析】由題可得：是周期為的函數(shù)，將化為，問(wèn)題得解?！驹斀狻坑深}可得：是周期為的函數(shù)，所以.由題可得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好在軸上，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。15.給出下列四個(gè)命題：①②，使得成立；③若函數(shù)f(x)=xsinx，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立 ④在中，若，則是銳角三角形，寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào) 參考答案：①②③④16.若命題p：x＜1，命題q：log2x＜0，則p是q的

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條件．(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)參考答案：必要不充分由log2x＜0得0＜x＜1，則p是q的必要不充分條件，故答案為：必要不充分條件．

17.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）+f（x）=0，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x﹣1，則f（125）=．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)的周期性．【專題】計(jì)算題．【分析】利用奇函數(shù)得到f（﹣x﹣2）=f（x）；利用換底公式將要求的函數(shù)值化簡(jiǎn)；利用已知的恒等式將要求的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化為在【0，1】?jī)?nèi)的自變量的函數(shù)值，代入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式求出值．【解答】解：∵f（x+2）+f（x）=0，f（x）為奇函數(shù)∴f（﹣x﹣2）=f（x）∴∵f（x）=f（﹣x﹣2）∴f（﹣log25）=f（log25﹣2）∵0＜log25﹣2＜1∵x∈[0，1]時(shí)f（x）=2x﹣1∴=故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇函數(shù)的定義、考查對(duì)數(shù)的換底公式、考查對(duì)數(shù)的恒等式、考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半徑為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．（1）分別將直線l和曲線C的方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|．參考答案：考點(diǎn)： 參數(shù)方程化成普通方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．專題： 選作題；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析： （1）消去參數(shù)，可得直線l的普通方程，圓ρ=4cosθ，等式兩邊同時(shí)乘以ρ，可得曲線C的方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；（2）求出圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，即可求|PQ|．解答： 解：（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），普通方程為y=x+2﹣2；圓ρ=4cosθ，等式兩邊同時(shí)乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）為圓心，半徑等于2的圓．圓心到直線的距離為=1，∴|PQ|=2=2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查參數(shù)方程化成普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，比較基礎(chǔ)．19.數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．（Ⅰ）設(shè)bn=an+1﹣an，證明{bn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）求{an}的通項(xiàng)公式．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差關(guān)系的確定．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）將an+2=2an+1﹣an+2變形為：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由條件得bn+1=bn+2，根據(jù)條件求出b1，由等差數(shù)列的定義證明{bn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出bn，代入bn=an+1﹣an并令n從1開(kāi)始取值，依次得（n﹣1）個(gè)式子，然后相加，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出{an}的通項(xiàng)公式an．解答： 解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得，an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，即bn+1﹣bn=2，又b1=a2﹣a1=1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，則a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{an}的通項(xiàng)公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20.已知函數(shù)f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）當(dāng)m=1時(shí)，求證：﹣1＜x≤0時(shí)，f（x）≤；（2）試討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）將m=1代入函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍確定函數(shù)的零點(diǎn)即可．【解答】證明：（1）m=1時(shí)，令g（x）=f（x）﹣，（﹣1＜x≤0），則g′（x）=，當(dāng)﹣1＜x≤0時(shí)，﹣x3≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）遞增，∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤①；解：（2）f′（x）=，②，令f′（x）=0，解得：x1=0或x2=m﹣，（i）m=1時(shí)，x1=x2=0，由②得f′（x）=③，∴x＞﹣1時(shí)，1+x＞0，x2≥0，∴f′（x）≥0，f（x）遞增，∴﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜f（0）=0，x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，故函數(shù)y=f（x）在x＞﹣1上有且只有1個(gè)零點(diǎn)x=0；（ii）0＜m＜1時(shí)，m﹣＜0，且﹣＜m﹣，由②得：x∈（﹣，m﹣]時(shí)，1+mx＞0，mx＜0，x﹣（m﹣）≤0，此時(shí)，f′（x）≥0，同理得：x∈（m﹣，0]時(shí)，f′（x）≤0，x≥0時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣，m﹣]，（0，+∞）遞增，在（m﹣，0]遞減，故m﹣＜x＜0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，∴f（x）在（m﹣，+∞）有且只有1個(gè)零點(diǎn)x=0，又f（m﹣）=lnm2﹣（m2﹣），構(gòu)造函數(shù)ω（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，則ω′（t）=④，易知：?t∈（0，1），ω′（t）≤0，∴y=ω（t）在（0，1）遞減，∴ω（t）＞?（1）=0，由0＜m＜1得：0＜m2＜1，∴f（m﹣）﹣ln（m2）﹣（m2﹣）＞0⑤，構(gòu)造函數(shù)k（x）=lnx﹣x+1（x＞0），則k′（x）=，0＜x＜≤1時(shí)，k′（x）≥0，x＞1時(shí)，k′（x）＜0，∴k（x）在（0，1]遞增，在（1，+∞）遞減，∴k（x）≤k（1）=0，∴l(xiāng)n≤﹣1＜+1，則＜m2，＜m﹣，∴﹣＜x＜時(shí)，m（1+mx）＜﹣﹣1⑥，而﹣mx＜x2﹣mx＜+1⑦，由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+﹣mx＜﹣﹣1++1=0⑧，又函數(shù)f（x）在（﹣，m﹣]遞增，m﹣＞，由⑤⑧和函數(shù)零點(diǎn)定理得：?x0∈（﹣，），使得f（x0）=0，綜上0＜x＜＜1時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，m=1時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)．21.（本小題滿分12分）某班共有學(xué)生40人，將一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．

（1）請(qǐng)根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求出a的值；

（2）從成績(jī)?cè)赱50，70）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選3名學(xué)生，求這3名學(xué)生的成績(jī)都在[60，70）內(nèi)的概率；

（3）為了了解學(xué)生本次考試的失分情況，從成績(jī)?cè)赱50，70）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取3人的成績(jī)進(jìn)行分析，用X表示所選學(xué)生成績(jī)?cè)赱60，70）內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案：（1），（2）（3）123

試題分析：（1）利用頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形面積表示概率，且所有小長(zhǎng)方形面積和為1，得等量關(guān)系，（2）先確定成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生（2）學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的共有40×0.05=2人，在內(nèi)的共有40×0.225=9人，成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生共有11人．

……………4分設(shè)“從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中隨機(jī)選3名，且他們的成績(jī)都在內(nèi)”為事件A，則．