黑龍江省雞西市虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)2022年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)平面與平面相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件2．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．3．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．4．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為，并記相應(yīng)的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．6．設(shè)，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．7．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且在上是增函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．9．設(shè)點(diǎn)，P為曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，圓與相切于點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．12．某中學(xué)有高中生人，初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______．14．甲、乙兩人同時(shí)參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過(guò)的概率分別為和；乙筆試、面試通過(guò)的概率分別為和．若筆試面試都通過(guò)才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨(dú)立，則該次考試只有一人被錄取的概率是__________．15．已知向量，若向量與共線(xiàn)，則________.16．已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩漸近線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示的幾何體中，，四邊形為正方形，四邊形為梯形，，，，為中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人（大小不計(jì)）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度,例如：該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置．記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達(dá)式．21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（10分）在中，為邊上一點(diǎn)，，.（1）求；（2）若，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

試題分析：α⊥β，b⊥m又直線(xiàn)a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線(xiàn)不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.2．A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.3．D【解析】

首先求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：∵，解得∴，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.5．C【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時(shí)有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式，且相應(yīng)極大值，分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)有，，∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí)，∴，，，…，均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴，，∴對(duì)應(yīng)極值，，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題6．D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問(wèn)題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類(lèi)既能考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問(wèn)題，實(shí)有其合理之處.解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問(wèn)題往往有很好效果.7．C【解析】

取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線(xiàn)與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線(xiàn)與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線(xiàn)的夾角，考查計(jì)算能力.8．A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對(duì)于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，涉及到恒成立問(wèn)題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來(lái)處理恒成立問(wèn)題.9．C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．10．A【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個(gè)大于的不等實(shí)根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因?yàn)?，所以有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn)，需且．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．11．D【解析】

由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.12．B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．40【解析】

根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式，求得r的值，進(jìn)而求得系數(shù)．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)式得所以，解得所以系數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】甲被錄取的概率；乙被錄取的概率；只有一人被錄取的概率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

計(jì)算得到，根據(jù)向量平行計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得，因?yàn)榕c共線(xiàn)，所以有，即，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16．【解析】

雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合，可得一條漸近線(xiàn)的斜率為1，即，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．【詳解】解：雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合，一條漸近線(xiàn)的斜率為1，即，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定一條漸近線(xiàn)的斜率為1是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

(1)取的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)和長(zhǎng)度關(guān)系，為平行四邊形，進(jìn)而得到，根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理可證得結(jié)論；(2)以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，所以，，∴為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以；?）由題及（1）易知，，兩兩垂直，所以以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系,則，，，，，，易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角，所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線(xiàn)與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.18．（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點(diǎn)分段討論法求解；（2）對(duì)任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為.討論：①當(dāng)時(shí)，，所以，所以；②當(dāng)時(shí)，，所以，所以；③當(dāng)時(shí)，，所以，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，?duì)任意成立，所以，所以或.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法及恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題一般是轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）通過(guò)證明面，即可由線(xiàn)面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求到面的距離，利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）因?yàn)槔庵侵比庵?，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點(diǎn)所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點(diǎn)睛】本題考查由線(xiàn)面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點(diǎn)面距離，屬綜合中檔題.20．（1）,,,（2）【解析】

（1）根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值；（2）首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）,,（2）設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)（每一步長(zhǎng)度為1）,則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,（其中為不超過(guò)的最大整數(shù)）總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇（向上或向下）,即等價(jià)于求中含項(xiàng)的系數(shù),為其中含項(xiàng)的系數(shù)為故．【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類(lèi)討論的思想.21．（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓的方程為：（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為由，消去可得：，解得：∴，，