廣東省江門市環(huán)中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省江門市環(huán)中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，，，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線BD1的對(duì)稱點(diǎn)為P，則P與C1兩點(diǎn)之間的距離為（

）A．2 B． C．1 D．參考答案：C將長(zhǎng)方形中含有的平面取出，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)到，使，則是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，如圖所示，過(guò)作，垂足為，連接，，依題意，，，，，，，所以．故選C．2.設(shè)為非零向量，則以下說(shuō)法不正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．“”是“存在，使得”的充分不必要條件D．“”是“”的既不充分也不必要條件參考答案：C3.知，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（

）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a參考答案：C【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)a、b、c的大小進(jìn)行比較即可．【解答】解：a=40.3=20.6，b=8==20.75，且20.6＜20.75，∴a＜b；又c=30.75，且20.75＜30.75，∴b＜c；∴a、b、c的大小關(guān)系為：a＜b＜c．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的運(yùn)算法則與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．4.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是（

）A、10海里

B、10海里

C、20里

D、20海里參考答案：A試題分析：如下圖所示，由題意可知，，，，所以，由正弦定理得，所以，故選A.考點(diǎn)：正弦定理.5.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有且當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：D6.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，然后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象，若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[－2,2] B．[－2,2) C．[1,2) D．[－1,2)參考答案：C7.某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為 (A)11 (B)12 (C)13 (D)14參考答案：B由題設(shè)可知區(qū)間[481，720]長(zhǎng)度為240，落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為12人。8.已知實(shí)數(shù)滿足則

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略9.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 A． B． C． D．參考答案：D10.已知函數(shù)f（x）=+2ax+c，a≠0，則它們的圖象可能是(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸，排除選項(xiàng)，利用函數(shù)的單調(diào)性排除C，推出結(jié)果．解答： 解：因?yàn)閒（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，則函數(shù)f′（x）即g（x）圖象的對(duì)稱軸為x=﹣1，故可排除A，D；由選項(xiàng)C的圖象可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，故函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，但圖象中函數(shù)f（x）在（0，+∞）上不具有單調(diào)性，故排除C．本題應(yīng)選B．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象的判斷，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知sin（﹣α）+cos（﹣α）=，則cos（+2α）=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sin（﹣α）+cos（﹣α）=，∴1+sin（﹣2α）=，∴sin（﹣2α）=﹣，∴cos（+2α）=sin（﹣2α）=﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.已知命題不等式的解集是R，命題在區(qū)間上是減函數(shù)，若命題“或”為真，命題“且”為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.參考答案：略13.100名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則測(cè)試成績(jī)落在中的學(xué)生人數(shù)是_________．參考答案：50

14.若冪函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（2,8），則滿足不等式的實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（-∞，3/2）15.已知a∈[0，6]，使得函數(shù)f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定義域?yàn)镽的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出使得函數(shù)f（x）的定義域是R的a的范圍，根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的比值求出滿足條件的概率的值即可．【解答】解：若f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定義域?yàn)镽，則函數(shù)g（x）=ax2﹣ax+1＞0恒成立，a=0時(shí)，顯然成立，a≠0時(shí)，只需，解得：0＜a＜4，綜上，a∈[0，4），故滿足條件的概率p==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查幾何概型問(wèn)題，是一道中檔題．16.某所學(xué)校計(jì)劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件則該校招聘的教師人數(shù)最多是

名.參考答案：10；17.已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為▲

.（

）

▲

參考答案：33

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）橢圓C：(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過(guò)圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程．參考答案：解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c(c>0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝6，所以a＝3.又PF1⊥F1F2，所以|F1F2|＝＝2，即2c＝2，所以c＝.從而b2＝a2－c2＝32－()2＝4.因此，橢圓C的方程為＋＝1.………………5分(2)方法1：圓x2＋y2＋4x－2y＝0的方程可化為(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圓心M的坐標(biāo)為(－2,1)，(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即l⊥x軸時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(－2,0)對(duì)稱，不可能關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以此時(shí)不合題意，舍去.……………7分(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1，由，得＋＝1，即(9k2＋4)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ>0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1＋x2＝2×(－2)，所以－＝－4，即18k＝16，所以k＝.…………………10分而此時(shí)Δ＝(36k2＋18k)2－4(9k2＋4)(36k2＋36k－27)＝144(5k2－4k＋3)＝144×[5×()2－4×＋3]＝144×(＋3)>0，符合題意.所以直線l的方程為y－1＝(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.

……12分方法2：圓x2＋y2＋4x－2y＝0的方程可化為(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圓心M的坐標(biāo)為(－2,1)，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有＋＝1，①＋＝1，②由①－②，得＋＝0.因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，所以＋＝0，即y1－y2＝(x1－x2).若x1＝x2，則AB⊥x軸，此時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(－2,0)對(duì)稱，不可能關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，此時(shí)不合題意，舍去.

……………10分所以，x1≠x2，所以＝，即直線l的斜率為.又直線l過(guò)點(diǎn)M(－2,1)，所以直線l的方程為y－1＝(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.因此，直線l的方程為8x－9y＋25＝0.

…………12分19.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中點(diǎn)，證明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在線段CP上是否存在點(diǎn)Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)Q的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即可證明；（Ⅱ）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角的大??；（Ⅲ）設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用向量方法，即可求解．【解答】（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四邊形ABCD是矩形．∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，若O是CD的中點(diǎn)，OP⊥CD．OP=．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，AB=2BC=2．則O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），P（0，，0）．∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．∴?═0，∴⊥，∴BO⊥PA．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．設(shè)平面BPA的法向量為=（x，y，z），由，取y=1，平面BPA的一個(gè)法向量為=（0，1，）．取=（0，0，1），設(shè)平面PAD的法向量為=（a，b，c），則，取b=1，則=（﹣，1，0）．∴cos＜，＞==，由圖可以看出：二面角B﹣PA﹣D是一個(gè)鈍角，故其余弦值為﹣，正弦值為．（Ⅲ）解：假設(shè)存在Q，直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為，直線AQ與平面ABP的法向量所成角的余弦值為．設(shè)Q（m，（1﹣m），0），則=（m+1，（1﹣m），﹣1），∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程無(wú)解，∴在線段CP上不存在點(diǎn)Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為．20.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)第的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合．點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為（2，π）、（a∈R），曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)）（Ⅰ）若，求△AOB的面積；（Ⅱ）設(shè)P為C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線AB的最小值距離為1，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，A（﹣2，0），B（2，2），由于kOB=1，可得∠AOB=135°．利用S△OAB=即可得出．（2）曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），化為（x﹣1）2+y2=4，圓心C（1，0），半徑y(tǒng)=2．由題意可得：圓心到直線AB的距離為3，對(duì)直線AB斜率分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，A（﹣2，0），B（2，2），∵kOB=1，∴∠AOB=135°．∴．（2）曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），化為（x﹣1）2+y2=4，圓心C（1，0），半徑y(tǒng)=2．∵點(diǎn)P到直線AB的最小值距離為1，∴圓心到直線AB的距離為3，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=﹣2，顯然，符合題意，此時(shí)．當(dāng)直線AB存在斜率時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則圓心到直線AB的距離，依題意有，無(wú)解．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、三角形的面積計(jì)算公式、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.(本題滿分為14分)

的取值范圍.參考答案：22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=a（a≠3），，設(shè)，n∈N*．（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）若an+1≥an，n∈N*，求實(shí)數(shù)a的最小值；（3）當(dāng)a=4時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列{en}，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為Cn，若Cn可以寫成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，則稱Cn為“指數(shù)型和”．問(wèn){Cn}中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．專題：綜合題；新定義．分析：（1）依題意，可求得Sn+1=2Sn+3n，當(dāng)a≠3時(shí)，=2，利用等比數(shù)列的定義即可證得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，從而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，從而可求得實(shí)數(shù)a的最小值；（3）由（1）當(dāng)a=4時(shí)，bn=2n﹣1，當(dāng)n≥2時(shí)，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可證得對(duì)正整數(shù)n都有Cn=2n+1，依題意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數(shù)．分①當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)