上海市思源中學2021年高一數(shù)學理下學期期末試卷含解析

上海市思源中學2021年高一數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.無窮等差數(shù)列的各項均為整數(shù)，首項為、公差為，是其前項和，3、21、15是其中的三項，給出下列命題：①對任意滿足條件的，存在，使得99一定是數(shù)列中的一項；②對任意滿足條件的，存在，使得30一定是數(shù)列中的一項；③存在滿足條件的數(shù)列，使得對任意的，成立。其中正確命題的序號為

（

）A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③參考答案：C略2.（5分）在下列命題中，正確的個數(shù)是（）①若||=||，=；②若=，則∥；③||=||；④若∥，∥，則∥． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4參考答案：B考點： 平行向量與共線向量．專題： 平面向量及應用．分析： 根據(jù)向量相等的概念可以判斷①②是否正確；根據(jù)相反向量可以判斷③是否正確；根據(jù)向量平行的概念判斷④是否正確．解答： 解：對于①，||=||時，與的方向不一定相同，∴=不一定成立，命題錯誤；對于②，當=時，∥，命題正確；對于③，向量與是相反向量，∴||=||，命題正確；對于④，當∥，∥時，若=，則與的方向不能確定，∴∥不一定成立，命題錯誤．綜上，正確的命題是②③．故選：B．點評： 本題考查了平面向量的基本概念的應用問題，是基礎題目．3.已知點P(3,2)與點Q(1,4)關于直線對稱，則直線的方程為()A．x＋y＋1＝0

B．x－y＝0

C.x－y＋1＝0

D．x＋y＝0參考答案：C略4.點(3,4)關于直線的對稱點的坐標為（

）A.(4,3) B. C. D.參考答案：D令，設對稱點的坐標為，可得的中點在直線上，故可得①，又可得的斜率，由垂直關系可得②，聯(lián)立①②解得，即對稱點的坐標為，故選D.點睛：本題考查對稱問題，得出中點在直線且連線與已知直線垂直是解決問題的關鍵，屬中檔題；點關于直線成軸對稱問題，由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”，利用“垂直”即斜率關系，“平分”即中點在直線上這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標．5.若為圓的弦的中點，則直線的方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.角θ的終邊過點P（﹣1，2），則sinθ=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：B【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinθ的值．【解答】解：由題意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===，故選：B．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．7.在一次數(shù)學測驗中，某小組14名學生分別與全班的平均分85分的差是：2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，那么這個小組的平均分是(

)A．97.2

B．87.29 C．92.32 D．82.86參考答案：B8.已知A（1，3），B（﹣5，1），以AB為直徑的圓的標準方程是（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=10 B．（x+2）2+（y﹣2）2=40 C．（x﹣2）2+（y+2）2=10 D．（x﹣2）2+（y+2）2=40參考答案：A【考點】圓的標準方程．【分析】因為線段AB為所求圓的直徑，所以利用中點坐標公式求出線段AB的中點即為所求圓的圓心坐標，再利用兩點間的距離公式求出圓心C與點A之間的距離即為所求圓的半徑，根據(jù)求出的圓心坐標與半徑寫出圓的標準方程即可．【解答】解：∵A（1，3），B（﹣5，1），設圓心為C，∴圓心C的坐標為C（﹣2，2）；∴|AC|=，即圓的半徑r=，則以線段AB為直徑的圓的方程是（x+2）2+（y﹣2）2=10．故選A．9.已知平面向量，則向量（）A．

B．

C.

D． 參考答案：D10.已知，函數(shù)與的圖像可能是（

）參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，則側棱與底面所成角為_______．參考答案：45°【分析】先作出線面角，在直角三角形中求解.【詳解】設正四棱錐的側棱長與底面邊長為2，如圖所示，正四棱錐中，過作平面，連接，則是在底面上的射影，所以即為所求的線面角，，，，即所求線面角為.【點睛】本題考查直線與平面所成的角.12.已知且，則________.參考答案：13.若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略14.某校高三年級學生年齡分布在17歲、18歲、19歲的人數(shù)分別為500、400、100，現(xiàn)通過分層抽樣從上述學生中抽取一個樣本容量為的樣本，已知每位學生被抽到的概率都為0．2，則

．參考答案：200略15.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為．參考答案：3π+4【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由幾何體的俯視圖是半圓，得其原圖形是底面半徑為1，高為2的半圓柱，如圖，該幾何體的表面積等于兩底半圓面的面積加上以1為底面半徑，以2為高的圓柱側面積的一半，加上正視圖的面積．【解答】解：由幾何體的三視圖可得其原圖形是底面半徑為1，高為2的半圓柱，如圖，該幾何體的表面積等于兩底半圓面的面積加上以1為底面半徑，以2為高的圓柱側面積的一半，加上正視圖的面積．所以該幾何體的表面積為π+π?1?2+2?2=3π+4．故答案為3π+4．16.求值arctan（cot）=．參考答案：【考點】反三角函數(shù)的運用．【分析】利用特殊角的三角函數(shù)，反正切函數(shù)的定義和性質，求得arctan（cot）的值．【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案為：．17.化簡：+=．參考答案：2【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用．【分析】利用根式與分數(shù)指數(shù)冪互化公式、性質、運算法則、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解：+=+=2．故答案為：2．【點評】本題考查有理數(shù)指數(shù)冪化簡求值，是基礎題，解題時要注意根式與分數(shù)指數(shù)冪互化公式、性質、運算法則、平方差公式、立方差公式的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，.（1）求的解析式；（2）解關于的方程（3）設，時，對任意總有成立，求的取值范圍.參考答案：解：（1）令即，則即(2)由化簡得：即當時，方程無解當時，解得

若，則

若，則（3）對任意總有成立，等價于當時，令則令①當時，單調遞增，此時，即（舍）②當時,單調遞增此時，

即③當時，在上單調遞減，在上單調遞增且即，綜上:略19.如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB=2AD=2a，E為AB的中點，在四邊形ABCD中，將△AED沿DE折起，使A到A′位置，且A′M⊥BC，得到如圖②所示的四棱錐A′﹣BCDE．（Ⅰ）求證：A′M⊥平面BCDE；（Ⅱ）求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）判斷直線A′D與BC的位置關系．參考答案：考點：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關系．專題：空間位置關系與距離．分析：（I）證明A′M⊥DE，結合A′M⊥BC，利用線面垂直的判定定理，即可得到結論；（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高，利用體積公式，即可求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）直線A′D與BC是異面直線，利用反證法進行證明即可．解答：（I）證明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D，∵M為DE的中點，∴A′M⊥DE，∵A′M⊥BC，又DE與BC相交，∴A′M⊥平面BCDE．（II）解：由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高，在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D=a，則A′M=a．∵四邊形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a，∴四邊形BCDE的面積S==a2∴四棱錐A′﹣BCDE的體積V=S?A′M+a2×a=a3（III）解：直線A′D與BC是異面直線，理由如下：假設直線A′D與BC共面，則直線A′D與BC確定平面α，所以A′、D、B、C，都在平面α上∵D，B，C確定平面BCDE，則A′在平面BCDE上，這與已知矛盾∴直線A′D與BC是異面直線．點評：本題考查線面垂直，考查四棱錐體積的計算，考查反證法，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．20.（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求方程的根；（Ⅱ）若函數(shù)滿足，求函數(shù)在的值域；參考答案：21.(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；(2)已知x＞0，求y＝的最大值．參考答案：解：(1)因為x＜3，所以3－x＞0.又因為y＝2(x－3)＋＋7＝＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋，當且僅當2(3－x)＝，即x＝3－時，等號成立，于是，，故y的最大值是7－2.(2).因為x＞0，所以，所以0＜y≤＝1，當且僅當，即x＝1時，等號成立．故y的最大值為1.

22.已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為F，（1）求過點F且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長．（2）求以M（1，1）為中點的橢圓的弦所在的直線方程．（3）過橢圓的右焦點F的直線l交橢圓于A，B，求弦AB的中點P的軌跡方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】綜合題；數(shù)形結合；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】橢圓，右焦點為F（2，0）．（1）過點F（2，0）且斜率為1的直線為y=x﹣2，設l與橢圓交于點A（x1，y1），B（x2，y2），直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，利用弦長公式：|AB|=即可得出．（2）設l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，，．把點A，B的坐標代入橢圓方程，兩式相減可得k，再利用點斜式即可得出．（3）設點P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），且，kAB=kFP，即，把點A，B的坐標代入橢圓方程，兩式相減即可得出．【解答】解：橢圓，右焦點為F（2，0）．（1）過點F（2，0）且斜率為1的直線為y=x﹣2，設l與橢圓交于點A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去y得14x2﹣36x﹣9=0，∴，，∴．（2）設l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，，．聯(lián)立，兩式相減得：5（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=