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上海市松隱中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為(
)A
472
B252
C
232
D
484參考答案:A2.推理“①矩形是平行四邊形;②三角形不是平行四邊形;③所以三角形不是矩形.”中的大前提是()A.① B.② C.③ D.④參考答案:A【考點(diǎn)】演繹推理的基本方法.【分析】根據(jù)推理,確定三段論中的:大前提;小前提;結(jié)論,從而可得結(jié)論.【解答】解:推理:“①矩形是平行四邊形;②三角形不是平行四邊形;③所以三角形不是矩形.”中大前提:矩形是平行四邊形;小前提:三角形不是平行四邊形;結(jié)論:三角形不是矩形.故選A.3.在△ABC中,,,,則a的值為A.3 B.23 C. D.2參考答案:C【分析】先由題意得到,求出,再由正弦定理,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥?,,,,所以,因此,由正弦定理可得,所?故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形,熟記正弦定理即可,屬于??碱}型.4.復(fù)數(shù)集是由實(shí)數(shù)集和虛數(shù)集構(gòu)成的,而實(shí)數(shù)集又可分為有理數(shù)集和無(wú)理數(shù)集兩部分;虛數(shù)集也可分為純虛數(shù)集和非純虛數(shù)集兩部分,則可選用 來(lái)描述之. (
)A.流程圖
B.結(jié)構(gòu)圖
C.流程圖或結(jié)構(gòu)圖中的任意一個(gè)
D.流程圖和結(jié)構(gòu)圖同時(shí)用參考答案:B5.甲乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,比賽采取五局三勝制,無(wú)論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束,假定甲每局比賽獲勝的概率均為,則甲以的比分獲勝的概率為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A略6.如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,異面直線AD與CB1所成的角是()A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案:B【分析】由AD∥BC,知∠BCB1是異面直線AD與CB1所成的角,由此能求出異面直線AD與CB1所成的角的大小.【詳解】解:ABCD-A1B1C1D1為正方體中,∵AD∥BC,∴∠BCB1是異面直線AD與CB1所成的角,∵∠BCB1=45°,∴異面直線AD與CB1所成的角為45°.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角,考查空間想象能力,屬基礎(chǔ)題.7.命題“?x∈R,>0”的否定是()A.?x∈R, B.?x∈R, C.?x∈R, D.?x∈R,參考答案:D【考點(diǎn)】2J:命題的否定.【分析】運(yùn)用全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題,注意量詞和不等號(hào)的變化.【解答】解:由全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題,可得命題“?x∈R,>0”的否定“?x∈R,≤0”,故選:D.8.若“a≥”是“?x>0,2x+≥c”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)c的取值范圍為()A.0<c≤1 B.0≤c≤1 C.c≤1 D.c≥1參考答案:C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【解答】解:若c≤0,則a≥0,符合題意,若c>0,則,于是.所以0<c≤1.綜上c≤1,故選:C.9.已知直線的方向向量為=(1,3),直線的方向向量=(-1,),若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,5)且⊥,則直線的方程為(
)A.x+3y-5=0
B.x+3y-15=0
C.x-3y+5=0
D.x-3y+15=0參考答案:D10.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且m?α,n?β,下列命題中正確的是()A.若α⊥β,則m⊥n B.若α∥β,則m∥n C.若m⊥n,則α⊥β D.若n⊥α,則α⊥β參考答案:D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析】對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷,即可得出結(jié)論.【解答】解:對(duì)于A,若α⊥β,則m、n位置關(guān)系不定,不正確;對(duì)于B,若α∥β,則m∥n或m,n異面,不正確;對(duì)于C,若m⊥n,則α、β位置關(guān)系不定,不正確;對(duì)于D,根據(jù)平面與平面垂直的判定可知正確.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面、面面平行和垂直關(guān)系,面面平行的判定定理,線面垂直的定義及其應(yīng)用,空間想象能力二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)向量a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a∥b,則mn=
▲
.參考答案:21
略12.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),則取出球的編號(hào)互不相同的概率為_(kāi)______________參考答案:略13.(5分)(2015?新課標(biāo)II)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=﹣1,an+1=SnSn+1,則Sn=.參考答案:﹣【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.【專(zhuān)題】創(chuàng)新題型;等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】通過(guò)an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1,并變形可得數(shù)列{}是以首項(xiàng)和公差均為﹣1的等差數(shù)列,進(jìn)而可得結(jié)論.【解答】解:∵an+1=SnSn+1,∴an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1,∴=﹣=1,即﹣=﹣1,又a1=﹣1,即==﹣1,∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)和公差均為﹣1的等差數(shù)列,∴=﹣1﹣1(n﹣1)=﹣n,∴Sn=﹣,故答案為:﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng),對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.14.我國(guó)高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì),在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中,有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)__________.參考答案:0.98.【分析】本題考查通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì),采取估算法,利用概率思想解題.【詳解】由題意得,經(jīng)停該高鐵站的列車(chē)正點(diǎn)數(shù)約為,其中高鐵個(gè)數(shù)為10+20+10=40,所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì),滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算,難度不大.易忽視概率的估算值不是精確值而失誤,根據(jù)分類(lèi)抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估算出正點(diǎn)列車(chē)數(shù)量與列車(chē)總數(shù)的比值.15.向量,若向量與向量共線,則_______.參考答案:16.已知,
又,,,則M,N,P的大小關(guān)系是
.參考答案:M>N>P17.函數(shù)的遞增區(qū)間是
;參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿(mǎn)分12分)在等差數(shù)列中,,,記數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求;參考答案:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)榧唇獾盟?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)因?yàn)?所以數(shù)列的前項(xiàng)和19.求的單調(diào)區(qū)間.參考答案:解:⑴函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
1
當(dāng)時(shí),恒成立,故在上遞增;2
當(dāng)時(shí),令或,所以的增區(qū)間為,
減區(qū)間為略20.甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽,每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問(wèn)題,答對(duì)者對(duì)本隊(duì)贏得一分,答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為,且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.用ξ表示甲隊(duì)的總得分.(Ⅰ)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件,求P(AB).參考答案:【考點(diǎn)】CG:離散型隨機(jī)變量及其分布列;C5:互斥事件的概率加法公式.【分析】(1)由題意甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為,故可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故,(2)AB為“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”和“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”同時(shí)滿(mǎn)足,有兩種情況:“甲得乙得”和“甲得乙得0分”這兩個(gè)事件互斥,分別求概率,再取和即可.【解答】解:(Ⅰ)解法一:由題意知,ξ的可能取值為0,1,2,3,且,,,.所以ξ的分布列為ξ0123Pξ的數(shù)學(xué)期望為.解法二:根據(jù)題設(shè)可知,,因此ξ的分布列為,k=0,1,2,3.因?yàn)?,所以.(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得乙得”這一事件,用D表示“甲得乙得0分”這一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,又=,,由互斥事件的概率公式得.解法二:用Ak表示“甲隊(duì)得k分”這一事件,用Bk表示“乙隊(duì)得k分”這一事件,k=0,1,2,3.由于事件A3B0,A2B1為互斥事件,故有P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).由題設(shè)可知,事件A3與B0獨(dú)立,事件A2與B1獨(dú)立,因此P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1)=P(A3)P(B0)+P(A2)P(B1)=.21.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含[1,3],求a的取值范圍.參考答案:(1)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由,得,從而;當(dāng)時(shí),,無(wú)解;當(dāng)時(shí),由得,從而.綜上可知,的解集為或.(2)的解集包含等價(jià)于當(dāng)時(shí),恒成立,即當(dāng)時(shí),恒成立,從而,所以或,即或在上恒成立,所以或.22.如圖,已知三棱錐A—BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),且△PMB為正三角形。
(1)求證:DM//平面APC;
(2)求證:平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=4,AB=20,求三棱錐D—BCM的體積。
參考答案:解(1)∵M(jìn)為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),
∴MD//AP,
又∴MD平面ABC∴DM//平面APC。
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