上海市民辦新虹橋中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

上海市民辦新虹橋中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，，若有窮數(shù)列（）的前項(xiàng)和等于，則等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B，因?yàn)?，所以，即函?shù)單調(diào)遞減，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即數(shù)列為首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得，選B.2.設(shè)a,b是不同的直線，是不同的平面，則下列命題：

①若

②若

③若

④若

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）

A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B3.在△ABC中，已知，P為線段AB上的點(diǎn)，且的最大值為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C試題分析：由題設(shè),即,也即,所以,又因,故,即;因?yàn)?故,故建立如圖所示直角坐標(biāo)系,則,則由題設(shè)可知,直線且,所以,即,應(yīng)選C.考點(diǎn)：三角變換向量的數(shù)量積公式直線的方程及基本不等式的綜合運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題將向量的數(shù)量積公式和三角變換及基本不等式等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.求解時(shí),先將,再運(yùn)用已知得到,即.再將向量的數(shù)量積公式化為,從而求得,.最后通過(guò)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系求出直線且,然后運(yùn)用基本不等式使得問(wèn)題獲解.4.已知ω＞0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，結(jié)合題意，得出不等式組，求出ω的取值范圍即可．【解答】解：∵x∈（，），ω＞0，且函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）在（，）上單調(diào)遞減，由f（x）的單調(diào)減區(qū)間滿足：+2kπ＜ωx﹣＜+2kπ，k∈Z，取k=0，得≤x≤，即，解得≤ω≤；∴ω的取值范圍是[，]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．5.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），點(diǎn)P（2，）在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，坐標(biāo)原點(diǎn)O恰為△ABM的重心，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題意可得c=2，|PF|=，運(yùn)用勾股定理可得|PF1|，再由橢圓的定義可得2a，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的重心坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，解方程即可得到所求直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得c=2，左焦點(diǎn)F1（﹣2，0），|PF|=，所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，即a2=6，b2=a2﹣c2=2，故橢圓C的方程為+=1；（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．將l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，可得x1+x2=，所以AB的中點(diǎn)N（，），由坐標(biāo)原點(diǎn)O恰為△ABM的重心，可得M（，）．由點(diǎn)M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，解得k2=或﹣（舍），即k=±．故直線l的方程為y=±（x﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和a，b，c的關(guān)系及點(diǎn)滿足橢圓方程，同時(shí)考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的重心坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．6.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（，2），且f（m﹣2）＞1，則m的取值范圍是（）A．m＜1或m＞3 B．1＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】由條件利用冪函數(shù)的定義，求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα，由它的圖象過(guò)點(diǎn)（，2），可得=2，解得α=3，所以f（x）=x3；再根據(jù)f（m﹣2）＞1，得（m﹣2）3＞1，解得m＞3，所以m的取值范圍是m＞3．故選：D．7.已知log7[log3（log2x）]=0，那么等于（）A．B．C．D．參考答案：C略8.已知，且，則(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)參考答案：C9.已知函數(shù)的零點(diǎn)是和，則（

）A． B． C． D．參考答案：C，得，即，則，所以，故選C。

10.已知集合,則A.

B.

C.

D.

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，其中，且，則向量的夾角是．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由及便可以得到，再由便可由向量數(shù)量積的計(jì)算公式得到，從而便可得出向量和的夾角的大小．【解答】解：；∴；∴；即；∴；∴向量的夾角為．故答案為：．12.設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則的取值范圍是________.參考答案：13.（4分）已知i是虛數(shù)單位，則（2+i）（3+i）等于=．參考答案：5+5i【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．解：（2+i）（3+i）=6﹣1+5i=5+5i．故答案為：5+5i．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．14.已知a是函數(shù)f(x)＝2－log2x的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為＿＿＿＿＿＿。參考答案：415.若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍是

．參考答案：略16.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則=． 參考答案：1【考點(diǎn)】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理． 【專題】計(jì)算題；解三角形． 【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6， ∴cosC==，cosA== ∴sinC=，sinA=， ∴==1． 故答案為：1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)． 17.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若,，且,則△ABC的面積為_(kāi)__________.參考答案：化簡(jiǎn)得：當(dāng)時(shí)，（舍）或又，則

，解得故答案為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在處有極值，求的值；（Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線．設(shè)點(diǎn)，是曲線上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”．問(wèn)函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）求證：．參考答案：解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，，又函?shù)在處有極值，所以，解得，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則是函數(shù)的極值點(diǎn)．故經(jīng)檢驗(yàn)，成立．(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)，是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，則，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，所以，所以，即，設(shè)，則，所以，令，，因?yàn)?，顯然，所以在上遞增，所以，所以在內(nèi)不存在，使得成立．綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”．(3)證法一：由(2)知：恒成立，即，所以，令，則，所以，，，，于是則，所以，即．證法二：，令，，，，故需證，即證，當(dāng)時(shí)，上式成立，所以；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上知．略19.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓左、右頂點(diǎn)為，求的取值范圍.參考答案：(1)∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴有，得，∴拋物線的焦點(diǎn)為，∴橢圓的半焦距為，又橢圓的離心率為，∴，，∴橢圓的方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由，得，易知，設(shè)，，則，，，∴，∴，∵，且.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的取值范圍是.20.(本小題滿分12分)

如圖所示，點(diǎn)、在以為直徑的⊙上，∥，垂直于⊙所在平面，，，（1）求證：平面平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的值．參考答案：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的⊙上，所以，即.

由已知平面，平面，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?因?yàn)槠矫妫?/p>

所以平面平面.（2）解：如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，，所以?延長(zhǎng)交于點(diǎn).因?yàn)椤?，所?所以，，，.所以，.設(shè)平面的法向量.由得即令，則.所以同理可求平面的一個(gè)法向量n.所以.所以.

21.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an是1與anan+1的等差中項(xiàng)（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn

參考答案：（1）證明見(jiàn)解析，an＝1；（2）Sn＝．【分析】（1）由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得所求；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得所求和．【詳解】（1）a1＝2，an是1與anan+1的等差中項(xiàng)，可得2an＝1+anan+1，即an+1，an+1﹣1，可得1，可得數(shù)列{}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，即有n，可得an＝1；（2），則前n項(xiàng)和Sn＝11．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意變形和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；（2）用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求與的值.參考答案：（1）令，解得,

……………2分對(duì)任意所以函數(shù)是奇函數(shù).

……………2分

另證：對(duì)任意所以函數(shù)是奇函數(shù).

…………2分（2）設(shè)，