算法編程-舊-06 .線性8目標(biāo)模型

優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件第8章目標(biāo)規(guī)劃模型內(nèi)容提要8.1線性規(guī)劃與目標(biāo)規(guī)劃8.2目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型8.3目標(biāo)規(guī)劃模型的實(shí)例8.4數(shù)據(jù)包絡(luò)分析8.1線性規(guī)劃與目標(biāo)規(guī)劃線性規(guī)劃通?？紤]一個(gè)目標(biāo)函數(shù)(問(wèn)題簡(jiǎn)單)目標(biāo)規(guī)劃考慮多個(gè)目標(biāo)函數(shù)(問(wèn)題復(fù)雜)線性規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃發(fā)展演變某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設(shè)備，關(guān)于產(chǎn)品的盈利與使用設(shè)備的工時(shí)及限制如下表所示。

例8.1

生產(chǎn)安排問(wèn)題

問(wèn)該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使得在計(jì)劃期內(nèi)總利潤(rùn)最大？1.線性規(guī)劃建模該例8.1是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，直接考慮它的線性規(guī)劃模型設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1,x2,建立線性規(guī)劃模型：用Lindo或Lingo軟件求解,得到最優(yōu)解2.目標(biāo)規(guī)劃建模在上例8.1中，企業(yè)的經(jīng)營(yíng)目標(biāo)不僅要考慮利潤(rùn)，還需要考慮多個(gè)方面，因此增加下列因素(目標(biāo))：

力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1500元

考慮到市場(chǎng)需求,甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應(yīng)盡量保持1:2

設(shè)備A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用

設(shè)備C可以適當(dāng)加班，但要控制；設(shè)備B既要求充分利用，又盡可能不加班，在重要性上，設(shè)備B是設(shè)備C的3倍從上述問(wèn)題可以看出，僅用線性規(guī)劃方法是不夠的，需要借助于目標(biāo)規(guī)劃的方法進(jìn)行建模求解某汽車銷售公司委托一個(gè)廣告公司在電視上為其做廣告，汽車銷售公司提出三個(gè)目標(biāo)：

例8.2

汽車廣告費(fèi)問(wèn)題

廣告公司必須決定購(gòu)買兩種類型的電視廣告展播各多少分鐘？第一個(gè)目標(biāo)，至少有40萬(wàn)高收入的男性公民(記為HIM)看到這個(gè)廣告第二個(gè)目標(biāo)，至少有60萬(wàn)一般收入的公民(記為L(zhǎng)IP)看到這個(gè)廣告第三個(gè)目標(biāo)，至少有35萬(wàn)高收入的女性公民(記為HIW)看到這個(gè)廣告廣告公司可以從電視臺(tái)購(gòu)買兩種類型的廣告展播：足球賽中插播廣告和電視系列劇插播廣告。廣告公司最多花費(fèi)60萬(wàn)元的電視廣告費(fèi)。每一類廣告展播每一分鐘的花費(fèi)及潛在的觀眾人數(shù)如下表所示3.嘗試線性規(guī)劃建模對(duì)于例8.2考慮建立線性規(guī)劃模型設(shè)x1,x2分別是足球賽和電視系列劇中插播的分鐘數(shù)，按照要求，可以列出相應(yīng)的線性規(guī)劃模型用Lindo或Lingo軟件求解,會(huì)發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題不可行。4.線性規(guī)劃建模局限性

線性規(guī)劃要求所有求解的問(wèn)題必須滿足全部的約束，而實(shí)際問(wèn)題中并非所有約束都需要嚴(yán)格的滿足；

線性規(guī)劃只能處理單目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，而對(duì)一些次目標(biāo)只能轉(zhuǎn)化為約束處理。但在實(shí)際問(wèn)題中，目標(biāo)和約束好似可以相互轉(zhuǎn)化的，處理時(shí)不一定要嚴(yán)格區(qū)分；

線性規(guī)劃在處理問(wèn)題時(shí)，將各個(gè)約束(也可看作目標(biāo))的地位看成同等重要，而在實(shí)際問(wèn)題中，各個(gè)目標(biāo)的重要性即有層次上的差別，也有在同一層次上不同權(quán)重的差別

線性規(guī)劃尋求最優(yōu)解，而許多實(shí)際問(wèn)題只需要找到滿意解就可以了。8.2目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為了克服線性規(guī)劃的局限性,目標(biāo)規(guī)劃采用如下手段：1.

設(shè)置偏差變量;2.

統(tǒng)一處理目標(biāo)與約束;3.

目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)與權(quán)系數(shù)。目標(biāo)規(guī)劃的基本概念

1.

設(shè)置偏差變量用偏差變量(Deviationalvariables)來(lái)表示實(shí)際值與目標(biāo)值之間的差異，令

----超出目標(biāo)的差值，稱為正偏差變量

----未達(dá)到目標(biāo)的差值，稱為負(fù)偏差變量其中與至少有一個(gè)為0約定如下：當(dāng)實(shí)際值超過(guò)目標(biāo)值時(shí)，有當(dāng)實(shí)際值未達(dá)到目標(biāo)值時(shí)，有當(dāng)實(shí)際值與目標(biāo)值一致時(shí)，有

2.

統(tǒng)一處理目標(biāo)與約束在目標(biāo)規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對(duì)資源有嚴(yán)格限制的，稱為剛性約束(HardConstraint)；例如在用目標(biāo)規(guī)劃求解例8.1中設(shè)備A禁止超時(shí)使用，則有剛性約束另一類是可以不嚴(yán)格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標(biāo),構(gòu)成柔性約束(SoftConstraint).例如在求解例8.1中，我們希望利潤(rùn)不低于1500元，則目標(biāo)可表示為求解例8.1中甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量盡量保持1:2的比例，則目標(biāo)可表示為設(shè)備C可以適當(dāng)加班，但要控制，則目標(biāo)可表示為設(shè)備B既要求充分利用，又盡可能不加班，則目標(biāo)可表示為從上面的分析可以看到：如果希望不等式保持大于等于，則極小化負(fù)偏差；如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差；如果希望保持等式，則同時(shí)極小化正、負(fù)偏差．3.目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)與權(quán)系數(shù)在目標(biāo)規(guī)劃模型中，目標(biāo)的優(yōu)先分為兩個(gè)層次，第一個(gè)層次是目標(biāo)分成不同的優(yōu)先級(jí)，在計(jì)算目標(biāo)規(guī)劃時(shí)，必須先優(yōu)化高優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)。通常以P1,P2,...表示不同的因子,并規(guī)定Pk>>Pk+1，第二個(gè)層次是目標(biāo)處于同一優(yōu)先級(jí)，但兩個(gè)目標(biāo)的權(quán)重不一樣，因此兩目標(biāo)同時(shí)優(yōu)化，用權(quán)系數(shù)的大小來(lái)表示目標(biāo)重要性的差別。解在例８.1中設(shè)備A是剛性約束，其于是柔性約束．首先，最重要的指標(biāo)是企業(yè)的利潤(rùn)，將它的優(yōu)先級(jí)列為第一級(jí)；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比例，列為第二級(jí)；再次，設(shè)備

B和C的工作時(shí)間要有所控制，列為第三級(jí)，設(shè)備B的重要性是設(shè)備C的三倍，因此它們的權(quán)重不一樣。由此可以得到相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型。

目標(biāo)規(guī)劃模型的建立例8.3

用目標(biāo)規(guī)劃方法求解例8.1

目標(biāo)規(guī)劃的一般模型目標(biāo)規(guī)劃模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

求解目標(biāo)規(guī)劃的序貫式算法其算法是根據(jù)優(yōu)先級(jí)的先后次序，將目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題分解成一系列的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，然后再依次求解。算法8.1

對(duì)于k=1,2,…,q,求解單目標(biāo)問(wèn)題解因?yàn)槊總€(gè)單目標(biāo)問(wèn)題都是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，因此可以采用LINDO軟件進(jìn)行求解。按照算法8.1和例8.3目標(biāo)規(guī)劃模型編寫單個(gè)的線性規(guī)劃求解程序。求第一級(jí)目標(biāo)企業(yè)利潤(rùn)最大，列出LINDO程序。程序名：exam0804a.ltx

例8.4

用算法8.1求解例8.3MINDMINUS1SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15END求解結(jié)果可見(jiàn)程序演示目標(biāo)解因求出的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為０，即第一級(jí)偏差為０.再求第二級(jí)目標(biāo)，列出其LINDO程序。程序名：exam0804b.ltx

例8.4

用算法8.1求解例8.3MINDPLUS2+DMINUS2SUBJECTTO

2X1+2X2

<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=1500

2X1-

X2-DPLUS2+DMINUS2=0

4X1

-DPLUS3+DMINUS3=16

5X2-DPLUS4+DMINUS4=15

DMINUS1=0END求解結(jié)果可見(jiàn)程序演示修改的目標(biāo)增加的約束解因求出的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值仍為０，即第二級(jí)偏差仍為０.繼續(xù)求第三級(jí)目標(biāo)，列出其LINDO程序。程序名：exam0804c.ltx

例8.4

用算法8.1求解例8.3MIN3DPLUS3+3DMINUS3+DPLUS4SUBJECTTO

2X1+

2X2

<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=1500

2X1-

X2-DPLUS2+DMINUS2=0

4X1

-DPLUS3+DMINUS3=16

5X2-DPLUS4+DMINUS4=15

DMINUS1=0

DPLUS2+DMINUS2=0END求解結(jié)果可見(jiàn)程序演示求出的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為29,即第三級(jí)偏差為29,分析結(jié)果,x1為2,x2為4,DPLUS1為100,因此目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解為x

*=(2,4),最優(yōu)利潤(rùn)為1600.修改的目標(biāo)增加的約束解按照算法8.1和例8.3目標(biāo)規(guī)劃模型編寫LINGO求解程序，列出其LINGO程序,程序名：exam0805.lg4

例8.5(繼例8.4)用算法8.1求解例8.3的LINGO程序程序運(yùn)行說(shuō)明，分三次求解：在做第一級(jí)目標(biāo)計(jì)算時(shí)，P(1),P(2)和P(3)分別輸入1,0和0，Goal(1)和Goal(2)輸入兩個(gè)較大的數(shù)，表示這兩項(xiàng)約束不起作用；在做第二級(jí)目標(biāo)計(jì)算時(shí)，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,1和0，由于第一級(jí)的偏差為0，因此Goal(1)為0，Goal(2)輸入一個(gè)較大的數(shù)；在做第三級(jí)計(jì)算時(shí)，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,0和1，由于第一級(jí)、第二級(jí)的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0。結(jié)果可以參見(jiàn)程序演示?。?！

由于在例8.4中雖然給出了目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解,但需要連續(xù)編幾個(gè)LINDO程序,在使用時(shí)不方便,下面使用LINGO軟件,編寫一個(gè)通用程序。8.3目標(biāo)規(guī)劃模型的實(shí)例前面介紹了目標(biāo)規(guī)劃的求解方法，接著再介紹幾個(gè)目標(biāo)規(guī)劃模型的實(shí)例。某音像商店有5名全職售貨員和4名兼職售貨員。全職售貨員每月工作160小時(shí)，兼職售貨員每月工作80小時(shí)。根據(jù)過(guò)去的工作記錄，全職售貨員每小時(shí)銷售CD25張，平均每小時(shí)工資15元，加班工資每小時(shí)22.5元。兼職售貨員每小時(shí)銷售CD10張，平均每小時(shí)工資10元，加班工資每小時(shí)10元?，F(xiàn)在預(yù)測(cè)下月CD銷售量為27500張，商店每周開(kāi)門營(yíng)業(yè)6天，所以可能要加班。另每出售一張CD盈利1.5元。

例8.6該商店經(jīng)理認(rèn)為，保持穩(wěn)定的就業(yè)水平加上必要的加班，比不加班但就業(yè)水平不穩(wěn)定要好。但全職售貨員如果加班過(guò)多，就會(huì)因疲勞過(guò)度而造成效率下降，因此不允許每月加班超過(guò)100小時(shí)。建立相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型，并運(yùn)用LINGO軟件進(jìn)行求解。解首先建立目標(biāo)約束的優(yōu)先級(jí)。P1：下月的CD銷售量達(dá)到27500張；P2：

限制全職售貨員加班時(shí)間不超過(guò)100小時(shí)；P3：

保持全體售貨員充分就業(yè)，因?yàn)槌浞止ぷ魇橇?/p>

好勞資關(guān)系的重要因素，但對(duì)全職售貨員要比

兼職售貨員加倍優(yōu)先考慮；P4：

盡量減少加班時(shí)間，但對(duì)兩種售貨員區(qū)別對(duì)

待，優(yōu)先權(quán)因子由他們對(duì)利潤(rùn)的貢獻(xiàn)而定。

例8.6

例8.6第二，建立目標(biāo)約束。(1)

銷售目標(biāo)約束。設(shè)

x1

：全體全職售貨員下月的工作時(shí)間；

x2

：全體兼職售貨員下月的工作時(shí)間；：達(dá)不到銷售目標(biāo)的偏差；：超過(guò)銷售目標(biāo)的偏差。

希望下月的銷售量超過(guò)27500張CD片，因此銷售目標(biāo)為

例8.6第二，建立目標(biāo)約束。(2)

正常工作時(shí)間約束，設(shè)：全體全職售貨員下月的停工時(shí)間；：全體全職售貨員下月的加班時(shí)間；：全體兼職售貨員下月的停工時(shí)間；：全體兼職售貨員下月的加班時(shí)間。

由于希望保持全體售貨員充分就業(yè)，同時(shí)加倍優(yōu)先考慮全職售貨員,因此工作目標(biāo)約束為

例8.6第二，建立目標(biāo)約束。(3)

正常工作時(shí)間約束，設(shè)：全體全職售貨員下月加班不足100小時(shí)的偏差；：全體全職售貨員下月加班超過(guò)100小時(shí)的偏差。

限制全職售貨員加班時(shí)間不超過(guò)100小時(shí)，將加班約束看成正常上班約束，不同的是右端加上100小時(shí)，因此加班目標(biāo)約束為

例8.6第二，建立目標(biāo)約束。接上(3)

另外，全職售貨員加班1小時(shí)，商店得到的利潤(rùn)為15元(25*1.5-22.5=15)，兼職售貨員加班1小時(shí)，商店得到的利潤(rùn)為5元(10*1.5-10=5)，因此加班1小時(shí)全職售貨員獲得的利潤(rùn)是兼職售貨員的3倍，故權(quán)因子之比為

所以，另一個(gè)加班目標(biāo)約束為：

例8.6

第三，按目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)，寫出相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型：

第四，寫出相應(yīng)的LINGO程序，程序名：exam0806.lg4.程序運(yùn)行說(shuō)明，分四次求解：在做第一級(jí)目標(biāo)計(jì)算時(shí)，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入1,0,0和0，Goal(1),Goal(2)和Goal(3)輸入兩個(gè)較大的數(shù)，表示這兩項(xiàng)約束不起作用；在做第二級(jí)目標(biāo)計(jì)算時(shí)，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,1,0和0，由于第一級(jí)的偏差為0，因此Goal(1)為0,Goal(2)和Goal(3)輸入一個(gè)較大的數(shù)；在做第三級(jí)計(jì)算時(shí)，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,1和0，由于第一級(jí),第二級(jí)的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0，Goal(3)輸入一個(gè)較大的數(shù)；在做第四級(jí)計(jì)算時(shí)，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,0和1，由于第一級(jí),第二級(jí)和第三級(jí)的偏差為0,因此Goal(1),Goal(2)和Goal(3)輸入值也為0；全職售貨員總工作時(shí)間為900小時(shí)(加班100小時(shí))，兼職售貨員總工作時(shí)間500小時(shí)(加班180小時(shí))，下月共銷售CD27500張，商店共獲得利潤(rùn)

27500*1.5-800*15-100*22.5-500*10=22000(元)其結(jié)果可以參見(jiàn)程序演示?。?！某計(jì)算機(jī)公司生產(chǎn)三種型號(hào)的筆記本電腦A,B,C。這三種筆記本電腦需要在復(fù)雜的裝配線上生產(chǎn)，生產(chǎn)1臺(tái)A,B,C型號(hào)的筆記本電腦分別需要5,8,12小時(shí)。公司裝配線正常的生產(chǎn)時(shí)間是每月1700小時(shí)。公司營(yíng)業(yè)部門估計(jì)A,B,C三種筆記本電腦的利潤(rùn)分別是每臺(tái)1000,1440,2520元，而公司預(yù)測(cè)這個(gè)月生產(chǎn)的筆記本電腦能夠全部售出。

例8.7

例8.7公司經(jīng)理考慮以下目標(biāo)：第一目標(biāo)：充分利用正常的生產(chǎn)能力，避免開(kāi)工不足；第二目標(biāo)：優(yōu)先滿足老客戶的需求，A,B,C三種型號(hào)的電腦50,50,80臺(tái)，同時(shí)根據(jù)三種電腦的純利潤(rùn)分配不同的權(quán)因子；第三目標(biāo)：限制裝配線加班時(shí)間，不允許超過(guò)200小時(shí)；第四目標(biāo)：滿足各種型號(hào)電腦的銷售目標(biāo),A,B,C型號(hào)分別為100,120,100臺(tái),再根據(jù)三種電腦的純利潤(rùn)分配不同的權(quán)因子；第五目標(biāo)：裝配線的加班時(shí)間盡可能少。請(qǐng)列出相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型,并用LINGO軟件求解。

例8.7解建立目標(biāo)約束。(1)裝配線正常生產(chǎn)設(shè)生產(chǎn)A,B,C型號(hào)的電腦為x1,x2,x3臺(tái)，裝配線正常生產(chǎn)時(shí)間未利用數(shù)，裝配線加班時(shí)間，希望裝配線正常生產(chǎn),避免開(kāi)工不足,因此裝配線約束目標(biāo)為

例8.7(2)

銷售目標(biāo)優(yōu)先滿足老客戶的需求，并根據(jù)三種電腦的純利潤(rùn)分配不同的權(quán)因子，A,B,C三種型號(hào)的電腦每小時(shí)的利潤(rùn)是因此,老客戶的銷售目標(biāo)約束為

例8.7(2)

銷售目標(biāo)

(接上)

再考慮一般銷售，類似上面的討論，得到

例8.7(3)

加班限制首先是限制裝配線加班時(shí)間，不允許超過(guò)200小時(shí)，因此得到其次裝配線的加班時(shí)間盡可能少，即例8.7

寫出相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型：

寫出相應(yīng)的LINGO程序，程序名：exam0807.lg4.程序運(yùn)行說(shuō)明：經(jīng)5次計(jì)算得到x1=100,x2=55,x3=80。裝配線生產(chǎn)時(shí)間為1900小時(shí)，滿足裝配線加班不超過(guò)200小時(shí)的要求。能夠滿足老客戶的需求，但未能達(dá)到銷售目標(biāo)。銷售總利潤(rùn)為

100x1000+55x1440+80x2520=380800(元)

其結(jié)果可以參見(jiàn)程序演示?。?！

例8.8已知三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品供應(yīng)給四個(gè)用戶，各工廠生產(chǎn)量、用戶需求量及從各工廠到用戶的單位產(chǎn)品的運(yùn)輸費(fèi)用如表所示。由于總生產(chǎn)量小于總需求量,上級(jí)部門經(jīng)研究后，制定了調(diào)配方案的8項(xiàng)指標(biāo)，并規(guī)定重要性的次序是:

例8.8第一目標(biāo)：用戶4為重要部門,需求量必須全部滿足；第二目標(biāo)：供應(yīng)用戶1的產(chǎn)品中，工廠3的產(chǎn)品不少于100個(gè)單位；第三目標(biāo)：每個(gè)用戶的滿足率不低于80%；第四目標(biāo)：應(yīng)盡量滿足各用戶的需求；第五目標(biāo)：新方案的總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)原運(yùn)輸問(wèn)題的調(diào)度方案的10%；第六目標(biāo)：因道路限制，工廠2到用戶4的路線應(yīng)盡量避免運(yùn)輸任務(wù)；第七目標(biāo)：用戶1和用戶3的滿足率應(yīng)盡量保持平衡；第八目標(biāo)：力求減少總運(yùn)費(fèi)。請(qǐng)列出相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型，并用LINGO軟件求解。

例8.8解求解原運(yùn)輸問(wèn)題。由于總生產(chǎn)量小于總需求量,虛設(shè)工廠4,生產(chǎn)量為100個(gè)單位,到各個(gè)用戶間的運(yùn)輸單價(jià)為0,利用第7章介紹的運(yùn)輸問(wèn)題的求解方法,用LINGO軟件求解,得到總運(yùn)費(fèi)是2950元,運(yùn)輸方案如表所示.

例8.8從上表可以看出，上述方案中，第一個(gè)目標(biāo)就不滿足，用戶4的需求量得不到滿足。下面按照目標(biāo)的重要性的等級(jí)列出目標(biāo)規(guī)劃的約束和目標(biāo)函數(shù)。設(shè)xij

為工廠i調(diào)配給用戶j的運(yùn)量.(1)供應(yīng)約束應(yīng)嚴(yán)格滿足,即(2)供應(yīng)用戶1的產(chǎn)品中,工廠3的產(chǎn)品不少于100個(gè)單位,即

例8.8(3)需求約束.

各用戶的滿足率不低于

80%,即

需求應(yīng)盡量

滿足各用戶

的需求，即新方案的總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)原運(yùn)方案的10%（原運(yùn)輸方案的運(yùn)費(fèi)為2950元），即(5)工廠2到用戶4的路線應(yīng)盡量避免運(yùn)輸任務(wù),即(6)用戶1和用戶3的滿足率應(yīng)盡量保持平衡，即(7)力求總運(yùn)費(fèi)最少,即

例8.8

寫出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

寫出相應(yīng)的LINGO程序，程序名：exam0808.lg4.

程序運(yùn)行說(shuō)明

其結(jié)果可以參見(jiàn)程序演示！??！經(jīng)8次計(jì)算，得到最終的計(jì)算結(jié)果，見(jiàn)下表所示?？傔\(yùn)費(fèi)為3360元，高于原運(yùn)費(fèi)410元，超過(guò)原方案10%的上限115元。8.4數(shù)據(jù)包絡(luò)分析1978年A.Charnes,W.W.Cooper和E.Rhodes給出了評(píng)價(jià)決策單元相對(duì)有效性的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法(DataEnvelopmentAnalysis),即DEA.目前，數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)是評(píng)價(jià)具有多指標(biāo)輸入和多指標(biāo)輸出系統(tǒng)的較為有效的方法。例8.9(多指標(biāo)評(píng)價(jià)問(wèn)題)某市教委需要對(duì)六所重點(diǎn)中學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià),其相應(yīng)的指標(biāo)如下表所示,表中的生均投入和非低收入家庭百分比是輸入指標(biāo),生均寫作得分和生均科技得分是輸出指標(biāo).請(qǐng)根據(jù)這些指標(biāo),評(píng)價(jià)中哪些學(xué)校是相對(duì)有效的.

相對(duì)有效評(píng)價(jià)問(wèn)題

例8.9為求解例8.9,先對(duì)例表作簡(jiǎn)單的分析。學(xué)校C的兩項(xiàng)輸出指標(biāo)都是最高的,達(dá)到29.4和317,應(yīng)該說(shuō),學(xué)校C是最有效的.但從另一方面說(shuō),對(duì)它的投入也是最高的,達(dá)到108.13和99.6,因此,它的效率也可能是最低的.究竟如何評(píng)價(jià)這六所學(xué)校呢？這還需要仔細(xì)地分析.這是一個(gè)多指標(biāo)輸入和多指標(biāo)輸出的問(wèn)題,對(duì)于這類評(píng)價(jià)問(wèn)題,A.Charnes,W.W.Cooper和E.Rhodes建立了評(píng)價(jià)決策單元相對(duì)有效性的C2R模型。假設(shè)有n個(gè)部門或單位(稱為決策單元,DecisionMakingUnits),這n個(gè)單元都具有可比性.每個(gè)單元有m個(gè)輸入變量和s個(gè)輸出變量,如下表所示.

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的基本概念x11x12...x1j...x1nx21x22...x2j...x2n：：：：：：xm1xm2...xmj...xmnv11→v22

→

：：vmm

→12...j...n→1u1→2u2

：：

→susy11y12...y1j...y1ny21y22...y2j...y2n：：：：：：xm1ym2...ymj...ymn在上表中,xij(i=1,2,...,m,j=1,2,...,n)表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種輸入的投入量，并且滿足xij>0;yrj(r=1,2,...,s,j=1,2,...,n)表示第j個(gè)決策單元對(duì)第r種輸出的產(chǎn)出量，并且滿足yrj>0;vi(i=1,2,...,m)表示第i種輸入的一種度量(或稱為權(quán));u

r(r=1,2,...,s)表示第r種輸出的的一種度量(或稱