2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及答案

2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及參考答案第一試一、選擇題〔此題總分值42分，每題7分〕1.計算〔B〕〔A〕〔B〕1〔C〕〔D〕22.滿足等式的所有實數(shù)的和為〔A〕〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕63.AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，，的平分線交圓O于點D，假設(shè)，那么AB=〔A〕〔A〕2〔B〕〔C〕〔D〕34.不定方程的全部正整數(shù)角〔x,y〕的組數(shù)為〔B〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕45矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點，F(xiàn)在線段BC上，且BF：FC=1：2，AF分別與DE，DB交于點M，N，那么MN=〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6.設(shè)n為正整數(shù)，假設(shè)不超過n的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個數(shù)等于合個數(shù)，那么稱n為“好數(shù)〞，那么，所有“好數(shù)〞之和為〔B〕〔A〕33〔B〕34〔C〕2023〔D〕2023二、填空題〔此題總分值28分，每題7分〕1.實數(shù)滿足那么42.將一個正方體的外表都染成紅色，再切割成個相同的小正方體，假設(shè)只有一面是紅色的小正方體數(shù)目與任何面都不是紅色的小正方體的數(shù)目相同，那么n=83.在中，，D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，CA上，那么的周長最小值為4.如果實數(shù)滿足，用A表示的最大值，那么A的最大值為第二試〔A〕一、〔此題總分值20分〕實數(shù)滿足求的值。解：設(shè)，那么因為，即，所以………………eq\o\ac(○,1)又因為………………eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)可得即注：符合條件的實數(shù)存在且不唯一，就是一組。二、〔此題總分值25分〕點C在以AB為直徑的圓O上，過點B、C作圓O的切線，交于點P，連AC，假設(shè)，求的值。解：連OC，因為PC，PB為圓O的切線，所以∠POC=∠POB。又因為OA=OC，所以∠OCA=∠OAC。又因為∠COB=∠OCA+∠OAC，所以2∠POB=2∠OAC，所以∠POB=∠OAC，所以O(shè)P∥AC。又∠POB=∠OAC，所以，所以。又，AB=2r，OB=r〔r為圓O的半徑〕，代入可求得OP=3r,AC=r.在中，由勾股定理可求得。所以。三、〔此題總分值25分〕是一元二次方程的一個根，假設(shè)正整數(shù)使得等式成立，求的值。解：因為是一元二次方程的一個根，顯然是無理數(shù)，且。等式即，即，即因為是正整數(shù)，是無理數(shù)，所以于是可得因此，是關(guān)于的一元二次方程的兩個整數(shù)根，該方程的判別式又因為是正整數(shù)，所以，從而可得又因為判別式是一個完全平方數(shù)，驗證可知，只有符合要求。把代入可得第二試〔B〕一、〔此題總分值20分〕，假設(shè)正整數(shù)使得等式成立，求的值。解：因為，所以等式即即，整理得于是可得因此，是關(guān)于的一元二次方程……eq\o\ac(○,1)的兩個整數(shù)根，方程eq\o\ac(○,1)的判別式又因為是正整數(shù)，所以，從而可得又因為判別式是一個完全平方數(shù)，驗證可知，只有符合要求，把代入得。二、〔此題總分值25分〕在中，AB>AC，O、I分別是的外心和內(nèi)心，且滿足AB-AC=2OI。求證：〔1〕OI∥BC；〔2〕。證明〔1〕作OM⊥BC于M，IN⊥BC于N。設(shè)BC=，AC=，AB=。易求得CM=，CN=，所以MN=CM-CN==OI，又MN恰好是兩條平行線OM，IN之間的垂線段，所以O(shè)I也是兩條平行線OM，IN之間的垂線段，所以O(shè)I∥MN，所以O(shè)I∥BC?！?〕由〔1〕知OMNI是矩形，連接BI，CI，設(shè)OM=IN=〔即為的內(nèi)切圓半徑〕，那么三、〔此題總分值25分〕假設(shè)正數(shù)滿足，求代數(shù)式的值。解：由