2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題及解答

2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽題一、填空題〔此題共10小題，總分值70分，每題7分．要求直接將答案寫在橫線上〕1．復(fù)數(shù)．2．直線是圓的一條對稱軸，那么實(shí)數(shù).3．某班共有30名學(xué)生，假設(shè)隨機(jī)抽查兩位學(xué)生的作業(yè)，那么班長或團(tuán)支書的作業(yè)被抽中的概率是〔結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示〕．4．，那么．5．向量a，b滿足，那么以向量與表示的有向線段為鄰邊的平行四邊形的面積為．6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．假設(shè){Sn}是首項(xiàng)及公比都為2的等比數(shù)列，那么數(shù)列{an3}的前n項(xiàng)和等于．7．設(shè)函數(shù)．假設(shè)f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，那么ab的取值范圍是．8．設(shè)f(m)為數(shù)列{an}中小于m的項(xiàng)的個數(shù)，其中，那么．9．一個等腰直角三角形的頂點(diǎn)分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上，那么此直角三角形的斜邊長是．10．m是正整數(shù)，且方程有整數(shù)解，那么m所有可能的值是．二、解答題〔本大題共4小題，每題20分，共80分〕11．圓與拋物線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)h的取值范圍．12．設(shè)．假設(shè)時，，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值．13．如圖，P是內(nèi)一點(diǎn)．〔1〕假設(shè)P是的內(nèi)心，證明：；〔2〕假設(shè)且，證明：P是的內(nèi)心．AABCP14．是實(shí)數(shù)，且存在正整數(shù)n0，使得為正有理數(shù)．證明：存在無窮多個正整數(shù)n，使得為有理數(shù)．2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽題答案及點(diǎn)評一、填空題〔此題共10小題，總分值70分，每題7分．要求直接將答案寫在橫線上〕1．復(fù)數(shù)．答案：－8根底題，送分題，高考難度2．直線是圓的一條對稱軸，那么實(shí)數(shù).答案：根底題，送分題，高考難度3．某班共有30名學(xué)生，假設(shè)隨機(jī)抽查兩位學(xué)生的作業(yè)，那么班長或團(tuán)支書的作業(yè)被抽中的概率是〔結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示〕．答案：根底題，送分題，高考難度，但需要認(rèn)真審題，否那么很容易有錯4．，那么．答案：計(jì)算量挺大的，要注重計(jì)算的方法，對于打醬油的同學(xué)有一定難度5．向量a，b滿足，那么以向量與表示的有向線段為鄰邊的平行四邊形的面積為．答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐標(biāo)系中，很容易可以得出答案6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．假設(shè){Sn}是首項(xiàng)及公比都為2的等比數(shù)列，那么數(shù)列{an3}的前n項(xiàng)和等于．答案：高考難度級別，根底好的同學(xué)可以做出來7．設(shè)函數(shù)．假設(shè)f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，那么ab的取值范圍是．答案：(0,2)這是一道高考題8．設(shè)f(m)為數(shù)列{an}中小于m的項(xiàng)的個數(shù)，其中，那么．答案：6這也是一道高考題9．一個等腰直角三角形的頂點(diǎn)分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上，那么此直角三角形的斜邊長是．答案：4eq\r(3)還是一道高考題10．m是正整數(shù)，且方程有整數(shù)解，那么m所有可能的值是．答案：3,14,30這是2023年蘇州市一模的第十四題。二、解答題〔本大題共4小題，每題20分，共80分〕11．圓與拋物線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)h的取值范圍．解：設(shè)公共點(diǎn)〔cosθ，sinθ〕，代入拋物線方程，得因?yàn)?，所以簡單，很簡?2．設(shè)．假設(shè)時，，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值．解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且在區(qū)間上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，故有，從而且．假設(shè)有實(shí)根，那么，在區(qū)間有即消去c，解出即，這時，且．假設(shè)無實(shí)根，那么，將代入解得．綜上．所以，單調(diào)遞減故．注重分類討論13．如圖，P是內(nèi)一點(diǎn)．〔1〕假設(shè)P是的內(nèi)心，證明：；〔2〕假設(shè)且，證明：P是的內(nèi)心．ABCABCP這其實(shí)是平面幾何一個很重要的結(jié)論，在一般的平面幾何的參考書上都有14．是實(shí)數(shù)，且存在正整數(shù)n0，使得為正有理數(shù)．證明：存在無窮多個正整數(shù)n，使得為有理數(shù)．證明：設(shè)，其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，那么．設(shè)k為任意的正整數(shù)，構(gòu)造，那么．非常非常常規(guī)的一道數(shù)論題，不需要數(shù)論的預(yù)備知識總結(jié)：這張?jiān)嚲泶蠹s90分以上應(yīng)該可以出線了。一般說來，出線并不算太難，只要平時根底好，不粗心，填空題應(yīng)該可以做總分值〔筆者錯了一個〕，對于沒