有限元學生提問與解答秋

學生問題及解答1三結點三角形單元的位移函數構造。軸對稱問題，各項應變的含義。在描述板的內力方程時，微元體只表示出正應力合成了彎矩，剪應力合成了扭矩，為什么沒有剪應力合成剪力？拿懸臂板和懸臂梁作對比，為什么微元體側面的剪力不見了？在梁里面，彎矩和剪力是成對出現的，為什么板里面剪力和彎矩不成對出現？第4章薄板問去問題。教材和講義中，轉角的方向有不對的地方，轉角是撓度對坐標的偏導，根據右手螺旋法則，有些地方轉角的正負號規(guī)定不對？25.在第4章計算例題部分，算內力時，那個[S]矩陣究竟是幾乘幾階？31．關于三結點三角形單元的位移函數構造，為什么不宜取如下位移函數？(2)(3)(1)4學生的疑問：三角形有3個頂點，有6個已知位移分量，則可以確定以上位移函數的6個待定系數，或者說只要待定系數是6個，都可以求出，那位移函數就可以求出來。也就是說，不管假設位移函數是x、y的幾次多項式，都能求出位移函數。位移函數是坐標x,y的函數，不是結點位移的函數，因為結點位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某個點的值，不是變量。對于位移的協(xié)調性問題，在相鄰單元公共邊，只要兩個結點位移確定了，就可以根據位移函數計算出邊界上各個點的位移值，那相鄰單元公共邊的位移肯定是一樣，為什么會不協(xié)調呢？5在有限元里面，假設的位移函數是用來表達單元內任意點的位移和節(jié)點位移的關系。位移函數是坐標x,y的函數，同時也是節(jié)點位移的函數。不能說結點位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某個點的具體值，不是變量。相對于位移函數來說，它們當然是變量，因為位移函數要表達單元內部任意點的位移和節(jié)點位移的關系，相對于位移函數來說，節(jié)點位移是自變量。對于三結點三角形單元，任何假設的位移函數，只要待定系數是6個，肯定能解出6個待定系數，但是假定的位移函數是否合理，還要考慮位移模式的收斂性條件：完備性和連續(xù)性6(1)完備性要求，即位移模式必須包含剛體位移和常應變。(2)(1)(1)(2)沒有包含剛體轉動位移如(1)，在單元內同一條豎直線上，u位移都相同，不能表達單元的剛體轉動。如(2)，當發(fā)生剛體轉動時，在同一條豎直線上，u位移是y的二次函數，不是直線，不符合剛體位移的要求。剛體位移7對于常應變問題，位移函數（1）（2）中沒有剪應變的常應變項，（3）中沒有正應變的常應變項。(2)(1)(3)8(2)連續(xù)性要求：對于位移函數是線性的情況，即單元中的一條直線變形后仍為直線，而相鄰單元在兩個公共節(jié)點上的位移又應是相等的，所以位移協(xié)調。檢查位移函數(1)，對于圖示的兩個直角三角形單元，當節(jié)點3發(fā)生水平位移到3’，根據位移函數，單元(1)和(2)在公共邊23上的水平位移u是個常數，根本沒法描述發(fā)生圖示位移的情況，則23邊上的水平位移究竟是多少？不能確定，或者說解不出來，那么如何滿足相鄰單元(1)和(2)在公共邊23上的位移協(xié)調呢？存在矛盾。(1)92.軸對稱問題，各項應變的含義？（在講義2.7八結點曲線四邊形等參元，介紹單剛時，列出了軸對稱問題的應變）在軸對稱問題中，通常采用圓柱坐標(r,θ,z)，以對稱軸作為z軸，所有應力、應變和位移都與θ無關，只是r和z的函數。任意點的位移只有兩個方向的分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w。由于軸對稱，θ方向的環(huán)向為零。因此軸對稱問題是二維問題如果彈性體的幾何形狀、約束條件及荷載都對稱于某一軸，例如z軸，則所有的位移、應變及應力也對稱于此軸。這種問題稱為軸對稱應力問題。10由于對稱，只須取出一個截面進行分析，但在計算中應注意到所采用的單元是圓環(huán)。rzθ

位移向量{u,w}113.在描述板的內力方程時，微元體只表示出正應力合成了彎矩，剪應力合成了扭矩，為什么沒有剪應力合成剪力？拿懸臂板和懸臂梁作對比，為什么微元體側面的剪力不見了？在梁里面，彎矩和剪力是成對出現的，為什么板里面剪力和彎矩不成對出現？仔細考慮此問題，需要對薄板彎曲問題的基本假定描述做進一步細化，并修改一些表達?；炯俣ǎ海薄⒙匀ゴ怪庇谥忻娴姆ㄏ驊Α?εz=0,可以忽略σz,在薄板中面的任一根法線上，薄板全厚度內的所有各點都具有相同的位移，即以中面上沿z方向的撓度w代表板的撓度。)12２、變形前垂直中面的任意直線，變形后仍保持為垂直中面的直線。（─法向假定，忽略了沿z軸的剪應力τzx和τzy所對應的剪應變，即εzx=0,εzy=0。但是在考察薄板微分單元的平衡時τzx和τzy是必須的。這種應力和變形之間的矛盾在應用彈性力學中是經常出現的，如在桿件彎曲理論中也存在類似的情況，對于一般的梁，忽略剪切變形對撓度的影響，但是截面的剪應力是不能忽略的。）３、板彎曲時，中面不產生應力。(─中面中性層假定，在中面上，εx=εy=εxy=0)13③z平面的應變分量和曲、扭率基本假定，由于

,

故板內任意點的應變與平面問題相同，剩下

內力方程（內力─撓度關系）對于薄板彎曲問題，由垂直板面的荷載引起的剪應力一般較小，常常忽略不計。但是在很大的集中荷載作用下，需要考慮沖切問題。144.第4章薄板問去問題。教材和講義中，轉角的方向有不對的地方，轉角是撓度對坐標的偏導，根據右手螺旋法則，有些地方轉角的正負號規(guī)定不對？A點撓度為w,則沿x方向傾角(繞y軸)沿y方向傾角(繞x軸)這里轉角的方向按右手螺旋法則確定正負號時，以逆時針為正。15另外，也可以嘗試假設撓度是x或y的一次多項式，則一次式的對x或y求導就是轉角，也符合圖示對應的正負號。對于

，它要反映在xoz平面這條邊的轉角，x軸朝右，此時用右手螺旋法則時，大拇指要對著觀察者。對于，它要反映在yoz平面這條邊的轉角，從右往左看過去，y軸要朝右，此時用右手螺旋法則時，也要大拇指要對著觀察者。165.在第4章計算例題部分，算內力時，那個[S]矩陣究竟是幾乘幾階？根據內力計算公式，則[s]的階數是3*12階，而結點位移3rrvn17e是12*1階的向量，相乘之后得到{F}是3*1階的向量，而在算例中得到的內力是12*1階的向量，如何解釋這個矛盾，[S]究竟是幾階的矩陣？解釋：表達單元的內力方程時，

時，單元內每個點的內力有3個，兩個彎矩和一個扭矩，{F}和{S}都是x,y的