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會(huì)計(jì)學(xué)1D一階線性方程和伯努利方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解一階齊次線性微分方程通解一階非齊次線性微分方程特解2.解一階非齊次線性微分方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共11頁(yè)例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次的方程得解得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共11頁(yè)8.3.2伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共11頁(yè)例2.求方程的通解.解:這是n=2的伯努利方程,令代入原來(lái)已知方程得到這是一階線性微分方程，其通解為將代入,得原方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則或此外方程還有解y=0.第4頁(yè)/共11頁(yè)例3.解方程解若把所給方程變形為即為一階線性方程,則按一階線性方程的解法可求得通解.也可用變量代換來(lái)解所給方程:令則代入原方程,得分離變量得常利用變量代換把微分方程化為可解的另一類微分方程。第5頁(yè)/共11頁(yè)兩端積分得以代入上式,即得或第6頁(yè)/共11頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解一階齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共11頁(yè)思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共11頁(yè)P(yáng)357

1(1),(3),(5);2(1),(3);3(2).作業(yè)第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共11頁(yè)(雅各布第一·伯努利)

書(shū)中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過(guò)十多1694年他首次給出了直角坐1

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