D向量及其線性運(yùn)算

會計(jì)學(xué)1D向量及其線性運(yùn)算規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;第1頁/共26頁二、向量的線性運(yùn)算1向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.第2頁/共26頁第3頁/共26頁2向量的減法三角不等式第4頁/共26頁可見3向量與數(shù)的乘法

是一個數(shù),大小:注:（1）運(yùn)算律:結(jié)合律分配律

與a

的乘積是一個新向量,記作方向:時(shí)，（2）∥第5頁/共26頁定理1

(為唯一實(shí)數(shù))證明:,取＝±且故唯一

.則設(shè)

a

為非零向量,則a∥b設(shè)a∥b反向時(shí)取負(fù)號,,a,b

同向時(shí)取正號則b

與

a設(shè)又有b＝

a,顯然若

b＝a,a∥b證畢..“”.“”.再證數(shù)的唯一性.方向相同,第6頁/共26頁例1

設(shè)M

為解:ABCD對角線的交點(diǎn),第7頁/共26頁x軸(橫軸)ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條兩兩垂直的單位向量按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)O,

坐標(biāo)面

卦限(八個)1空間直角坐標(biāo)系的基本概念ⅠzOx面第8頁/共26頁在空間直角坐標(biāo)系下向徑坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組稱為點(diǎn)

M

的坐標(biāo),原點(diǎn)O(0,0,0);記作第9頁/共26頁坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:第10頁/共26頁在空間直角坐標(biāo)系下2向量的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)分解式叫做向量在三個坐標(biāo)軸上的分向量的坐標(biāo),叫做向量在三個坐標(biāo)軸上的投影記作與其向徑有相同的坐標(biāo).顯然：第11頁/共26頁四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:

設(shè)類似的，若第12頁/共26頁例2求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得第13頁/共26頁例3已知兩點(diǎn)在AB所在直線上求一點(diǎn)M,使解:

設(shè)M

的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即第14頁/共26頁說明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:第15頁/共26頁設(shè)五、向量的模、方向角、投影作則對兩點(diǎn)因得兩點(diǎn)間的距離公式:1向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式第16頁/共26頁例4

求證以證明:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)第17頁/共26頁例6

已知兩點(diǎn)解:求的單位向量例5在z軸上求與兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)

.解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及所以第18頁/共26頁2方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

第19頁/共26頁方向余弦的性質(zhì):規(guī)定：零向量與其它向量的夾角可取0到

之間的任何值.第20頁/共26頁例7已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量第21頁/共26頁3向量在軸上的投影則

a

在軸u

上的投影為例如,在坐標(biāo)軸上的投影分別為設(shè)a

與u

軸正向的夾角為

,,即投影的性質(zhì)2)1)(為實(shí)數(shù))或或第22頁/共26頁例8設(shè)立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA,且求OA在OM

方向上的投影.解:如圖所示,記∠MOA=,第23頁/共26頁備用題解:

因1

設(shè)求向量在x

軸上的投影及在y軸上