D高階偏導數(shù)方向導數(shù)與梯

會計學1D高階偏導數(shù)方向導數(shù)與梯一、高階偏導數(shù)設z=f(x,y)在域D

內存在連續(xù)的偏導數(shù)若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導數(shù)

.按求導順序不同,有下列四個二階偏導數(shù):2/30第1頁/共31頁類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，z=f(x,y)關于x的三階偏導數(shù)為z=f(x,y)關于x的n–1階偏導數(shù),再關于y

的一階偏導數(shù)為3/30第2頁/共31頁例1.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結論并不總成立.的二階偏導數(shù)及4/30第3頁/共31頁例如,二者不等5/30第4頁/共31頁例2.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程6/30（偏微分方程）第5頁/共31頁則定理.例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.(與求導次序無關.)因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等(證明在P29-30)7/30第6頁/共31頁二、方向導數(shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點

P處沿方向l

的方向導數(shù).在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作8/30第7頁/共31頁定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向導數(shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點P

可微,得故9/30第8頁/共31頁對于二元函數(shù)為,)的方向導數(shù)為特別:?當l與x軸同向?當l與x軸反向向角10/30第9頁/共31頁例3.求函數(shù)

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向導數(shù).解:

向量

l

的方向余弦為11/30第10頁/共31頁例4.

求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向導數(shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P

的切向量為12/30第11頁/共31頁例5.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向導數(shù).在點P處沿求函數(shù)13/30第12頁/共31頁三、梯度方向導數(shù)公式令向量這說明方向：f的值增長最快的那個方向;模:

f的最大方向導數(shù)的值.方向導數(shù)取最大值：14/30第13頁/共31頁1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點P

處的梯度記作(gradient),在點處的梯度說明:函數(shù)的方向導數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義15/30第14頁/共31頁稱為函數(shù)f

的等值線(P5).則L*上點P處的法向量為同樣,對應函數(shù)有等值面(等量面)當各偏導數(shù)不同時為零時,其上點P處的法向量為16/30（等值線實質就是曲面z=f(x,y）與平面z=C

的交線在xoy坐標平面上的投影.）第15頁/共31頁3.梯度的基本運算公式17/30函數(shù)在一點的梯度垂直于等值面(或等值線)在該點的切線(或梯度與等值線在相應點的法線平行),指向函數(shù)增大的方向.第16頁/共31頁例6.證:試證處矢徑r的模,18/30第17頁/共31頁例7.已知位于坐標原點的點電荷q

在任意點試證證:利用例4的結果這說明場強:處所產生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.19/30第18頁/共31頁內容小結

混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關

求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關時,應選擇方便的求導順序)1.高階偏導數(shù)20/30第19頁/共31頁2.方向導數(shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向導數(shù)為?二元函數(shù)在點的方向導數(shù)為沿方向l(方向角為21/30第20頁/共31頁3.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的梯度為22/30第21頁/共31頁5.方向導數(shù)的幾何意義(P26)4.幾個概念之間的關系方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在?

可微梯度在方向l

上的投影.23/30第22頁/共31頁思考與練習1.設函數(shù)(1)求函數(shù)在點M(1,1,1)處沿曲線在該點切線方向的方向導數(shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.24/30第23頁/共31頁曲線1.(1)在點解答提示:函數(shù)沿l的方向導數(shù)M(1,1,1)處切線的方向向量25/30第24頁/共31頁26/30第25頁/共31頁備用題

1.函數(shù)在點處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性(92考研)27/30第26頁/共31頁指向B(3,－2,2)方向的方向導數(shù)是

.在點A(1,0,1)處沿點A2.函數(shù)提示:則(96考研)28/30第27頁/共31頁證:令則則定理.令29/30補充內容第28頁/共31頁同樣在點連續(xù),得30/30第29頁/共31頁數(shù)學實驗安排第12周（5月13號）主B-304上數(shù)學實驗理論課第13周上機實驗，地點:理科樓－2261.核工程01,建環(huán)01,土木01

時間:（5月18號）星期三3-4節(jié)10:00-12:00;2.核工程02,03,地環(huán)01

時間:(5月20號)星期五3-4節(jié)10:00-12:00;第14周（5月27號）主B-304上數(shù)學實驗理論課第15周上機實驗，地點:理科樓－2261.核