D高階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)與梯

會(huì)計(jì)學(xué)1D高階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)與梯一、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):2/30第1頁(yè)/共31頁(yè)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為3/30第2頁(yè)/共31頁(yè)例1.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及4/30第3頁(yè)/共31頁(yè)例如,二者不等5/30第4頁(yè)/共31頁(yè)例2.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程6/30（偏微分方程）第5頁(yè)/共31頁(yè)則定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.(與求導(dǎo)次序無關(guān).)因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明在P29-30)7/30第6頁(yè)/共31頁(yè)二、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點(diǎn)

P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點(diǎn)處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作8/30第7頁(yè)/共31頁(yè)定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P

可微,得故9/30第8頁(yè)/共31頁(yè)對(duì)于二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向向角10/30第9頁(yè)/共31頁(yè)例3.求函數(shù)

在點(diǎn)

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:

向量

l

的方向余弦為11/30第10頁(yè)/共31頁(yè)例4.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P

的切向量為12/30第11頁(yè)/共31頁(yè)例5.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)13/30第12頁(yè)/共31頁(yè)三、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f的值增長(zhǎng)最快的那個(gè)方向;模:

f的最大方向?qū)?shù)的值.方向?qū)?shù)取最大值：14/30第13頁(yè)/共31頁(yè)1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P

處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義15/30第14頁(yè)/共31頁(yè)稱為函數(shù)f

的等值線(P5).則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為16/30（等值線實(shí)質(zhì)就是曲面z=f(x,y）與平面z=C

的交線在xoy坐標(biāo)平面上的投影.）第15頁(yè)/共31頁(yè)3.梯度的基本運(yùn)算公式17/30函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于等值面(或等值線)在該點(diǎn)的切線(或梯度與等值線在相應(yīng)點(diǎn)的法線平行),指向函數(shù)增大的方向.第16頁(yè)/共31頁(yè)例6.證:試證處矢徑r的模,18/30第17頁(yè)/共31頁(yè)例7.已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q

在任意點(diǎn)試證證:利用例4的結(jié)果這說明場(chǎng)強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.19/30第18頁(yè)/共31頁(yè)內(nèi)容小結(jié)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)1.高階偏導(dǎo)數(shù)20/30第19頁(yè)/共31頁(yè)2.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為21/30第20頁(yè)/共31頁(yè)3.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為22/30第21頁(yè)/共31頁(yè)5.方向?qū)?shù)的幾何意義(P26)4.幾個(gè)概念之間的關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在?

可微梯度在方向l

上的投影.23/30第22頁(yè)/共31頁(yè)思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)M(1,1,1)處沿曲線在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.24/30第23頁(yè)/共31頁(yè)曲線1.(1)在點(diǎn)解答提示:函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量25/30第24頁(yè)/共31頁(yè)26/30第25頁(yè)/共31頁(yè)備用題

1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對(duì)稱性(92考研)27/30第26頁(yè)/共31頁(yè)指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A2.函數(shù)提示:則(96考研)28/30第27頁(yè)/共31頁(yè)證:令則則定理.令29/30補(bǔ)充內(nèi)容第28頁(yè)/共31頁(yè)同樣在點(diǎn)連續(xù),得30/30第29頁(yè)/共31頁(yè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)安排第12周（5月13號(hào)）主B-304上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理論課第13周上機(jī)實(shí)驗(yàn)，地點(diǎn):理科樓－2261.核工程01,建環(huán)01,土木01

時(shí)間:（5月18號(hào)）星期三3-4節(jié)10:00-12:00;2.核工程02,03,地環(huán)01

時(shí)間:(5月20號(hào))星期五3-4節(jié)10:00-12:00;第14周（5月27號(hào)）主B-304上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理論課第15周上機(jī)實(shí)驗(yàn)，地點(diǎn):理科樓－2261.核