DSP定點(diǎn)和浮點(diǎn)數(shù)格式

會(huì)計(jì)學(xué)1DSP定點(diǎn)和浮點(diǎn)數(shù)格式格式和字長(zhǎng)決定了數(shù)據(jù)的精度和動(dòng)態(tài)范圍格式和字長(zhǎng)也在一定程度上決定了DSP處理器的成本、功耗和編程難度第1頁/共41頁2、

定點(diǎn)數(shù)的格式與運(yùn)算1.定點(diǎn)數(shù)的格式1）Qn格式2）數(shù)值范圍與精度3）動(dòng)態(tài)范圍2.定點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算1）定點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算2）定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算3）定點(diǎn)數(shù)的除法運(yùn)算第2頁/共41頁小數(shù)點(diǎn)1.定點(diǎn)數(shù)的格式1）Qn格式Q標(biāo)志：表示隱含的小數(shù)點(diǎn)的位置第3頁/共41頁二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)01010011b，粗線表示隱含的小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)于負(fù)數(shù)（最高位MSB為1），要先把它轉(zhuǎn)化為無符號(hào)二進(jìn)制數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算，最后加上負(fù)號(hào)例：8位字長(zhǎng)位7MSB6543210LSB二進(jìn)制補(bǔ)碼01010011Q0符號(hào)26252423222120Q4符號(hào)2221202-12-22-32-4Q7符號(hào)2-12-22-32-42-52-62-7第4頁/共41頁定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)、定點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系浮點(diǎn)數(shù)X

Qn格式的定點(diǎn)數(shù)Xn例：5.1875Q4定點(diǎn)數(shù)5.1875×24

＝83＝01010011bQn格式的定點(diǎn)數(shù)Xn為浮點(diǎn)數(shù)X例：(Q7)01010011b浮點(diǎn)數(shù)83/27

＝0.6484375Qn格式的定點(diǎn)數(shù)XnQm格式的定點(diǎn)數(shù)Xm例：(Q7)01010011bQ4定點(diǎn)數(shù)83/27

＝0.6484375int(0.6484375×24)＝int(10.375)＝10＝00001010b10/24

＝0.625≠0.6484375第5頁/共41頁給定字長(zhǎng)N，采用Qn格式表示小數(shù)數(shù)值范圍：精度：2）數(shù)值范圍與精度第6頁/共41頁Qn格式數(shù)值范圍精度Q15-1～0.9999694824218750.000030517578125Q14-2～1.999938964843750.00006103515625Q13-4～3.99987792968750.0001220703125Q12-8～7.9997558593750.000244140625Q11-16～15.999511718750.00048828125Q10-32～31.99902343750.0009765625Q9-64～63.9980468750.001953125Q8-128～127.996093750.00390625Q7-256～255.99218750.0078125Q6-512～511.9843750.015625Q5-1024～1023.968750.03125Q4-2048～2047.93750.0625Q3-4096～4095.8750.125Q2-8192～8191.750.25Q1-16384～16383.50.5Q0-32768～32767116位字長(zhǎng)Qn格式的數(shù)值范圍與精度第7頁/共41頁動(dòng)態(tài)范圍：數(shù)據(jù)表示格式中可以表示的最大值與最小值之比N位定點(diǎn)數(shù)的動(dòng)態(tài)范圍：用分貝表示為：3）動(dòng)態(tài)范圍第8頁/共41頁動(dòng)態(tài)范圍：數(shù)據(jù)表示格式中可以表示的最大值與最小值之比定點(diǎn)DSP處理器大多采用16位定點(diǎn)數(shù)對(duì)于要求更大動(dòng)態(tài)范圍的應(yīng)用，可以采用擴(kuò)展字長(zhǎng)的方式，即用兩個(gè)或更多的字來表示數(shù)據(jù)定點(diǎn)DSP處理器要求編程時(shí)要仔細(xì)考慮信號(hào)幅值和中間結(jié)果，在避免溢出和盡可能減小舍入誤差的前提下，使精度和動(dòng)態(tài)范圍最大化第9頁/共41頁2.定點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算1）定點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算相同的Qn格式，保證隱含的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊最可能出現(xiàn)的問題是運(yùn)算結(jié)果的溢出例：兩個(gè)8位數(shù)相加，無溢出進(jìn)位位與最高位（MSB）相同8位字長(zhǎng)可以表示結(jié)果，沒有發(fā)生數(shù)據(jù)溢出11111100b（-4）00101001b（41）+11111110b（-2）+00110011b（51）111111010b（-6）001011100b（92）第10頁/共41頁例：兩個(gè)8位數(shù)相加，有溢出進(jìn)位位與最高位（MSB）不同運(yùn)算結(jié)果發(fā)生溢出，8位字長(zhǎng)已不能正確地表示結(jié)果10110000b（-80）00101001b（41）+10111111b（-65）+01110011b（115）非飽和模式：101101111b（-145）非飽和模式：010011100b（156）飽和模式：110000000b（-128）飽和模式：001111111b（127）第11頁/共41頁溢出是由于字長(zhǎng)有限，運(yùn)算結(jié)果超出數(shù)值的表示范圍引起的飽和模式定點(diǎn)數(shù)減法運(yùn)算的原理與加法運(yùn)算相同第12頁/共41頁2）定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算DSP處理器都有硬件乘法器和乘法指令，可實(shí)現(xiàn)單周期乘法運(yùn)算二進(jìn)制乘法運(yùn)算包含一系列的移位和加法運(yùn)算定點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算不要求相乘數(shù)有相同的Qn格式兩個(gè)相乘數(shù)分別為Qn和Qm格式，字長(zhǎng)為N，結(jié)果為Q(n+m)格式，字長(zhǎng)為2N根據(jù)n和m的不同取值，定點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算可以分成三種情況①小數(shù)乘小數(shù)（n、m≠0，m≤n）②整數(shù)乘小數(shù)（n≠0、m=0）③整數(shù)乘整數(shù)（n=m=0）第13頁/共41頁①小數(shù)乘小數(shù)（n、m≠0，m≤n）例：兩個(gè)相乘數(shù)分別為Q7和Q6格式，8位字長(zhǎng)兩個(gè)定點(diǎn)小數(shù)作乘法運(yùn)算，結(jié)果左移一位，保存高位得到運(yùn)算結(jié)果，結(jié)果為Qm（m≤n）格式0.1000000b（0.5Q7）

01.100000b（1.5Q6）000.1100000000000b（0.75Q13）左移一位：00.11000000000000b（0.75Q14）取高8位：00.110000b（0.75Q6）第14頁/共41頁②整數(shù)乘小數(shù)（n≠0、m=0）例：兩個(gè)相乘數(shù)分別為Q7和Q0格式，8位字長(zhǎng)0.1000000b（0.5Q7）

11111001.b（-7Q0）111111100.1000000b（-3.5Q7）左移一位：11111100.10000000b（-3.5Q8）取高8位：11111100.b（-3.Q0）第15頁/共41頁誤差小于等于Qn格式精度的一半，即小于等于1/2n+1單次計(jì)算的誤差并不大，但如果是連續(xù)的運(yùn)算，則誤差會(huì)累積和傳遞，從而產(chǎn)生比較大的誤差DSP處理器提供了自動(dòng)舍入功能來減小誤差保留整個(gè)32位中間結(jié)果小數(shù)乘小數(shù)、整數(shù)乘小數(shù)運(yùn)算都要求對(duì)乘積結(jié)果左移一位后，保存高位DSP處理器帶有可選的自動(dòng)左移一位的功能，消除移位操作的時(shí)間開銷第16頁/共41頁③整數(shù)乘整數(shù)（n=m=0）例：兩個(gè)相乘數(shù)都為Q0格式，8位字長(zhǎng)整數(shù)相乘，結(jié)果為Q0格式，需查詢標(biāo)志位確定保存的位數(shù)，結(jié)果不需要左移一位11111100.b（-4Q0）

11111001.b（-7Q0）0000000000011100.b（28Q0）取低8位：00011100.b（28Q0）第17頁/共41頁3）定點(diǎn)數(shù)的除法運(yùn)算大多數(shù)DSP處理器不提供單周期除法指令除法是乘法的逆運(yùn)算，包括一系列移位和條件減法運(yùn)算，需要用除法子程序?qū)崿F(xiàn)例：8位字長(zhǎng)的正整數(shù)相除被除數(shù)為00001010b（10）除數(shù)為00000011b（3）第18頁/共41頁①②00001010b－00000110b商數(shù)：00000001余數(shù)：00000100b③00001000b－00000110b商數(shù)：00000011余數(shù)：00000010b第19頁/共41頁④⑤00000100b－00000110b余數(shù)（丟棄）：11111110b商數(shù)：00000110余數(shù)：00000100b00001000b－00000110b商數(shù)：00001101余數(shù)：00000010b第20頁/共41頁⑥⑦00000100b－00000110b余數(shù)（丟棄）：11111110b商數(shù)：00011010余數(shù)：00000100b00001000b－00000110b商數(shù)：00110101余數(shù)：00000010b第21頁/共41頁⑧⑨對(duì)結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)右移一位，得到Q5格式的結(jié)果011.01010b（3.3125），最高位MSB為符號(hào)位00000100b－00000110b余數(shù)（丟棄）：11111110b商數(shù)：01101010余數(shù)：00000100b計(jì)算中，共進(jìn)行了7次移位和條件減操作，得到8位（1個(gè)符號(hào)位和7個(gè)數(shù)據(jù)位）的結(jié)果要增加精度，可以增加移位和條件減的次數(shù)，如15次移位和條件減可以得到16位的結(jié)果第22頁/共41頁對(duì)于兩個(gè)正的小數(shù)相除（Qn格式除以Qm格式）如Q3格式的00001.010b（1.25）除以Q2格式的000000.11b（0.75）把兩個(gè)正的小數(shù)看作兩個(gè)Q0格式的正整數(shù)相除，即00001010b（10）除以00000011b（3）與上面例子相同，結(jié)果為Q5格式011.01010b最后對(duì)結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)位置左移n-m位對(duì)于本例3-2=1>0，則結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)左移一位，最后結(jié)果為Q6格式01.101010b（1.65625）如果除法運(yùn)算中包含負(fù)數(shù)，應(yīng)將負(fù)數(shù)變換為等值的正數(shù)，然后作除法運(yùn)算，最后加上正確的符號(hào)第23頁/共41頁2.3浮點(diǎn)數(shù)的格式與運(yùn)算1.浮點(diǎn)數(shù)的格式1）IEEE754浮點(diǎn)數(shù)格式2）TMS320C3X浮點(diǎn)數(shù)格式3）浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)值范圍、精度和動(dòng)態(tài)范圍2.浮點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算1）浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算2）浮點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算3）浮點(diǎn)數(shù)的除法運(yùn)算第24頁/共41頁浮點(diǎn)數(shù)表示為尾數(shù)和指數(shù)的形式式中，m為尾數(shù)，e為指數(shù)符號(hào)、尾數(shù)和指數(shù)編碼在同一個(gè)二進(jìn)制字中1.浮點(diǎn)數(shù)的格式符號(hào)、尾數(shù)和指數(shù)的位數(shù)和位域不同，浮點(diǎn)數(shù)格式不同，常用的浮點(diǎn)數(shù)格式有IEEE754標(biāo)準(zhǔn)定義的單精度格式和雙精度格式TI公司定義的TMS320C3X浮點(diǎn)數(shù)格式第25頁/共41頁1）IEEE754浮點(diǎn)數(shù)格式單精度格式：24位有效數(shù)字，總共占用32位雙精度格式：53位有效數(shù)字精度，并總共占用64位擴(kuò)展單精度格式：擴(kuò)展雙精度格式：必須至少具有64位有效數(shù)字，并總共占用至少79位第26頁/共41頁表示的數(shù)值第27頁/共41頁通常情況，即1≤e≤254時(shí)四種特殊情況①當(dāng)e=0、f≠0時(shí)，尾數(shù)是個(gè)非歸一化的數(shù)②當(dāng)e=0、f=0時(shí)，x=0③當(dāng)e=255、f=0時(shí)，x為正（s=0）或負(fù)（s=1）的無窮大④當(dāng)e=255、f≠0時(shí)，x為一個(gè)無效數(shù)（NaN—NotaNumber）最高位（第31位）為符號(hào)位s第28頁/共41頁①32位單精度浮點(diǎn)數(shù)1100,0011,0101,0010,0000,0000,0000,0000b②32位單精度浮點(diǎn)數(shù)0011,1101,0011,1110,0000,0000,0000,0000b例第29頁/共41頁許多32位浮點(diǎn)DSP處理器具有40位的運(yùn)算單元，可以進(jìn)行擴(kuò)展單精度格式的浮點(diǎn)運(yùn)算擴(kuò)展單精度格式與單精度格式的區(qū)別是，擴(kuò)展單精度格式的尾數(shù)增加了8位，達(dá)到31位第30頁/共41頁2）TMS320C3X浮點(diǎn)數(shù)格式16位短浮點(diǎn)格式32位單精度格式40位擴(kuò)展精度格式32位單精度浮點(diǎn)數(shù)格式用的最多第31頁/共41頁表示的數(shù)值第32頁/共41頁3）浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)值范圍、精度和動(dòng)態(tài)范圍以IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)為例數(shù)值范圍不考慮s，當(dāng)e=254，f為全1最大的數(shù)（1－2-23）2127=1.701412×1038，加上符號(hào)就對(duì)應(yīng)為正的和負(fù)的最大數(shù)IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)值范圍為，－1.701412×1038～1.701412×1038第33頁/共41頁精度尾數(shù)f為23位，f變化的最小值為1/223與定點(diǎn)數(shù)不同，這個(gè)最小值并不是浮點(diǎn)數(shù)的精度，精度還與指數(shù)有關(guān)浮點(diǎn)數(shù)的精度是變化的，與數(shù)值的大小有關(guān)定點(diǎn)數(shù)的數(shù)值是等間隔的由于指數(shù)項(xiàng)的存在，浮點(diǎn)數(shù)的變化不是等間隔的，指數(shù)大、數(shù)值大、數(shù)值間隔也大；相反，指數(shù)小、數(shù)值小、數(shù)值間隔也小第34頁/共41頁最大數(shù)（1－2-23）2127不考慮s，當(dāng)e=1，f為全零時(shí)，得到最小數(shù)2-126動(dòng)態(tài)范圍動(dòng)態(tài)范圍若考慮e=0、f0

時(shí)的情況，動(dòng)態(tài)范圍還會(huì)更大浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)值范圍和動(dòng)態(tài)范圍都要比定點(diǎn)數(shù)大的多，浮點(diǎn)數(shù)的精度是變化的，與數(shù)值的大小有關(guān)第35頁/共41頁2.浮點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算分成兩個(gè)部分尾數(shù)的算術(shù)運(yùn)算指數(shù)的算術(shù)運(yùn)算設(shè)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)分別為x1＝m1×2e1x2＝m2×2e2m1和e1分別為x1的指數(shù)和尾數(shù)m2和e2分別為x2的指數(shù)和尾數(shù)浮點(diǎn)DSP處理器提供單周期加法、乘法和乘累加運(yùn)算第36頁/共41頁1）浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算設(shè)