初等數(shù)論簡介實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1初等數(shù)論簡介實(shí)用整除理論是初等數(shù)論的基礎(chǔ)；同余理論是初等數(shù)論的核心；不定方程是推進(jìn)數(shù)論發(fā)展的最主要的課題；初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。第1頁/共25頁自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，初等數(shù)論的大部份內(nèi)容早在古希臘歐幾里德的《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）中就已出現(xiàn)。歐幾里得證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，他還給出求兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)的方法，即所謂歐幾里得算法。我國古代在數(shù)論方面亦有杰出之貢獻(xiàn)，現(xiàn)在一般數(shù)論書中的“中國剩余定理”，正是我國古代《孫子算經(jīng)》中的下卷第26題，我國稱之為孫子定理。二、數(shù)論的發(fā)展史第2頁/共25頁近代初等數(shù)論的發(fā)展得益於費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探究》，開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。高斯還提出：

“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王”第3頁/共25頁由于自20世紀(jì)以來引進(jìn)了抽象數(shù)學(xué)和高等分析的巧妙工具，數(shù)論得到進(jìn)一步的發(fā)展，從而開闊了新的研究領(lǐng)域，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等新分支。而且近年來初等數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域內(nèi)更得到了廣泛的應(yīng)用，無疑同時(shí)也促進(jìn)著數(shù)論的發(fā)展。第4頁/共25頁三、幾個(gè)著名數(shù)論難題初等數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，歷史上遺留下來沒有解決的大多數(shù)數(shù)論難題其問題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。其中，非常著名的問題有：哥德巴赫猜想；費(fèi)爾馬大定理；孿生素?cái)?shù)問題；完全數(shù)問題等。第5頁/共25頁1742年,由德國中學(xué)教師哥德巴赫在教學(xué)中首先發(fā)現(xiàn)的。1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉,正式提出了以下的猜想：

一個(gè)大于6的偶數(shù)可以表示為不同的兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。陳景潤在1966年證明了“哥德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”〔所謂的1+2〕，是篩法的光輝頂點(diǎn)，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好結(jié)果。1、哥德巴赫猜想：第6頁/共25頁2、費(fèi)爾馬大定理：費(fèi)馬是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱。在三百七十多年前的某一天，費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書時(shí)，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個(gè)看起來很簡單的定理。經(jīng)過8年的努力，英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯終于在1995年完成了該定理的證明。第7頁/共25頁3、孿生素?cái)?shù)問題存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2也是素?cái)?shù)。究竟誰最早明確提出這一猜想已無法考證，但是1849年法國數(shù)學(xué)AlphonsedePolignac提出猜想：對于任何偶數(shù)2k,存在無窮多組以2k為間隔的素?cái)?shù)。對于k=1，這就是孿生素?cái)?shù)猜想，因此人們有時(shí)把AlphonsedePolignac作為孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。不同的k對應(yīng)的素?cái)?shù)對的命名也很有趣，k=1我們已經(jīng)知道叫做孿生素?cái)?shù)；k=2(即間隔為4)的素?cái)?shù)對被稱為cousinprime；而k=3(即間隔為6)的素?cái)?shù)對竟然被稱為sexyprime(不過別想歪了，之所以稱為sexyprime其實(shí)是因?yàn)閟ex正好是拉丁文中的6。)第8頁/共25頁4、最完美的數(shù)——完全數(shù)問題下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28,28=1+2+4+7+14.

接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù)。完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達(dá)哥拉斯的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到,數(shù)6有一個(gè)特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.第9頁/共25頁1、算經(jīng)十書

唐代國子監(jiān)內(nèi)設(shè)立算學(xué)館，置博士、助教指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，規(guī)定《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算經(jīng)》十部算經(jīng)為課本，用以進(jìn)行數(shù)學(xué)教育和考試，后世通稱為算經(jīng)十書．算經(jīng)十書是中國漢唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的十部數(shù)學(xué)著作．北宋時(shí)期（1084年），曾將一部算經(jīng)刊刻發(fā)行，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書．（此時(shí)《綴術(shù)》已經(jīng)失傳，實(shí)際刊刻的只有九種）。四、我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就第10頁/共25頁四、我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就公元前100多年，漢朝人撰，是一部既談天體又談數(shù)學(xué)的天文歷算著作，主要討論蓋天說，提出了著名的“勾三股四弦五”這個(gè)勾股定理的一個(gè)特例。1、周髀算經(jīng)2、孫子算經(jīng)約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚?，F(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”。第11頁/共25頁具有重大意義的是卷下第26題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？《孫子算經(jīng)》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶則進(jìn)一步開創(chuàng)了對一次同余式理論的研究工作，推廣“物不知數(shù)”的問題。德國數(shù)學(xué)家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算術(shù)探究》中明確地寫出了上述定理。1852年，英國基督教士偉烈亞士將《孫子算經(jīng)》中物不知數(shù)問題的解法傳到歐洲，1874年馬蒂生指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的數(shù)學(xué)史里將這一個(gè)定理稱為“中國剩余定理”

。第12頁/共25頁周髀算經(jīng)孫子算經(jīng)第13頁/共25頁五、學(xué)習(xí)數(shù)論的意義本課程主要簡單介紹在初等數(shù)論研究中經(jīng)常用到的若干基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、方法和技巧。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深對整數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解初等數(shù)論與其它鄰近學(xué)科的關(guān)系,使學(xué)生掌握初等數(shù)論的基本理論和方法，為從事中小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)論理論研究的能力，將數(shù)論應(yīng)用于其他學(xué)科，尤其是信息科學(xué)研究的能力。第14頁/共25頁數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用，但多數(shù)人不清楚它的實(shí)際意義。由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計(jì)算離散傅立葉變換等。電子通信密碼學(xué)第15頁/共25頁六、主要參考書1.《數(shù)論導(dǎo)引》華羅庚

科學(xué)出版社19572.《初等數(shù)論》潘承洞、潘承彪北京大學(xué)出版社20033.《數(shù)論講義》柯召孫琦高教出版社20054.《初等數(shù)論100例》柯召孫琦哈工大出版社20115.《初等數(shù)論及其應(yīng)用》（美）KennethH.Rosen

機(jī)械工業(yè)出版社2009第16頁/共25頁歐幾里得[前330年～前275年]歐氏幾何學(xué)的開創(chuàng)者，古希臘數(shù)學(xué)家，以其所著的《幾何原本》聞名于世。丟番圖Diophante246～330“代數(shù)學(xué)之父”古希臘數(shù)學(xué)家，著《算術(shù)》第17頁/共25頁劉徽，生于公元250年左右，三國時(shí)期數(shù)學(xué)家，是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，著《九章算術(shù)注》10卷；《海島算經(jīng)》；《九章重差圖》.割圓術(shù)求圓面積和圓周率.祖沖之，429─500，數(shù)學(xué)家，科學(xué)家，算出π在3.1415926和3.1415927之間，求球體積公式著有《綴術(shù)》.天文歷法和機(jī)械方面的成就〔略〕。第18頁/共25頁宋元數(shù)學(xué)四大家秦九韶[約1202～1261]，著《數(shù)書九章》,最重要的數(shù)學(xué)成就——“大衍總數(shù)術(shù)”[一次同余組解法]與“正負(fù)開方術(shù)”[高次方程數(shù)值解法]，在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出地位。李冶1192～1279,著《測圓海鏡》，主要目的就是說明用開元術(shù)列方程的方法?！伴_元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似。朱世杰[1300前后]，著《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”[多元高次方程列式與消元解法]、“垛積法”[高階等差數(shù)列求和]與“招差術(shù)”[高次內(nèi)插法]。楊輝[1250前后]，是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。著《詳解九章算法》,《日用算法》等。第19頁/共25頁費(fèi)馬[法]1601-1665，是數(shù)學(xué)史上最偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家，提出了費(fèi)馬大、小定理；在坐標(biāo)幾何，無窮小，概率論等方面有巨大貢獻(xiàn)。哥德巴赫1690-1764，德國數(shù)學(xué)家；曾擔(dān)任中學(xué)教師，1725年到俄國，被選為彼得堡科學(xué)院院士.第20頁/共25頁歐拉1707－1783，瑞士數(shù)學(xué)家，自然科學(xué)家。是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，每年寫出八百多頁的論文，《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。高斯1777—1855，德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。第21頁/共25頁勒讓德[法]1752～1833，在分析學(xué)、數(shù)論、初等幾何與天體力學(xué)，取得了許多成果，是橢圓積分理論奠基人之一。對數(shù)論的主要貢獻(xiàn)是二次互反律，還是解析數(shù)論的先驅(qū)者之一.雅可比[德]1804～1851，在偏微分方程中，引進(jìn)了“雅可比行列式。對行列式理論作了奠基性的工作，在代數(shù)學(xué)、變分法、復(fù)變函數(shù)論、分析力學(xué)、動(dòng)力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻(xiàn)。第22頁/共25頁希爾伯特[德]1862～1943，他領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)派是19世紀(jì)末20世紀(jì)初數(shù)學(xué)界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數(shù)學(xué)界的無冕之王”。著《數(shù)論報(bào)告》、《幾何基礎(chǔ)》、《線性積分方程一般理論基礎(chǔ)》.華羅庚1910—1985，是中國解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自安函數(shù)論等多方