導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義北師大選修

會計學(xué)1導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義北師大選修課程目標(biāo)設(shè)置第1頁/共59頁第2頁/共59頁第3頁/共59頁主題探究導(dǎo)學(xué)第4頁/共59頁第5頁/共59頁第6頁/共59頁1.“函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值就是Δx=0時的平均變化率”.這種說法對嗎？提示：這種說法不對，y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值是Δx趨向于0時，平均變化率無限接近的一個常數(shù)值，而不是Δx=0時的值，實際上，在平均變化率的表達(dá)式中，Δx≠0.第7頁/共59頁2.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)與Δx趨近于0的方式有關(guān)嗎？提示：沒有關(guān)系.無論Δx從一側(cè)趨近于0還是從兩側(cè)趨近于0，其導(dǎo)數(shù)值應(yīng)相同.否則f(x)在該點處導(dǎo)數(shù)不存在,如函數(shù)f(x)=|x|在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在.第8頁/共59頁第9頁/共59頁第10頁/共59頁第11頁/共59頁1.過曲線y=f(x)上的某一點作曲線的切線有且只有一條嗎？提示：不一定.可能不存在，如y=|x|，在點（0，0）處無切線；也可作多條，如圖所示的曲線中，過點A可作兩條切線.第12頁/共59頁2.能否認(rèn)為函數(shù)在x=x0處導(dǎo)數(shù)越大，其函數(shù)值變化就越快?提示：這種說法不正確.導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)號確定函數(shù)值變化的趨勢，其絕對值大小確定變化的快慢.應(yīng)說導(dǎo)數(shù)的絕對值越大，函數(shù)值變化越快，即切線“越陡”.第13頁/共59頁典型例題精析第14頁/共59頁第15頁/共59頁第16頁/共59頁第17頁/共59頁【例2】某物體按照s(t)=3t2+2t+4的規(guī)律作直線運動，求物體運動4s時的瞬時速度，并解釋此時的運動狀況.思路點撥：解答本題可先求出函數(shù)值的增量Δs,自變量的增量Δt,再利用公式求解，最后說明運動狀況.第18頁/共59頁第19頁/共59頁【練一練】1.如果質(zhì)點A按規(guī)律s=2t3運動，則在t=3s時的瞬時速度為（）（A）6（B）18（C）54（D）81第20頁/共59頁2.一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它的溫度會逐漸下降，溫度T（單位:℃）與時間t(單位:min）間的關(guān)系，由函數(shù)T=f(t)表示.(1)f′(t)的含義是什么？f′(t)的符號是什么？為什么？（2）f′(3)=-4的實際意義是什么？如果f(3)=60(℃)，你能畫出函數(shù)在點t=3時圖象的大致形狀嗎？第21頁/共59頁第22頁/共59頁第23頁/共59頁第24頁/共59頁第25頁/共59頁第26頁/共59頁2.已知曲線C:y=x2與定點A（2，3），過定點A與曲線相切的直線方程為________.第27頁/共59頁第28頁/共59頁3.求曲線f(x)=x2-x+3在點（1,3)處的切線方程.第29頁/共59頁知能鞏固提高第30頁/共59頁一、選擇題（每題5分，共15分）1.函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是（）(A)該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比(B)一個函數(shù)(C)一個常數(shù)，不是變數(shù)(D)函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率【解析】選C.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的平均變化率，當(dāng)Δx→0時的極限值，是無限接近的一個常數(shù).第31頁/共59頁第32頁/共59頁2.（2010·河源高二檢測）曲線y=4x-x3在點（-1，-3）處的切線方程是（）(A)y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2第33頁/共59頁【解析】第34頁/共59頁3.曲線f(x)=x3+x-2在P點處的切線平行于直線y=4x-1，則切線方程為（）(A)y=4x(B)y=4x-4(C)y=4x-8(D)y=4x或y=4x-4第35頁/共59頁【解析】選D.設(shè)P(x0,y0)，則f′(x0)∵點P處的切線與直線y=4x-1平行，∴3x02+1=4∴x0=1或-1，則P點坐標(biāo)為（1,0)或(-1,-4),∴所求切線方程為y=4x-4或y=4x.第36頁/共59頁二、填空題（每題5分，共10分）4.曲線y=在點（3,3）處的切線的傾斜角為________.【解析】答案：第37頁/共59頁第38頁/共59頁5.如圖，函數(shù)y=f(x)的圖像在點P處的切線方程是y=-2x+9，P點的橫坐標(biāo)是4，則f(4)+f′(4)=__________.第39頁/共59頁【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(4)=-2,由點P在切線y=-2x+9上知yP=-2×4+9=1.∴點P的坐標(biāo)為（4，1），∴f(4)=1,∴f(4)+f′(4)=1+(-2)=-1.答案：-1第40頁/共59頁三、解答題（6題12分，7題13分，共25分）6.（2010·漳州高二檢測）求曲線y=x3+x在點（1,)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

【解題提示】求切線的斜率k=f′(1)→求切線方程→求切線與兩坐標(biāo)軸的交點→求切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積.第41頁/共59頁【解析】第42頁/共59頁7.在曲線y=上求一點P，使得曲線在該點處的切線滿足下列條件.（1）平行于直線y=x+1.(2)垂直于直線2x-16y+1=0.(3)傾斜角為135°.第43頁/共59頁【解析】第44頁/共59頁（1）∵切線與直線y=x+1平行，∴由導(dǎo)數(shù)幾何意義知f′(x0)=1,即=1,∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1).(2)∵切線與直線2x-16y+1=0垂直，∴有f′(x0)·()=-1,∴∴x0=1,y0=4,即P(1,4).(3)∵切線傾斜角為135°,∴f′(x0)=tan135°=-1,∴=-1,∴x0=2,y0=1,即P(2,1).第45頁/共59頁第46頁/共59頁1.（5分）（2010·邯鄲高二檢測）已知曲線f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點（1，g(1)）處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處切線的斜率為（）(A)4(B)(C)2(D)【解題提示】求y=f(x)在點（1，f(1)）處切線的斜率即求f′(1),可借助g′(1)求解.第47頁/共59頁【解析】第48頁/共59頁2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且與曲線y=x3+3x2-1相切的直線方程一般形式為_______.【解析】直線2x-6y+1=0的斜率為∴所求直線的斜率為-3.設(shè)切點坐標(biāo)為（x0,y0),=3x02+6x0,第49頁/共59頁∴3x02+6x0=-3.∴x0=-1,∴切點坐標(biāo)為（-1,1)∴切線方程為y-1=-3(x+1)即3x+y+2=0.答案：3x+y+2=0第50頁/共59頁第51頁/共59頁第52頁/共59頁3.（5分）曲線y=x3在點（1，1）處的切線與x軸，直線x=2所圍成的三角形的面積為_____.【解析】第53頁/共59頁∴切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0.如圖所示易求得直線x=2與直線3x-y-2=0的交點為（2，4）∴S△=答案：第54頁/共59頁4.（15分）已知拋物線C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程.第55頁/共59頁在點P處的切線方程是y=(x21+2x1)+(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x21①曲線C2在點Q（x2,