“應用隨機過程”講義一解析

應用隨機過程清華高校數(shù)學科學系林元烈主講教材：《應用隨機過程》（第三次印刷）林元烈，清華高校出版社2023/1/181應用隨機過程講義第一講學習要求不僅是駕馭學問，更重要的是駕馭思想學會把抽象的概率和實際模型結合起來2023/1/182應用隨機過程講義第一講學習重點用隨機變量表示事務及其分解——基本理論全概率公式——基本技巧數(shù)學期望和條件數(shù)學期望——基本概念2023/1/183應用隨機過程講義第一講第一講

2023/1/184應用隨機過程講義第一講隨機事務與概率

隨機試驗

2023/1/185應用隨機過程講義第一講要點：在相同條件下，試驗可重復進行；試驗的一切結果是預先可以明確的，但每次試驗前無法預先斷言原委會出現(xiàn)哪個結果。2023/1/186應用隨機過程講義第一講樣本點

對于隨機試驗E，以ω表示它的一個可能出現(xiàn)的試驗結果，稱ω為E的一個樣本點。

樣本空間

樣本點的全體稱為樣本空間，用Ω表示。Ω＝{ω}2023/1/187應用隨機過程講義第一講隨機事務粗略地說，樣本空間Ω的子集就是隨機事務，用大寫英文字母A、B、C等來表示。

事務的關系與運算

2023/1/188應用隨機過程講義第一講2023/1/189應用隨機過程講義第一講2023/1/1810應用隨機過程講義第一講示性函數(shù)是最簡潔的隨機變量用隨機變量來表示事務2023/1/1811應用隨機過程講義第一講用示性函數(shù)的關系及運算來表示相關事務的關系及運算2023/1/1812應用隨機過程講義第一講公理化定義集類2023/1/1813應用隨機過程講義第一講2023/1/1814應用隨機過程講義第一講概率2023/1/1815應用隨機過程講義第一講2023/1/1816應用隨機過程講義第一講2023/1/1817應用隨機過程講義第一講概率是滿足非負性；歸一性；可列可加性；的集函數(shù)。可測集粗略地說，可以定義長度（面積、體積）的點集即為可測集；反之稱為不行測集。2023/1/1818應用隨機過程講義第一講概率的性質1.

2.3.有限可加性

2023/1/1819應用隨機過程講義第一講4.

5.6.

2023/1/1820應用隨機過程講義第一講7.8.可列次可加性9.概率連續(xù)性2023/1/1821應用隨機過程講義第一講這部分的具體探討可以參見《隨機數(shù)學引論》林元烈，清華高校出版社2023/1/1822應用隨機過程講義第一講Buffon試驗：最早用隨機試驗的方法求某個未知的數(shù)。測度：滿足非負性、可列可加性的集函數(shù)。2023/1/1823應用隨機過程講義第一講2023/1/1824應用隨機過程講義第一講事實上，設集類以上集類和A生成相同的σ-代數(shù),都是上面提到的一維Borelσ-代數(shù)，即2023/1/1825應用隨機過程講義第一講直觀地說，中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間，半閉半開區(qū)間，單個實數(shù)，以及由它們經可列次并交運算而得出的集類。2023/1/1826應用隨機過程講義第一講2023/1/1827應用隨機過程講義第一講

2023/1/1828應用隨機過程講義第一講2023/1/1829應用隨機過程講義第一講2023/1/1830應用隨機過程講義第一講事務的獨立性2023/1/1831應用隨機過程講義第一講

幾個事務的獨立性2023/1/1832應用隨機過程講義第一講2023/1/1833應用隨機過程講義第一講2023/1/1834應用隨機過程講義第一講2023/1/1835應用隨機過程講義第一講比較甲乙兩人的結果，從以上結果可以得到什么結論？2023/1/1836應用隨機過程講義第一講機遇偏愛有心人！2023/1/1837應用隨機過程講義第一講一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事務；但重復次數(shù)足夠多，如n=400，至少一次成功就是或許率事務！

2023/1/1838應用隨機過程講義第一講只要功夫深，鐵杵磨成針！2023/1/1839應用隨機過程講義第一講隨機變量定義說明2023/1/1840應用隨機過程講義第一講離散型隨機變量的示性函數(shù)表示法

這說明對于任一d.v.r.，總可以分解為互不交的事務的示性函數(shù)的迭加。2023/1/1841應用隨機過程講義第一講隨機變量等價定義分布函數(shù)2023/1/1842應用隨機過程講義第一講連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)微元法求概率密度函數(shù)2023/1/1843應用隨機過程講義第一講二維隨機變量的分布函數(shù)二維Borel-σ代數(shù)由平面上矩形的全體生成的σ－代數(shù)2023/1/1844應用隨機過程講義第一講聯(lián)合密度函數(shù)亦可用微元法求2023/1/1845應用隨機過程講義第一講常用隨機變量的分布（列出,期望方差）兩點分布正態(tài)分布二項分布指數(shù)分布Poisson分布勻整分布幾何分布二維正態(tài)分布2023/1/1846應用隨機過程講義第一講兩點分布若r.v.X只取1和0兩個值，且則稱r.v.X聽從參數(shù)為p的兩點分布。簡記為：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)2023/1/1847應用隨機過程講義第一講EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p22023/1/1848應用隨機過程講義第一講EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/122023/1/1849應用隨機過程講義第一講EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ22023/1/1850應用隨機過程講義第一講二維正態(tài)分布的優(yōu)良性質

X,Y相互獨立X,Y不相關2023/1/1851應用隨機過程講義第一講隨機變量的數(shù)字特征及條件數(shù)學期望2023/1/1852應用隨機過程講義第一講數(shù)學期望（復習）“加權平均”為了引出一般隨機變量的定義，我們先介紹R-S積分的概念。2023/1/1853應用隨機過程講義第一講黎曼－斯蒂爾吉斯積分2023/1/1854應用隨機過程講義第一講任分任取求和取極限2023/1/1855應用隨機過程講義第一講2023/1/1856應用隨機過程講義第一講在定義了R-S積分之后，我們可以將全部隨機變量的數(shù)學期望形式進行統(tǒng)一。2023/1/1857應用隨機過程講義第一講2023/1/1858應用隨機過程講義第一講數(shù)學期望的性質（E|Xi|<∞）2023/1/1859應用隨機過程講義第一講

交換求和依次2023/1/1860應用隨機過程講義第一講同理，對連續(xù)型隨機變量有相像的結論成立2023/1/1861應用隨機過程講義第一講2023/1/1862應用隨機過程講義第一講2023/1/1863應用隨機過程講義第一講2023/1/1864應用隨機過程講義第一講2023/1/1865應用隨機過程講義第一講Chebyshev不等式2023/1/1866應用隨機過程講義第一講

條件數(shù)學期望2023/1/1867應用隨機過程講義第一講2023/1/1868應用隨機過程講義第一講2023/1/1869應用隨機過程講義第一講用示性函數(shù)的線性組合表示離散型隨機變量（見前面“隨機變量”部分）2023/1/1870應用隨機過程講義第一講例：將概率運算納入求期望運算的范疇2023/1/1871應用隨機過程講義第一講理解E(X|Y)是ω的函數(shù)，也是Y(ω)的函數(shù)，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相應的值；當Y是離散型隨機變量時，E(X|Y)也是離散型隨機變量。2023/1/1872應用隨機過程講義第一講2023/1/1873應用隨機過程講義第一講推廣至一般隨機變量2023/1/1874應用隨機過程講義第一講將x替換成X2023/1/1875應用隨機過程講義第一講求條件數(shù)學期望的一般步驟先寫出固定條件(如Y=yj)的狀況下X的條件分布律或條件密度函數(shù)；依據(jù)條件數(shù)學期望的定義，通過求和或積分得到條件下的數(shù)學期望；將條件(Y=yj)替換成一般狀況下的隨機變量(Y)2023/1/1876應用隨機過程講義第一講條件數(shù)學期望的性質設E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，則(重要!)全期望公式2023/1/1877應用隨機過程講義第一講2023/1/1878應用隨機過程講義第一講將全概率公式納入全期望公式的范疇2023/1/1879應用隨機過程講義第一講重要結論：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=E[E(X|Y)|Y,Z]以示性函數(shù)為例，驗證上面的結論2023/1/1880應用隨機過程講義第一講同理可驗證另一個等號2023/1/1881應用隨機過程講義第一講例：2023/1/1882應用隨機過程講義第一講由X2和Y3獨立用示性函數(shù)表示X22023/1/1883應用隨機過程講義第一講2023/1/1884應用隨機過程講義第一講推廣