專題09 新定義問題(教師版)

專題09新定義問題（2）【規(guī)律總結】※知識精要新定義型問題是學習型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個新定義（新概念或新公式），通過閱讀題目提供的材料，理解新定義，再通過對新定義的理解來解決題目提出的問題。其主要目的是通過對新定義的理解與運用來考查學生的自主學習能力，便于學生養(yǎng)成良好的學習習慣?！c突破解決此類題的關鍵是（1）深刻理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法解決題目中需要解決的問題。【典例分析】例1.（2020?東北師大附中明珠學校八年級期中）若規(guī)定，（x）表示最接近x的整數(shù)（x*n+0?5，n整數(shù)）例如：f（0.7）=1，f（2.3）=2,f（5）=5，則f（1）+f（豆）+f（、/W）+...」（、務）的值（ ）A（16 B（17 C.18 D（19【答案】D【分析】根據(jù)/（x）表示的意義，分別求出f（1），f（、'2），fG3），...f（、0）的值，再計算結果即可.【詳解】由f(x)表示的意義可得，f(1)=1,fJ2)=1,f(\：'3)=2,f(瑚4)=2,f(,：5)=2,f(<6)=2,f(如7)=3,f(\.'8)=3,f(?'9)=3,酣(1)+f(。2)+f()+...+f(\.'9)=1+1+2+2+2+2+3+3+3=19,故選：D.【點睛】本題考查了新定義問題，準確理解新定義的基本意義是解題的關鍵.例2.(2020.浙江寧波市?七年級期末)現(xiàn)定義兩種運算“十”“"，對于任意兩個孩數(shù)，a?b=a+b-1,a*b=axb-1,則(6十8)*(3十5)的結果是.【答案】90【分析】首先理解兩種運算"乎"*”的規(guī)定，然后按照混合運算的順序，有括號的先算括號里面的，本題先算608,305，再把它們的結果用“*”計算.【詳解】解：由題意知，(608)*(305)=(6+8-1)*(3+5-1)=13*7=13x7-1=90.故答案為：90.【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算.考查了學生讀題做題的能力.理解兩種運算回'"*”的規(guī)定是解題的關鍵.例3.(2021?廣東佛山市?七年級期末)對于有理數(shù)a、b，定義了一種新運算“T為:2a-b(a>b)a^a^b=<a-—b(a<b)3如：5淤3=2x5-3=7,豚3=1-：x3=-1.計算：①2※(-1)=；②(-4)※(-3)=；若3^m=-1+3尤是關于尤的一元一次方程，且方程的解為%=2，求m的值；若A=—X3+4x2—x+1，B=—x3+6x2—x+2，且A淤B=—3，求2x3+2x的值.【答案】(1)①5；②-2；(2)1；(3)16.【分析】(1)根據(jù)題中定義代入即可得出；⑵根據(jù)x=2，討論3和m的兩種大小關系，進行計算；⑶先判定A、B的大小關系，再進行求解.【詳解】根據(jù)題意：圖2>-102※(-1)=2x2-(-1)=5圖-4<-30(—4)淤(-3)=—4-2x(—3)=—4+2=—230x=203^m=—1+3x2=5①若3>m則2x3一m=5，解得m=1②若3<m.2 。則3-3xm=5，解得m=-3(不符合題意)，0m=1(3)0A—B=C—x3+4x2—x+1)—^―x3+6x2—x+2)=—2x2—1<00A<B2( )°0A^B=A——B=-x3+4x2-x+1- -x3+6x2-x+2/=—3302x3+2x=2x8=16【點睛】本題考查了一種新運算，讀懂題意掌握新運算并能正確化簡是解題的關鍵.【好題演練】一、單選題（2020?北京西城區(qū)?北師大實驗中學七年級期中）一個含有多個字母的整式，如果把其中任何兩個字母互換位置，所得的結果與原式相同，那么稱此整式是對稱整式.例如，x2+y2+z2是對稱整式，x2—2y2+3z2不是對稱整式.所含字母相同的兩個對稱整式求和，若結果中仍含有多個字母，則該和仍為對稱整式；一個多項式是對稱整式，那么該多項式中各項的次數(shù)必相同單項式不可能是對稱整式若某對稱整式只含字母X,y,z,且其中有一項為X2y，則該多項式的項數(shù)至少為3.以上結論中錯誤的個數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【分析】根據(jù)對稱整式的概念逐一辨析即可.【詳解】兩個對稱整式求和后，與原來對稱整式的字母相同，且項數(shù)次數(shù)等都相同，則這個整式仍然是對稱整式，故正確；例如：X2+y2+z2+X+y+z是對稱整式，但是每一項的次數(shù)不相同，故錯誤；例如：與，是單項式，也是對稱整式，故錯誤；已知其中一項為x2y若X，y互換，則有項為：y2x若X，z互換，則有項為：z2y，y2z若z，y互換，則有項為：x2z，z2X園該多項式的項數(shù)至少為6，綜上，結論錯誤的有②③④，故選：B.【點睛】本題考查整式的新定義問題，仔細審題，理解題意是解題關鍵.（2021?全國七年級）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)".如：2=13-（-1）3,26=33-13,2和26均為和諧數(shù).那么，不超過2019的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)"之和為（）A.6858 B.6860 C.9260 D.9262【答案】B【分析】2017由（2n+1》-（2n—1》=24n2+2<2019可得n2< ，再根據(jù)和諧數(shù)為正整數(shù)，得到1<n<9,可得不超過2019的正整數(shù)中，"和諧數(shù)”共有10個，依次列式計算即可求解.【詳解】解：由(2n+1)3—(2n—1)3=24n2+2<2019，可得n2圖和諧數(shù)為正整數(shù)，園1<n<9，且為正整數(shù)，則在不超過2019的正整數(shù)中，所有的"和諧數(shù)'之和為13—(—1)3+33—13+53—33+...+193-173=193-(-1)3=6860故選：B.【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、整式的乘法與乘法公式，弄清題中"和諧數(shù)”的定義是解本題的關鍵．二、填空題ab(2。2。東北師大附中明珠學校八年級期中)對于任意實數(shù)，若規(guī)定cd=ad*則當xi-2x-5=0時，【答案】9【分析】原式利用題中的新定義化簡，把已知等式變形后代入計算即可求出值.【詳解】解：0X2-2x-5=0,0X2-2x=5,則原式=(x+1)(x-1)-x(4-X)=X2-1-4x+x2=2x2-4x-1=2(x2-2x)-1=10-1=9.故答案為：9.【點睛】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵。(2020浙江紹興市八年級其他模擬)定義：等腰三角形的一個底角與其頂角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”，若等腰三角形有一個內角為80°,則它的特征值k=8 1【答案】5或彳【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數(shù).從而可求解.【詳解】解：①當80°為頂角時，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：(180-80)92=50°,圖特征值k=80950=5②當80°為底角時，頂角的度數(shù)為：180°-80°-80°=20。圖特征值k=20980=481綜上所述，特征值k為5或彳81故答案為5或4【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵，要注意到本題中，已知圖人的度數(shù)，要分圖人是頂角和底角兩種情況，以免造成答案的遺漏.三、解答題(2020?浙江嘉興市?八年級期末)我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，這兩邊交點為勾股頂點.

(1)特例感知等腰直角三角形 勾股高三角形(請?zhí)顚戉ā被蛘摺安皇恰?BD=寸5，AD=1，試求線段CD的長度.BD,BD=寸5，AD=1，試求線段CD的長度.BD,AD=1(2)深入探究如圖2,已知ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA〉CB,CD是AB邊上試探究線段AD與CB的數(shù)量關系，并給予證明；△【答案】(1)①是；②CD=2；(2)證明見解析.【分析】①設等腰直角三角形的直角邊長為。，再求解斜邊的長為V'2a，由Ja)-a2=a2,結合勾股高三角形的定義可得答案；②根據(jù)勾股定理得到CB2=CD2+5,CA2=CD2+1,根據(jù)勾股高三角形的定義得到CD2=BC2-AC2，再列方程，解方程可得答案；由園ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點且CA〉CB，CD是AB邊上的高，可得：CA2-CD2=CB2,再由勾股定理可得：CA2-CD2=AD2，從而可得結論.【詳解】解：(1)①設等腰直角三角形的直角邊長為a則斜邊長=\：a2+a2=、?；2a園C2a)-a2=a2,等腰直角三角形的一條直角邊可以看作另一條直角邊上的高，

圖等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案為：是；②CD±AB,BD=-j5，AD=1由勾股定理可得：CB2=CD2+BD2=CD2+5,CA2=CD2+AD2=CD2+1,霍ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點，CD是AB邊上的高，圖CD2=BC2-AC2圖CD2=（CD2+5^-（cD2+1）CD2=4，解得，CD=2（負根舍去）；（2）AD=CB，證明如下：霍ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點且CA>CB，CD是AB邊上的高，圖CD2=CA2—CB2:.CA2-CD2=CB2,CD±AB,臥CA2-CD2=AD2圖CB2=AD2CB,AD都為線段，國AD=CB【點睛】本題考查的是勾股定理，勾股高三角形的定義，利用平方根的含義解方程，等腰直角三角形的定義，正確理解勾股高三角形的定義，靈活運用勾股定理是解題的關鍵.(2020全國九年級專題練習)若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對應點稱為“3倍點”，取任意的一個“3倍點”P，到點P距離為1的點所對應的數(shù)分別記為a，b.定義：若數(shù)K=a2+b2—ab，則稱數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若P所表示的數(shù)為3，則a=2，b=4,那么K=22+42—2x4=12；若P所表示的數(shù)為12，則a=11，b=13，那么K=132+112—13x11=147，所以12，147是“尼爾數(shù)”.請直接判斷6和39是不是“尼爾數(shù)”，并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3；已知兩個“尼爾數(shù)”的差是189,求這兩個"尼爾數(shù)”.【答案】(1)6不是尼爾數(shù)，39是尼爾數(shù)，證明見解析；(2)這兩個尼爾數(shù)分別是228,39或1092,309.【分析】根據(jù)"尼爾數(shù)”的定義，設P表示的數(shù)為x(x是能被3整除的自然數(shù))，則K=x2+3分別令X2+3=6，X2+3=39，解方程，判斷x的解是不是能被3整除的自然數(shù)即可；證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3時，可設P表示的數(shù)為3m，則K可化為9m2+3，由m為整數(shù)得9m2+3被9除余3；設這兩個尼爾數(shù)分別是K1，K2,將兩個"尼爾數(shù)”所對應的“3倍點數(shù)叩"2分別記為3m1，3m2，則K1—K2=9m12—9m22=189，m12—m22=21，再根據(jù)m1，m2都是整數(shù)，可解出m1，m2，從而得到K1，K2.【詳解】⑴設P表示的數(shù)為x(x是能被3整除的自然數(shù))，則a=x-1，b=x+1K=(x-1)2+(x+1)2-(x-1)(x+1)=x2+3

令X2+3=6，得x=\；3，令x2+3=39，得X=606不是尼爾數(shù)，39是尼爾數(shù).證明：設P表示的數(shù)為3m,則a=(3m—1),b=(3m+1),K=(3m—1)2+(3m+1)2—(3m—1)(3m+1)=9m2+3,0m為整數(shù)，0m2為整數(shù)，09m2+3被9除余3；(2)設這兩個尼爾數(shù)分別是K1，K2,將兩個"尼爾數(shù)”所對應的“3倍點數(shù)%P2分別記為