專題03“三法”解決平面向量數量積問題(解析版)

2020高考數學壓軸題命題區(qū)間探究與突破專題第二篇三角與平面向量專題03“三法”解決平面向量數量積問題方法綜述平面向量的數量積是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標形式等考查數量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數、解析幾何等知識相結合，以工具的形式出現.由于命題方式靈活多樣，試題內容活潑、新穎，因此，在高考試卷中備受青睞，是一個穩(wěn)定的高頻考點.解決這類問題有三種基本方法：投影法、基底法和坐標法.“三法”的準確定位應是并舉！即不應人為地、憑主觀劃分它們的優(yōu)劣，而應具體問題具體分析.本專題舉例說明解答解決平面向量數量積問題的方法、技巧.解題策略類型一投影定義法【例1】【2020?山東壽光現代中學月考】如圖，在平面四邊形ABCD中，AB1BC,AD1CD,/BAD=120o,AB=AD=1,uuvuuv若點E為邊CD上的動點，則AE-BE的最小值為()21A一21A一A16D.3C.區(qū)【答案】A【解析】連接BD,取AD中點為O,可知^ABD為等腰三角形，而AB1BC,AD1CD，所以VBCD為等- uuiv uuuv邊三角形，BD=』3。設DE=tDC(0<t<1)LUTLWuuivuuivLUVUULVUUVLUVUIVUUUVLUVUULV3LUVUULVUUVAE?BE=(AD+DE)-(BD+DE)=AD-BD+DE-(AD+BD)+DE2=—+BD-DE+DE22一3 3 … 1 21K—2t+2(0<t<1)，所以當t=4時，上式取最小值行，選A.

【指點迷津】1、數量積與投影的關系（數量積的幾何定義）:向量a,b數量積公式為a-向量a,b數量積公式為a-brrabcos。，rr可變形為a-b=cos。(r.'acos。進而與向量投影找到聯系rr（1）數量積的投影定義：向量a,b的數量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影,rrarraTbrr（記人rTr為a在b上的投影）（2）投影的計算公式：由數量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數量積和模長進行求解:rra-b人rr=r~aTbb即數量積除以被投影向量的模長2、數量積投影定義的適用范圍：作為數量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題（1） 圖形中出現與所求數量積相關的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時便于確定投影）例如：直角三角形，菱形對角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點）（2） 從模長角度出發(fā)，在求數量積的范圍中，如果所求數量積中的向量中有一個模長是定值，則可以考慮利用投影，從而將問題轉化為尋找投影最大最小的問題【舉一反三】uunruuiruuir[2020-海南文昌一中期末】在AABC中，AB=2AC=2，P,Q為線段BC上的點，且BP=PQ=QC.uuruur5若AP.AQ=&，則ABAC=( )代…C60°D30°uuruuiruuir【解析】不妨設IBP1=1PQ1=1QC1=x,BC=3xAAuuruuruuruuruuruur.AP.AQ=(AB+BP)-(AC+CQ)uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur=AB.AC+BP.AC+AB-CQ+BP-CQ

uuruuruuorumruuruuruuoruur=AB-AC+BP-AC-AB-BP-BP-BPuuruuruuruuruuruur=AB-AC+BP-BC-BP-BP=2cosZABC+3x2-x2=—9?.?cosZABC=-x2+—18+1-9x2由余弦定理：cos/ABc=r-聯立得到：x=——3…八 1 …八…cosXABC=-—.,./ABC=120。，故選B2類型二基底法【例2【例2】［2020-贛州三中月考】在直角AABC中，M，N是斜邊BC上的兩個三等分點，已知AABC的面umruur積為2,則AM-AN的最小值為（*15A.——3*15A.——3C.1615「16D.—9【答案】【解析】our由題，設點M為斜邊BC上靠近點b的三等分點,umrmuorumr1umr2uur1【解析】our則AM=AB+BM=AB+3BC=3AB+3AC,uuruuruuruur1uur1umr2uurAN=AC+CN=AC——BC=-AB+-AC3 3 3 ，ourumr所以AM-AN=(2uur1uur\(ourumr所以AM-AN=(2uur1uur\(1uur2uur)

-AB+-AC--AB+-AC"3 3 )5uuuruuur22uur5uuruur2uur=_AB2+—AB-AC+-AC2999uuuruur因為直角VABC，所以AB1AC,則AB?AC=0,因為，“海uuruur..umrAB2+AC2—2AB|?|AC=8,當且僅當uuruuruur.umr二|?|AC=2AB|-|ACuur..umr=2,則AB|?|AC=4,所以uur 」AB=AC=2時等號成立，所以AM?AN—~x8=k，故選Duuuuruuur216【指點迷津】rr rr遇到幾何圖形中計算某兩個向量a,b數量積的問題，如果無法尋找到計算數量積的要素（a,b模長，夾角），rr那么可考慮用合適的兩個向量（稱為基底）將a,b兩個向量表示出來，進而進行運算.這也是在幾何圖形中處理向量數量積的一個重要方法.

如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個向量模長已知，數量積可求呢？如果有，那就是它們了.所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數量積與模長已知.常見的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.【舉一反三】[2020-江蘇金陵中學開學考試】在等腰AABC中，已知底邊BC=2，點d為邊AC的中點，點E為邊ABini'ini' 1uuruur上一點且滿足EB=2AE，若BD-AC=--，則EC-AB=4【答案】3uuruuruuruur1uuruur1/umruur)1/uuruur)【解析】QD為AC的中點，BD=BA+AD=BA+—AC=BA+BC—BA)=BA+BC)2 2 2uuirunruurAC=BC-BAuur即22-BAuuruur1BDuuirunruurAC=BC-BAuur即22-BAuuruur1BD-AC=-2uur一=-1，可得BA=必2uurQAC2uuruuruuruuruuruur1uurBC2-2BA-BC+BA2，BA-BC=-BC2=22unruuurEC-AB=BE人AB=(2uuruur、uur-BA-BC-BA=13 )uurunruur2 4-BA2-BC-BA=—x5-2=-3 3■類型二坐標法【例3[2020廣西大學附屬中學月考】在四邊形ABCD中，AD〃BC，AB=2乙，AD=5，/A=30。，uuvuuv點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則BD-AE=.【答案】-1.【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則B（2、/3,0），Dig3,：）因為AD〃BC，ABAD=30。，所以ZCBA=150°因為AE=BE，所以ABAE=ZABE=30°所以直線be的斜率為七，其方程為y=—3-(x-2^3)直線ae直線ae的斜率為一言，其方程為y=-§xy=-y(x-2血，—得x=\：3,y=—i,所以、43y=———x3_ umruur -'35一E(、/3,—1).所以BDgAE=(―^-,2)^(v'3,—1)=—1【指點迷津】常見的可考慮建系的圖形：具備對稱性質的圖形：長方形，正方形，等邊三角形，圓形帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形具備特殊角度的圖形(300,45。,60。,120。等)【舉一反三】【2020河北邯鄲一中期末】如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于M，點P是MD的中點，若uurAB=2uurAB=2，umrAD=1，且ABAD=60o，uuruur

則AP-CP=【答案】-；8【解析】思路：本題抓住ABAD【答案】-；8【解析】思路：本題抓住ABAD=60。這個特殊角，可以考慮建立坐標系，uur

同時由AB=2，uurAD=1可以寫出各點坐標，從而將所求向量坐標化后即可求解解：以AB為x軸，過A的垂線作為y軸得：B(2,0),D(1,毛(5l\,以寫出各點坐標，從而將所求向量坐標化后即可求解解：以AB為x軸，過A的垂線作為y軸得：B(2,0),D(1,毛(5l\,C-，后)<38，-8uur?.?AP=uur,CP=(13uuruur7AP-CP=-81717答案：一虧8強化訓練uurumr1.【2019?廣東順德一中月考】如圖，在AABC中，AD1AB，BC=<3BD，AD=1，則AC-AD=（ ）B.3D.-3c.-w3uuruur[uuuruuur)uurZumr)uuuruur【解析】由題知AC-AD=MD+DC、AD=MD2+DC-AD因為BC=v3BDnBD+DC=氣,3BDnDC=(3-1)BDuuruur(—)uuruur(—)umrumr所以AC-AD=1+3-1BD-AD=1+3-UDB-DA

umruur又因為DB?DAumruur又因為DB?DA=uuir..umrDB|?|DAcosZADB=1，所以AC?AD=1+ 3-U=，故選A.uuuvuuuv2.[2020-天津市和平區(qū)二中月考】在VABC中，/A=60。,AB=3,AC=2.若BD=2DC,uuy uuivuuv ULUVUUIVAE=XAC-AB(XeR)，且AD?AE=-4，則人的值為3【答案】iiuuurunr umr1umr2unr【解析】AB?AC=3x2xcos600=3,AD=3AB+3AC，則TOC\o"1-5"\h\zuuruur1uur 2uuir uuruuurx 2X 1 2 3AD?AE=(-AB+—AC)(XAC—AB)=—x3+——x4-—x9-—x3=-4nX=—3 3 3 3 3 3 113.[2020-江蘇徐州一中月考】如圖，在VABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA,AD與CEuuvuuvuuvunv AB交于點O.若AB?AC=6AO?EC，則=的值是 ./I/I【答案】t'3.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.AAuuruuruur/iuuruur^uuruuruuruurAOgEC=3ADgAC-A^=AB+AC^^AC-AE23fuuruur)(3fuuruur)(uur1uurA-MB+ACMAC——AB2 \ 3 )3(uuuruur1uuuruur

=_ABgAC——AB2+AC2-21 31uuuruurA-ABgAC3 )uuuruurA二uuuruurA二ABgAC-±AB2+AC213 3 )3(2uuuruur12uuuruuur1uuur3uuuruuuruuur=ABgAC-_AB2+_AC2=ABgAC22 ，1uur3uur1uur3uuruuruur得±AB2=-AC2,即AB=J3|AC,故4.[2020-海南東方一中期末】設AABC的外接圓的圓心為O，半徑為2,且滿足uuruuruurunrunruuruuruuruurunrOA-OB=OB-OC=OC-OA，則I^OB—OAI+IXOB-OCl(XeR)的最小值為.【答案】23uuruuuruur【解析】由題意可知，向量OA,OB,OC的模都等于2,uuruuruuruuruuruur uuruuuruur因為OA-OB=OB-OC=OC-OA，所以向量OA,OB,OC兩兩間的夾角為120°,uuruuruuruur由幾何意義可知，要求"B—OAI+IXOB—OCI的最小值，即求直線OB上的點M到A,C兩點間的距離之和的最小值，顯然當A,M,C三點共線時，點M到A,C兩點的距離的和最小，設uuuruuuruuuruuur質OB—OAI+IXOB—OCI=m,由余弦定理可得m =AC=V22+22-2x2x2xcos120。=2、昏.minuuuruuuruuuruuur5.[2020-江蘇亳州一中月考】)在AABC所在的平面上有一點P，滿足PA+PB+PC=AB，則uuruurPAPA-PBuuruuu=PB-PC1【答案】—萬uuruuruuruuuruuruuruuruuruuruuruur【解析】因為PA+PB+PC=AB，二PA+PB+PC=PB—PA，二PC=—2PAuurIPCI一p，a，c三點共線，如圖所示，uur-=2IPAIuuruurPA-PBuuruurPA-PBuuruur=PB-PCuur..uurPA-\PBcosZAPBuuruur P^-PCcosZCPBPAcosZAPB■uuut-T- PCcos（?！猌APB）PAcosZAPB—umr —PCcosZAPB12uuuruur6uuuruur6.[2020陜西寶雞一中期中】在VABC中，AB=3，BC=4，AC=2，若點O為VABC的重心，則AO-AC的值為 5【答案】6

【解析】取BC中點為d,Q點O為VABC的重心，AO=|AD（重心的性質），LUT2UULT 3l+||-4|AO=二AD，由余弦定理得：cosABAC= (1、2x3(1、2x3x——+4"4uuuruur2uuruurAO-AC=-AD-AC31(umruur)uur1umruiruur1=_MBuuuruur2uuruurAO-AC=-AD-AC33 3 37.【2020黑龍江大慶一中期末】如圖，在等腰直角三角形ABC中，ABAC=90。,AB=2，以AB為直UUTUUT UUTUUT徑在VABC外作半圓O,P是半圓弧AB上的動點，點Q在斜邊BC上，若AB-AQ=2，則AQ-CP的取值范圍是.取值范圍是.【答案】|_-V2-1,0【解析】取AB中點為【解析】取AB中點為O，建立如下圖所示的直角坐標系則A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2)，設APOB=9，0g[0,兀]，則P(cos0,sin0)kBC=0:2)t，則BC:y=x-1BC 1—(-1)uur uuur設點Q(m,m-1),mg[-1,1]，則AB=(2,0),AQ=(m+1,m-1)uuruuur unrAB-AQ=2n2(m+1)=2nm=0，.AQ=(1,-1)UUTQCP=(cos0+1,sin0+2)

uuruuor (兀、AC-CP=cos0+1-sin。一2=-sin0+cos0-1=~^/2sin。一一-1I4)Q0eQ0e[0,兀]兀3兀4，T.?.0—一e4八兀兀 uuruur /-(J2)一八則當0-4=-4,即0=°時’AC-。取最大值一72、〔-t|t=0TOC\o"1-5"\h\z八兀兀 3兀 umruur 一當0-=~，即0=~時，AC-CP取最小值-<2x1-1=-\.'2-14 2 4uuruur r n則AQ?CP的取值范圍是|_-J2-1,0皿皿皿uur,,8.[2020甘肅武威一中期中】如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2,AD=DC,DE=2EB，AE的延長線uuruur umruur交uuruur umruur交BC邊于點尸，若AF-BC=-；，則AE-AC=22【答案】§【解析】如圖，過點D做DGPAF,B易得:EFBE_1DG一旬一B易得:EFBE_1DG一旬一3EF=1DG3 ，CD1 八八1 1…=了，故DG=~AF，可得：EF=~AFAC2 2 6BFBE1FGAD1 1~FG—旬—2，g^~~c^~i,可得 —5 ，uuruuruur1uuruor1uuruor4uur1uurDG~AF同理:uurAF=AB+BF=AB+_BC=AB+_(AC-AB)=—AB+—AC5 5 5 5 ,uuuruuur 4 uuur1 uuuruuuruuur1 uuur4uuur 2 uuuruuur4由AF-BC=-4，可得(一AB+—AC)-(AC-AB)=—AC2-—AB2+—AB-AC=-5 5 5 5 5 5 5TOC\o"1-5"\h\z1,4,2— 4 2可得.一x4一―x4+—x2x2cosZBAC=-—可得.cosZBAC=—5 5 5 5 3uuruur5uuruur54uur1uuruur2uuruur1uur2 21 22AE-AC=—AF-AC=-(—AB+-AC)-AC=-AB-AC+-AC2=_x2x2x—+—x4=——6 65 5 3 5 3 36 9，CA，CA=1，點d、E分別是邊AB、BC的中9.【2020云南德宏一中期末】等腰AABC中，ZACB=§uuruur；uuruur；AE-DP的最大值為.點，點P是AABC（包括邊界）內一點，則AE=TOC\o"1-5"\h\z<7 9【答案】—— -2 8…… 2?！窘馕觥吭诘妊麬ABC中，ZACB=-3，CA=1，所以CA=BC=1，因為E分別是邊BC的中點，所以EC=1BC=1在^ACE中，ZACE=120。,\AE2,\AE2=AC2+CE2-2-AC-CE-cos120。=12+-2x1x-x21 1c7=1+—+2=—4 4umrAE=建立直角坐標系如下圖所示，則A乎0建立直角坐標系如下圖所示，則A乎0)D(0,0),E，設P（x，y），則uurumrAE-DP=又直線uurumrAE-DP=又直線AC的方程是y=技x+上，直線BC的方程是y=223一.1x+——，3 2-3x-y+2-0-三3x-y+1-03 2y-0令Z=￥x+y，則yfx+4Z，當直線過點Bm。9，Z有最大值；8(^31^. 、—3龍工y*丁，4J(x,y)-丁x+4，uuuruuruuuruur9所以AE-DP的