古扎拉蒂《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)》(第5版)筆記和課后習(xí)題詳解

word文檔可自由復(fù)制編輯引言0.1復(fù)習(xí)筆記一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)1．定義計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，是對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的作用存在某種期待的結(jié)果，它把數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，以使數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)構(gòu)造出來的模型得到經(jīng)驗(yàn)上的支持，并獲得數(shù)值結(jié)果。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)可定義為實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)量分析。這種分析基于理論與觀測(cè)的并行發(fā)展，而理論與觀測(cè)又通過適當(dāng)?shù)耐茢喾椒ǖ靡月?lián)系。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)可定義為這樣的社會(huì)科學(xué)：它把經(jīng)濟(jì)理論、數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)推斷作為工具，應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析。2．研究對(duì)象和研究方法計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究經(jīng)濟(jì)定律的經(jīng)驗(yàn)判定。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家的藝術(shù)，就在于找出一組足夠具體且足夠現(xiàn)實(shí)的假定，使他盡可能最好地利用他所獲得的數(shù)據(jù)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法是，利用統(tǒng)計(jì)推斷的理論和技術(shù)作為橋頭堡，以達(dá)到經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際測(cè)算相銜接的目的。二、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是一門單獨(dú)的學(xué)科計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)值得作為一門獨(dú)立的學(xué)科來研究，理由如下：1．經(jīng)濟(jì)理論所作的陳述或假說大多數(shù)是定性的。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家的工作就是要提供這一數(shù)值估計(jì)。換言之，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)理論賦予經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容。2．?dāng)?shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要問題，是要用數(shù)學(xué)形式(方程式)來表述經(jīng)濟(jì)理論，而不管該理論是否可以量化或是否能夠得到實(shí)證支持。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家常常使用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家所提供的數(shù)學(xué)方程式，但要把這些方程式改造成適合于經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)的形式。這種從數(shù)學(xué)方程到計(jì)量經(jīng)濟(jì)方程的轉(zhuǎn)換需要有許多的創(chuàng)造性和實(shí)際技巧。3．經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的問題，主要是收集、加工并通過圖表的形式來展現(xiàn)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)。但是，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)家不考慮怎樣利用所收集來的數(shù)據(jù)去檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)理論。三、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論大致說來，傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論按如下路線進(jìn)行：1．理論或假說的陳述；2．理論的數(shù)學(xué)模型設(shè)定；3．統(tǒng)計(jì)或計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型設(shè)定；4．獲取數(shù)據(jù)；5．計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的參數(shù)估計(jì)；6．假設(shè)檢驗(yàn)；7．預(yù)報(bào)或預(yù)測(cè)；8．利用模型進(jìn)行控制或制定政策。四、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的類型計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)可劃分為兩大類：理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(theoreticaleconometrics)和應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(appliedeconometrics)。在每一大類中均可按經(jīng)典方法(classical)或貝葉斯方法(Bayesian)進(jìn)行研究。理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是要找出適當(dāng)?shù)姆椒ǎy(cè)度由計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型設(shè)定的經(jīng)濟(jì)關(guān)系。為此，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家非常依賴于數(shù)理統(tǒng)計(jì)。在應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，利用理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)工具去研究經(jīng)濟(jì)學(xué)或管理學(xué)中的某些特殊領(lǐng)域。0.2課后習(xí)題詳解本章沒有課后習(xí)題。本章是全書的一個(gè)引言，對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)這門學(xué)科作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。對(duì)于本章內(nèi)容，學(xué)員簡(jiǎn)單了解即可。

第1篇單方程回歸模型第1章回歸分析的性質(zhì)1.1復(fù)習(xí)筆記一、回歸的現(xiàn)代含義回歸分析是關(guān)于研究一個(gè)因變量對(duì)另一個(gè)或多個(gè)解釋變量的依賴關(guān)系，其用意在于通過后者（在重復(fù)抽樣中）的已知或設(shè)定值，去估計(jì)和（或）預(yù)測(cè)前者的（總體）均值。二、統(tǒng)計(jì)關(guān)系與確定性關(guān)系在回歸分析中，考慮統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，主要處理的是隨機(jī)變量，也就是有著概率分布的變量。但是在函數(shù)或確定性依賴關(guān)系中，要處理的變量不是隨機(jī)的。三、回歸與因果關(guān)系從邏輯上說，回歸得到的統(tǒng)計(jì)關(guān)系式本身不可能意味著任何因果關(guān)系。肯德爾和斯圖亞特認(rèn)為，一個(gè)統(tǒng)計(jì)關(guān)系式永遠(yuǎn)不能確立因果方面的聯(lián)系：對(duì)因果關(guān)系的理念，必須來自統(tǒng)計(jì)學(xué)以外的某種理論。四、回歸與相關(guān)1．相關(guān)分析與相關(guān)系數(shù)相關(guān)分析是以測(cè)度兩個(gè)變量之間的線性關(guān)聯(lián)程度為其主要目的。相關(guān)系數(shù)是用來測(cè)度線性關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的。2．回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別回歸分析中，對(duì)因變量和解釋變量的處理方法存在著不對(duì)稱性。因變量被當(dāng)作是統(tǒng)計(jì)的、隨機(jī)的，也就是它有一個(gè)概率分布。而解釋變量則被看作是（在重復(fù)抽樣中）取固定值的。相關(guān)分析中，任何（兩個(gè)）變量的處理方法都是對(duì)稱的；因變量和解釋變量之間不加區(qū)別；兩個(gè)變量都被看作是隨機(jī)的。五、術(shù)語(yǔ)與符號(hào)1．術(shù)語(yǔ)一個(gè)有代表性的清單如圖1-1所示：圖1-12．雙變量回歸分析與多元回歸分析雙變量回歸分析研究一個(gè)變量對(duì)僅僅一個(gè)解釋變量的依賴關(guān)系。多元回歸分析研究一個(gè)變量對(duì)多于一個(gè)解釋變量的依賴關(guān)系。六、經(jīng)濟(jì)分析所用數(shù)據(jù)的性質(zhì)與來源1．?dāng)?shù)據(jù)類型（1）時(shí)間序列數(shù)據(jù)：一個(gè)時(shí)間序列是對(duì)一個(gè)變量在不同時(shí)間取值的一組觀測(cè)結(jié)果。如果一個(gè)時(shí)間序列的均值和方差不隨時(shí)間而系統(tǒng)地變化，那它就是平穩(wěn)的。（2）橫截面數(shù)據(jù)：橫截面數(shù)據(jù)指對(duì)一個(gè)或多個(gè)變量在同一時(shí)間點(diǎn)上收集的數(shù)據(jù)。當(dāng)統(tǒng)計(jì)分析包含有異質(zhì)的單位時(shí)，必須考慮尺度或規(guī)模效應(yīng)以避免造成混亂。（3）混合數(shù)據(jù)：在混合或組合數(shù)據(jù)中兼有時(shí)間序列和橫截面數(shù)據(jù)的成分。面板、縱列或微觀面板數(shù)據(jù)是混合數(shù)據(jù)的一種特殊類型，指對(duì)相同的橫截面單位在時(shí)間軸上進(jìn)行跟蹤調(diào)查的數(shù)據(jù)。如果每個(gè)橫截面單位都具有相同的觀測(cè)次數(shù)，則是平衡面板；若觀測(cè)次數(shù)不同，則是非平衡面板。2．?dāng)?shù)據(jù)來源（1）互聯(lián)網(wǎng)?；ヂ?lián)網(wǎng)使數(shù)據(jù)搜集發(fā)生了革命性的變化。（2）實(shí)驗(yàn)或非實(shí)驗(yàn)性質(zhì)的數(shù)據(jù)。在社會(huì)科學(xué)中，人們通常獲得的數(shù)據(jù)是非實(shí)驗(yàn)性質(zhì)的。3．?dāng)?shù)據(jù)的準(zhǔn)確性數(shù)據(jù)的質(zhì)量常常不那么好的原因：（1）大部分社會(huì)科學(xué)數(shù)據(jù)是非實(shí)驗(yàn)性質(zhì)的，有觀測(cè)誤差的可能；也可能出于疏漏，或出于委托。（2）即使是實(shí)驗(yàn)得來的數(shù)據(jù)，測(cè)量誤差可由近似計(jì)算或進(jìn)位而產(chǎn)生。（3）在問卷調(diào)查中，無應(yīng)答的問題也可能相當(dāng)嚴(yán)重。（4）獲取數(shù)據(jù)的抽樣方法可能變化很大，要比較不同樣本得來的結(jié)果常常非常困難。（5）通常獲得的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)都是高度加總的。（6）由于保密性質(zhì)，某些數(shù)據(jù)只能以高度加總的形式公布。研究結(jié)果不可能比數(shù)據(jù)的質(zhì)量更好。所以，如果在一定情況下，研究者發(fā)現(xiàn)研究的結(jié)果“不能令人滿意”的話，原因不一定是誤用模型，而是數(shù)據(jù)的質(zhì)量不好。七、對(duì)變量測(cè)量尺度的注解1．比率尺度對(duì)于一個(gè)變量，取其兩個(gè)值和，比率和距離都是有意義的量。這些值在這種尺度下存在著一種自然順序（上升或下降）。大多數(shù)經(jīng)濟(jì)變量都屬于這一類。2．區(qū)間尺度一個(gè)區(qū)間尺度變量滿足比率尺度變量的后面兩個(gè)性質(zhì)，但不滿足第一個(gè)性質(zhì)。3．序數(shù)尺度只要一個(gè)變量滿足比率尺度的第三個(gè)性質(zhì)（即自然順序），那它就屬于這一類變量。4．名義尺度此類變量不具備比率尺度變量的任何一個(gè)特征。因此適合于比率尺度變量的計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法可能不適合于名義尺度變量。1.2課后習(xí)題詳解1．表1-1給出了7個(gè)工業(yè)化國(guó)家的消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)（CPI）數(shù)據(jù)，以1982～1984年為該指數(shù)的基期并令1982—1984=100。表1-11980～2005年間7個(gè)工業(yè)化國(guó)家的CPI（1982—1984=100）資料來源：EconomicReportofthePresident，2007，Tablel08，P.354．a(chǎn)．利用所給數(shù)據(jù)計(jì)算每個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率。b．繪制每個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率相對(duì)時(shí)間的描點(diǎn)圖（即以時(shí)間為橫軸，并以通貨膨脹率為縱軸）。c．你從這7個(gè)國(guó)家的通貨膨脹經(jīng)歷中能得出什么寬泛的結(jié)論？d．哪個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率波動(dòng)最大？你能給出什么樣的解釋呢？答：a．通貨膨脹率等于當(dāng)年的CPI減去上一年度的CPI，再除以上一年度的CPI，然后乘以100。因此這些國(guó)家的通貨膨脹率（%）如表1-2所示，它們是從1981年開始的年度數(shù)據(jù)。表1-2年份美國(guó)加拿大日本法國(guó)德國(guó)意大利英國(guó)198110.3212.484.8413.286.3419.3011.9719826.1610.862.9411.975.3116.318.5319833.215.801.739.493.3014.944.6119844.324.282.307.672.3910.625.0119853.564.112.065.832.048.616.0119861.864.130.672.53-219873.654.320.0094.1819884.144.050.672.731.334.994.9319894.824.952.273.462.736.597.7219905.404.803.153.342.756.129.5319914.215.656.395.8719923.011.541.742.414.995.303.7019932.991.791.282.144.504.251.6019942.560.200.681.602.743.922.4819952.832.16-0.081.781.835.373.3619962.951.590.082.021.503.872.4619972.291.631.841.191.701.753.1219981.560.960.580.650.943.153.4619992.211.71-0.330.520.651.661.5220003.362.74-0.661.681.432.522.9920012.852.55-0.741.651.972.761.7520021.582.25-0.921.941.312.521.6720032.282.78-0.252.081-092.662.9020042.661.860.002.161.692.193.0020053.392.15-0.341.701.921.952.83b．每個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率相對(duì)時(shí)間的關(guān)系如圖1-2所示。圖1-2c．從圖1-2中可以看出，每個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率總體來說是逐年遞減的。d．作為對(duì)變動(dòng)性的一種度量，可以使用標(biāo)準(zhǔn)差。美國(guó)、加拿大、日本、法國(guó)、德國(guó)、意大利和英國(guó)的標(biāo)準(zhǔn)差分別是1.81、2.85、1.49、3.40、1.60、4.70和2.65。由此可見，變動(dòng)最大和最小的國(guó)家分別是意大利和日本。2．a(chǎn)．利用表1-1，繪制加拿大、法國(guó)、德國(guó)、意大利、日本和英國(guó)的通貨膨脹率相對(duì)美國(guó)通貨膨脹率的散點(diǎn)圖。b．一般性地評(píng)論這6個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率相對(duì)美國(guó)通貨膨脹率的表現(xiàn)。c．如果你發(fā)現(xiàn)這6個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率與美國(guó)的通貨膨脹率同向變化，那是否表明美國(guó)的通貨膨脹導(dǎo)致了其他國(guó)家的通貨膨脹？為什么？答：a．這六個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率相對(duì)于美國(guó)的通貨膨脹率的散點(diǎn)圖如圖1-3所示：圖1-3b．如圖1-3所示，這六個(gè)國(guó)家的通貨膨脹率與美國(guó)的通貨膨脹率正相關(guān)。c．相關(guān)并不意味著因果關(guān)系。從邏輯上說，回歸得到的統(tǒng)計(jì)關(guān)系式本身不可能意味著任何因果關(guān)系。肯德爾和斯圖亞特認(rèn)為，一個(gè)統(tǒng)計(jì)關(guān)系式永遠(yuǎn)不能確立因果方面的聯(lián)系，對(duì)因果關(guān)系的理念，必須來自統(tǒng)計(jì)學(xué)以外的某種理論。3．表1-3給出了9個(gè)工業(yè)化國(guó)家1985～2006年間的外匯匯率數(shù)據(jù)。除英國(guó)外，匯率都定義為一美元兌換外幣的數(shù)量；而英國(guó)的匯率定義為一英鎊兌換美元的數(shù)量。a．畫出這些匯率相對(duì)時(shí)間的散點(diǎn)圖，并評(píng)論匯率在給定期間內(nèi)的一般表現(xiàn)。b．如果一美元能買到更多單位的外幣，則稱之為美元升值（appreciate）。相反，如果一美元購(gòu)買更少的外幣，則稱之為美元貶值（depreciate）。在1985～2006年間，美元的一般表現(xiàn)如何？順便查閱一本宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)或國(guó)際經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書，以探明是哪些因素決定了貨幣的升值或貶值。表1-3九國(guó)匯率：1985～2006資料來源：EconomicReportofthePresident，2007，Table13-110，P.356．答：a．把匯率的對(duì)數(shù)作為縱軸并把時(shí)間作為橫軸進(jìn)行描點(diǎn)，如圖1-4所示，匯率的波動(dòng)性很大。比如，在1985年，1美元只能兌換0.257比索，但到了2004年，它能兌換約11.29比索。圖1-4b．圖1-4中，美元既有升值又有貶值。在1985～2006年間，美元以相對(duì)高的速度對(duì)比索升值，但是對(duì)于大多數(shù)其他貨幣，這種關(guān)系更緩慢而穩(wěn)定。貨幣升值或貶值的影響因素包括：國(guó)際收支狀況、國(guó)民收入、通貨膨脹率的高低、貨幣供給、財(cái)政收支狀況、利率、各國(guó)匯率政策和對(duì)市場(chǎng)的干預(yù)、投機(jī)活動(dòng)與市場(chǎng)心理預(yù)期、政治與突發(fā)因素等。其中，國(guó)際收支狀況是決定匯率趨勢(shì)的主導(dǎo)因素。一般情況下，國(guó)際收支變動(dòng)決定匯率的中長(zhǎng)期走勢(shì)。4．教材圖1-5背后的M1貨幣供給數(shù)據(jù)由表1-4給出。你能給出貨幣供給在表中所示時(shí)期上升的原因嗎？表1-4經(jīng)季節(jié)調(diào)整的M1供給：1959年1月～1999年7月（單位：十億美元）資料來源：BoardofGovernors，F(xiàn)ederalReserveBank，USA．答：隨著GDP的增加，自然而然就需要更多的貨幣為增加的產(chǎn)出提供資金支持。美國(guó)GDP是逐年增加的，因此貨幣供給量也相應(yīng)地逐年增長(zhǎng)。5．假設(shè)你要做一個(gè)犯罪行為的經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，比方說花在犯罪活動(dòng)（如非法販賣毒品）的時(shí)數(shù)。在做這樣的一個(gè)模型時(shí)，你要考慮哪些變量？看一下你的模型能否與諾貝爾獎(jiǎng)得主加里貝克爾（GaryBeeker）的模型相媲美。答：取得非法活動(dòng)的收入數(shù)據(jù)并不容易，因此需要考慮的變量包括：（1）犯罪活動(dòng)的工資或收入；（2）非犯罪活動(dòng)的小時(shí)工資或收入；（3）犯罪被抓住的概率；（4）抓住后被定罪的概率；（5）定罪后預(yù)期的判決。6．經(jīng)濟(jì)學(xué)中的控制試驗(yàn)：2000年4月7日，克林頓（Clinton）總統(tǒng)簽署了一項(xiàng)參眾兩院通過的法案，取消對(duì)社會(huì)保障金領(lǐng)取者的收入限制。此前，年齡介于65歲和69歲之間的受濟(jì)者年收入超過1.7萬美元者，超出部分的每3美元減少1美元的社會(huì)保障救濟(jì)金。你如何設(shè)計(jì)一研究方案來分析這種法律修訂的影響？注：原有法律對(duì)70歲以上的受濟(jì)者沒有設(shè)定收入限制。答：分析中的一個(gè)關(guān)鍵因素是65～69歲年齡組中那些人的勞動(dòng)參與率。勞工部搜集了勞動(dòng)參與率方面的數(shù)據(jù)。在新法律實(shí)施以后，如果這些“高齡”公民的勞動(dòng)參與率提高了，那就明顯表明，原有的法律人為地限制了他們對(duì)勞動(dòng)市場(chǎng)的參與。另外，弄清楚這些工人找到哪些類型的工作以及他們的收入狀況也是有意義的。7．表1-5中的數(shù)據(jù)發(fā)表在1984年3月1日的《華爾街日?qǐng)?bào)》（TheWallStreetJournal上。它將1983年21家企業(yè)的廣告預(yù)算（以百萬美元計(jì)）與看報(bào)者每周對(duì)這些企業(yè)產(chǎn)品保留的印象次數(shù)（以百萬次計(jì)）相聯(lián)系。這些數(shù)據(jù)基于對(duì)4000個(gè)成人的調(diào)查，在調(diào)查中要求產(chǎn)品使用者列出一條在過去的一周里見過的該類產(chǎn)品的商業(yè)廣告。a．以印象數(shù)為縱軸、以廣告支出為橫軸畫散點(diǎn)圖。b．你認(rèn)為這兩個(gè)變量之間的關(guān)系具有什么樣的性質(zhì)？c．看一下你的圖，你認(rèn)為值得做廣告嗎？想想那些出現(xiàn)在星期天的超級(jí)碗杯賽（SuperBowlSunday）上和世界職業(yè)棒球錦標(biāo)賽期間的商業(yè)廣告。表1-5廣告支出的影響資料來源：http：///DASL/Datafiles/tvadsdat.html．答：a．散點(diǎn)圖如圖1-5所示。圖1-5b．總體來看廣告支出和看報(bào)者每周對(duì)這些企業(yè)產(chǎn)品保留的印象次數(shù)還是呈同方向變化的，只是規(guī)律性并不那么明顯，這說明兩個(gè)變量之間存在并不是很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。c．由于印象與廣告支出之間存在正相關(guān)關(guān)系，因此做廣告是值得的；否則，對(duì)廣告產(chǎn)業(yè)而言將是一個(gè)壞消息。

第2章雙變量回歸分析：一些基本思想2.1復(fù)習(xí)筆記一、相關(guān)概念1．條件期望值（conditionalexpectedvalues）條件期望值或稱為條件均值，取決于變量的給定值，用符號(hào)表示為，讀作“給定值下的期望值”。2．無條件期望值3．總體回歸線在幾何意義上，總體回歸曲線就是當(dāng)解釋變量取給定值時(shí)因變量的條件均值或期望值的軌跡。二、總體回歸函數(shù)的概念1．條件期望函數(shù)（conditionalexpectationfunction，CEF）每一條件均值都是的一個(gè)函數(shù)，其中是的某個(gè)給定值，用符號(hào)表示：方程被稱為條件期望函數(shù)（CEF）或總體回歸函數(shù)（PRF），或簡(jiǎn)稱為總體回歸（PR）。表明在給定下的分布的（總體）均值與有函數(shù)關(guān)系。2．線性總體回歸函數(shù)假定總體回歸函數(shù)是的線性函數(shù)，其形式是：其中和為未知但卻固定的參數(shù)，稱為回歸系數(shù)；和也分別稱為截距和斜率系數(shù)。方程本身則稱為線性總體回歸函數(shù)，或簡(jiǎn)稱線性總體回歸。三、“線性”一詞的含義1．對(duì)變量為線性的條件期望值是的線性函數(shù)。從幾何意義上說，這時(shí)回歸曲線是一條直線。2．對(duì)參數(shù)為線性的條件期望是參數(shù)的一個(gè)線性函數(shù)；它可以是或不是變量的線性函數(shù)。本書中所有的“線性回歸”總是指對(duì)參數(shù)為線性的一種回歸（即參數(shù)只以它的一次方出現(xiàn)）；解釋變量則可以是或不是線性的。四、PRF的隨機(jī)設(shè)定1．隨機(jī)誤差項(xiàng)個(gè)別的圍繞它的期望值的離差為：或者其中離差是一個(gè)不可觀測(cè)的可正可負(fù)的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)干擾項(xiàng)或隨機(jī)誤差項(xiàng)。解釋方程，給定水平，可表示為兩個(gè)成分之和：被稱為系統(tǒng)性或確定性成分；為隨機(jī)或非系統(tǒng)性成分。2．隨機(jī)誤差項(xiàng)的條件均值方程的兩邊取期望，得到：因?yàn)?，則。五、隨機(jī)干擾項(xiàng)的意義不將隨機(jī)誤差項(xiàng)清晰地引進(jìn)模型中的原因：1．理論的含糊性；2．?dāng)?shù)據(jù)的欠缺；3．核心變量與周邊變量；4．人類行為的內(nèi)在隨機(jī)性；5．糟糕的替代變量；6．節(jié)省原則；7．錯(cuò)誤的函數(shù)形式。六、樣本回歸函數(shù)1．樣本回歸函數(shù)（SRF）其中的估計(jì)量；的估計(jì)量；的估計(jì)量。所以樣本回歸函數(shù)也可以寫成它的隨機(jī)形式：，表示樣本殘差。2．估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)量，又稱（樣本）統(tǒng)計(jì)量，是指一個(gè)規(guī)則或公式或方法，它告訴人們?cè)鯓佑檬种袠颖舅峁┑男畔⑷ス烙?jì)總體參數(shù)。由估計(jì)量算出的一個(gè)具體的數(shù)值，稱為估計(jì)值。估計(jì)量是隨機(jī)的，而估計(jì)量算出的一個(gè)具體數(shù)值則是非隨機(jī)的。3．回歸分析中的主要目的根據(jù)SRF的方程：來估計(jì)PRF的方程：。SRF只不過是PRF的一個(gè)近似，SRF使得盡可能“接近”真實(shí)的，盡可能地“接近”真實(shí)的，但真實(shí)的和永遠(yuǎn)都不知道。

2.2課后習(xí)題詳解1．什么是條件期望函數(shù)或總體回歸函數(shù)？答：每一條件均值都是的一個(gè)函數(shù)，其中是的某個(gè)給定值，用符號(hào)表示為：方程被稱為條件期望函數(shù)（CEF）或總體回歸函數(shù)（PRF），或簡(jiǎn)稱為總體回歸（PR）。表明在給定下，分布的總體均值是如何隨著一個(gè)或多個(gè)解釋變量的固定值的變化而變化的。2．總體回歸函數(shù)和樣本回歸函數(shù)之間的差別是什么？這是不是人為的區(qū)別？答：樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的區(qū)別很重要，因?yàn)榍罢呤呛笳叩囊粋€(gè)估計(jì)量。在多數(shù)情況下，所觀測(cè)的只是給定總體的一個(gè)樣本，并試圖通過給定的樣本對(duì)總體作出某種推斷。因此這是人為的區(qū)別。3．回歸分析中的隨機(jī)誤差項(xiàng)有什么作用？它與殘差有何區(qū)別？答：一個(gè)回歸模型永遠(yuǎn)也不可能對(duì)現(xiàn)實(shí)做出完全準(zhǔn)確的描述。因此，回歸子的實(shí)際值與從所選擇的模型中估計(jì)出來的值之間必定不同。二者之差就簡(jiǎn)單地歸納為隨機(jī)誤差項(xiàng)。而且構(gòu)造一個(gè)含有盡可能多變量的多元回歸模型也是不現(xiàn)實(shí)的，因此隨機(jī)誤差項(xiàng)就在回歸模型中扮演著非常重要的角色。殘差是指樣本的隨機(jī)誤差項(xiàng)。隨機(jī)誤差項(xiàng)（）是針對(duì)總體回歸函數(shù)而言的，而殘差項(xiàng)（）是一隨機(jī)變量，是針對(duì)樣本回歸函數(shù)而言的。4．我們?yōu)槭裁葱枰貧w分析？我們?yōu)槭裁床缓?jiǎn)單地用回歸子的均值作為最優(yōu)值？答：通過回歸分析，可以根據(jù)SRF的方程：來估計(jì)PRF的方程：。盡管可以使用均值、標(biāo)準(zhǔn)差和其他摘要度量來描述回歸子的行為，但通常情況下，找到影響回歸子的因素更有意義。因?yàn)槿绻业搅诉@種影響因素，就能更好地預(yù)測(cè)回歸子的均值。此外，計(jì)量模型常常是為了檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)或某些經(jīng)濟(jì)理論而提出來的。5．線性回歸模型的含義是什么？答：線性于其參數(shù)的模型；它可能是也可能不是線性于變量的。本書中，線性回歸總是指對(duì)參數(shù)為線性的一種回歸，解釋變量可以是或不是線性的。6．判別如下模型是線性于參數(shù)、線性于變量還是同時(shí)線性于參數(shù)和變量，哪些模型是線性回歸模型？注：表示自然對(duì)數(shù)（即對(duì)數(shù)的底為）；為隨機(jī)干擾項(xiàng)。答：模型a、b、c和e都是線性于參數(shù)的回歸模型。模型c同時(shí)也是線性于變量的。如果令，則模型d也是線性于參數(shù)的。7．如下模型是線性回歸模型嗎？為什么？a．b．c．d．e．答：a．通過取自然對(duì)數(shù)可得：，該模型成為一個(gè)線性回歸模型。b．通過1ogit變換，模型變成一個(gè)線性回歸模型：c．線性回歸模型。d．非線性回歸模型。e．因?yàn)榈膬缰笖?shù)是3，所以不是線性回歸模型。8．內(nèi)在線性回歸模型的含義是什么？如果習(xí)題7d中的為0.8，那它是一個(gè)線性回歸模型，還是非線性回歸模型？答：從本質(zhì)上講，一個(gè)可以轉(zhuǎn)換成線性于參數(shù)的模型就是一個(gè)線性回歸模型，比如上題中的模型a。如果上一題模型d中的，因?yàn)楹苋菀拙湍苡?jì)算出來，那它便成為一個(gè)線性回歸模型。9．考慮如下非隨機(jī)模型（即不含隨機(jī)誤差項(xiàng)的模型）。它們是線性回歸模型嗎？若不是，可以通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變換使之轉(zhuǎn)化為線性模型嗎？a．b．c．答：a．把模型變換成便成為一個(gè)線性回歸模型。b．把模型變換成便成為一個(gè)線性回歸模型。c．把模型變換成便成為一個(gè)線性回歸模型。因此，原來的模型本質(zhì)上都是線性模型。10．圖2-1是一個(gè)散點(diǎn)圖及其回歸線。你從此圖能得出什么一般性結(jié)論？圖中勾畫出的回歸線是總體回歸線還是樣本回歸線？出口與GNP比率的年度平均變化圖2-11970～1990年間50個(gè)發(fā)展中國(guó)家的制造業(yè)真實(shí)工資增長(zhǎng)率與出口數(shù)據(jù)資料來源：TheWorldBank，WorldDevelopmentReport1995，P.55．TheoriginalsourcesUNIDOdata，WorldBankdata．答：散點(diǎn)圖表明，一個(gè)國(guó)家的出口傾向越強(qiáng)，其真實(shí)工資的增長(zhǎng)率就越快。這正是許多發(fā)展中國(guó)家采用出口導(dǎo)向型增長(zhǎng)政策的原因。圖中的回歸線是基于50個(gè)發(fā)展中國(guó)家的樣本而得到的，因此是一條樣本回歸線。11．你能從圖2-2的散點(diǎn)圖中得出什么一般性結(jié)論？其背后有什么經(jīng)濟(jì)理論？[提示：查一本國(guó)際經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書并閱讀貿(mào)易的赫克歇爾-俄林（Heckscher-Ohlin）模型。]圖2-21985年126個(gè)工業(yè)化和發(fā)展中國(guó)家的出口與技術(shù)密集性和人力資本數(shù)據(jù)注：橫軸數(shù)據(jù)為一個(gè)國(guó)家平均受教育年數(shù)與其土地面積之比的對(duì)數(shù)；縱軸為制成品出口與初級(jí)產(chǎn)品出口之比的對(duì)數(shù)。資料來源：WorldBank，WorldDevelopmentReport1995，P.59．原始資料：出口數(shù)據(jù)摘自美國(guó)統(tǒng)計(jì)局COMTRADE數(shù)據(jù)庫(kù)；受教育數(shù)據(jù)摘自UNDP1990；土地?cái)?shù)據(jù)摘自世界銀行。答：從散點(diǎn)圖中可以看出，技術(shù)越密集的國(guó)家出口更多的制成品，而勞動(dòng)越密集的國(guó)家出口更多的原材料。根據(jù)著名的赫克歇爾-俄林（Heckscher-Oh1in）貿(mào)易模型，每個(gè)國(guó)家都傾向于出口那些在生產(chǎn)過程中較密集地使用本國(guó)相對(duì)豐裕要素的產(chǎn)品。換言之，這個(gè)模型強(qiáng)調(diào)了要素稟賦與比較優(yōu)勢(shì)之間的關(guān)系。12．圖2-3中的散點(diǎn)圖揭示了什么關(guān)系？基于此圖，你認(rèn)為最低工資法有利于經(jīng)濟(jì)福利嗎？圖2-3最低工資與人均GNP注：樣本由17個(gè)發(fā)展中國(guó)家構(gòu)成。各國(guó)數(shù)據(jù)采集的年份從1988年到1992年不等。數(shù)據(jù)以國(guó)際價(jià)格度量。資料來源：WorldBank，WorldDevelopmentReport1995，P．75．答：該圖表明，最低工資越高，人均GNP就越低，基于圖2-3可知，最低工資法對(duì)發(fā)展中國(guó)家并非好事，即并不利于經(jīng)濟(jì)福利的增加。但這個(gè)觀點(diǎn)是有爭(zhēng)議的，最低工資的影響可能取決于它們對(duì)就業(yè)的影響、實(shí)施最低工資法的產(chǎn)業(yè)的性質(zhì)和政府的實(shí)施力度。13．引言中圖I-3所示的回歸線是PRF還是SRF？為什么？你如何解釋回歸線周圍的散點(diǎn)？除GDP外，還會(huì)有什么其他的因素或變量決定著個(gè)人消費(fèi)支出？答：由于回歸線是基于15年的觀測(cè)樣本而得到的，因此它是一條樣本回歸線（SRF）?；貧w線附近的散點(diǎn)是實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)。實(shí)際消費(fèi)支出與從回歸線得到的估計(jì)值之差代表了（樣本）殘差。除GDP外，諸如財(cái)富、利率等因素也可能影響消費(fèi)支出。14．表2-1給出了美國(guó)1980～2006年間的數(shù)據(jù)。a．將城市男性勞動(dòng)力勞動(dòng)參與率相對(duì)城市男性失業(yè)率描點(diǎn)。目測(cè)一條穿過散點(diǎn)的回歸線。推測(cè)二者之間的關(guān)系，其背后的經(jīng)濟(jì)理論是什么？這個(gè)散點(diǎn)圖支持該理論嗎？b．對(duì)女性重做（a）部分的練習(xí)。c．現(xiàn)在同時(shí)將男性和女性的勞動(dòng)參與率相對(duì)平均小時(shí)工資（以1982年美元度量）描點(diǎn)。（你可以分開畫圖）現(xiàn)在又有何發(fā)現(xiàn)？你又將如何解釋你的發(fā)現(xiàn)？d．你可以將勞動(dòng)參與率同時(shí)對(duì)失業(yè)率和平均小時(shí)工資描點(diǎn)嗎？若不能，你如何口頭說明這三個(gè)變量之間的關(guān)系。表2-11980～2006年間美國(guó)勞動(dòng)參與率數(shù)據(jù)注：表中變量的定義及其在文獻(xiàn)中的位置如下：CLFPRM1，城市男性勞動(dòng)力勞動(dòng)參與率（%），TableB-39，P.277.CLFPRF2，城市女性勞動(dòng)力勞動(dòng)參與率（%），TableB-39，P.277.UNRM3，城市男性失業(yè)率（%），TableB-42，P.280.UNRF4，城市女性失業(yè)率（%），TableB-42，P.280。AHE825，平均小時(shí)工資（以1982年美元度量），TableB-47，P.286.AHE6，平均小時(shí)工資（以當(dāng)前價(jià)格度量），TableB-47，P.286.資料來源：EconomicReportofthePresident，2007．答：a．散點(diǎn)圖如圖2-4所示：圖2-4這兩個(gè)變量之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系看起來是合理的。隨著失業(yè)率上升，盡管圖中有幾個(gè)小的波峰和波谷，勞動(dòng)參與率下降了。b．散點(diǎn)圖如圖2-5所示：圖2-5這里勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的減工假說（discouragedworkerhypothesis）看來起了作用：失業(yè)挫傷了婦女就業(yè)的積極性，因?yàn)樗齻儞?dān)心沒有工作機(jī)會(huì)。c．男性和女性勞動(dòng)參與率相對(duì)AH82的描點(diǎn)圖如圖2-6所示：圖2-6這兩個(gè)變量之間的關(guān)系對(duì)于男性和女性而言相似，盡管男性勞動(dòng)參與率總是顯著高于女性，但女性參與率的變化大得多。男性平均參與率是75.4%，而女性只有57.3%；對(duì)于變化率，男性參與率的標(biāo)準(zhǔn)差只有1.17%，但是女性的標(biāo)準(zhǔn)差是2.73%，是男性的2倍多。這是簡(jiǎn)單二元回歸的結(jié)論。當(dāng)進(jìn)行多元回歸分析時(shí)，可能得到一些不同的結(jié)論。d．不能?？刹捎枚嘣貧w分析模型，將失業(yè)率和平均小時(shí)工資作為解釋變量，勞動(dòng)參與率作為因變量，分別對(duì)男性和女性數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析。也可以通過將男性、女性的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得出整體的失業(yè)率、勞動(dòng)平均小時(shí)工資和勞動(dòng)參與率的數(shù)據(jù)，然后對(duì)其進(jìn)行多元回歸分析，最終得出三者之間的關(guān)系。15．表2-2給出的是以盧比度量的食物支出和總支出數(shù)據(jù)，樣本是印度的55個(gè)農(nóng)戶。（在2000年初，1美元約兌換40盧比。）表2-2食物支出與總支出（單位：盧比）資料來源：ChandanMukherjee，HowardWhite，andMarcWuyts，EconometricsandDataAnalysisforDevelopingCountries，Routledge，NewYork，1998，P.457．a(chǎn)．以總支出為橫軸，食物支出為縱軸將數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并勾勒出一條穿過散點(diǎn)的回歸線。b．你從此例中能得出什么一般性的結(jié)論？c．據(jù)經(jīng)驗(yàn)，你會(huì)預(yù)測(cè)無論總支出水平如何食物支出總是隨總支出線性地增加嗎？為什么？你可以用總支出作為總收入的一個(gè)代理變量。答：a．散點(diǎn)圖和回歸線如圖2-7所示：圖2-7b．隨著總支出的增加，食物支出總體上也在增加。當(dāng)總支出水平超過2000盧比之后，二者的差異更大。c．不會(huì)預(yù)測(cè)食物支出會(huì)永遠(yuǎn)線性地（即以直線形式）增加下去。一旦基本需要得到滿足，隨著收入的增加，人們?cè)谑澄锷系闹С鰧⑾鄬?duì)減少。即收入水平越高，消費(fèi)者能自由支配的收入也越多。a中的散點(diǎn)圖給出了這方面的某些證據(jù)：當(dāng)收入水平超過2000盧比后，食物支出的波動(dòng)性更大。16．表2-3給出了1972～2007年間應(yīng)屆高中畢業(yè)生在SAT中的平均成績(jī)數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)包括男生和女生在閱讀和數(shù)學(xué)方面的成績(jī)。2006年才開始要求寫作，所以這些數(shù)據(jù)中不包含寫作成績(jī)。表2-31972～2007年應(yīng)屆高中畢業(yè)生在SAT邏輯部分的分組平均成績(jī)注：1972～1986年間用一個(gè)公式把原始均值及其標(biāo)準(zhǔn)差轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分的均值。1987～1995年間，把各個(gè)學(xué)生的成績(jī)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分再計(jì)算均值。1996～1999年間，幾乎所有學(xué)生的成績(jī)都是標(biāo)準(zhǔn)分。2000～2007年間，所有成績(jī)都是用標(biāo)準(zhǔn)分報(bào)告。資料來源：CollegeBoard，2007．a(chǎn)．用橫軸代表年度，縱軸代表SAT成績(jī)，分別對(duì)男生和女生描繪閱讀和數(shù)學(xué)成績(jī)。b．你從這些圖形中能得出什么一般性的結(jié)論？c．知道了男（女）生的閱讀成績(jī)，你會(huì)怎樣預(yù)測(cè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)成績(jī)？d．將女生總的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)男生的數(shù)學(xué)成績(jī)描點(diǎn)。你看到了什么？答：a．男生和女生閱讀成績(jī)的散點(diǎn)圖如圖2-8所示：圖2-8男生和女生數(shù)學(xué)成績(jī)的相應(yīng)描點(diǎn)圖如圖2-9所示：圖2-9b．男生和女生的閱讀成績(jī)呈略微的逐年下降的趨勢(shì)，盡管在20世紀(jì)90年代中期呈現(xiàn)出穩(wěn)定狀態(tài)。然而，數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)出略微的上升趨勢(shì)，特別是從20世紀(jì)90年代初開始。在兩幅圖中，男生的分?jǐn)?shù)都普遍高于女生的分?jǐn)?shù)，當(dāng)然不同年份的差異有所不同。c．可以針對(duì)不同性別將數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)閱讀成績(jī)進(jìn)行回歸而得到一個(gè)簡(jiǎn)單的回歸模型。d．描點(diǎn)圖如圖2-10所示：圖2-10盡管男生的分?jǐn)?shù)總是高于女生，但兩個(gè)性別呈同向變化。17．表2-4根據(jù)家庭收入給出了閱讀、數(shù)學(xué)和寫作三項(xiàng)SAT邏輯部分的平均成績(jī)。我們?cè)诶?.2中給出了圖2-7，即將數(shù)學(xué)平均成績(jī)對(duì)家庭平均收入的描點(diǎn)圖。表2-4根據(jù)家庭收入分組的SAT邏輯部分的平均成績(jī)資料來源：CollegeBoard，2007，College-BoundSeniors，Table11．a(chǎn)．參照教材圖2-7畫出閱讀平均成績(jī)與家庭平均收入之間的類似圖形。將你的結(jié)論與教材圖2-7中所示的圖形進(jìn)行比較。b．再作出寫作平均成績(jī)與家庭平均收入之間的圖形，并與上述兩個(gè)圖形進(jìn)行比較。c．根據(jù)這三個(gè)圖形，你能得出什么一般性的結(jié)論？答：a．男生和女生閱讀成績(jī)的散點(diǎn)圖如圖2-11所示：圖2-11這個(gè)結(jié)果與教材中圖2-7有些類似。平均閱讀成績(jī)隨著家庭收入的增加而增加。圖2-12這幅圖與之前的圖2-11幾乎完全一樣，即平均寫作成績(jī)隨著家庭收入的增加而增加。c．很明顯，平均家庭收入與SAT分?jǐn)?shù)之間呈現(xiàn)出一種正相關(guān)關(guān)系。

第3章雙變量回歸模型：估計(jì)問題3.1復(fù)習(xí)筆記一、普通最小二乘法1．普通最小二乘法的估計(jì)思想對(duì)于雙變量PRF：PRF是無法直接觀測(cè)的，通過SRF去估計(jì)：所以：。選擇殘差和盡可能小的SRF，即最小化下式：2．普通最小二乘法的估計(jì)方法對(duì)于一個(gè)給定樣本，最小二乘法提供使得達(dá)到最小可能值的和估計(jì)值。通過微分法將得到用于估計(jì)和的下列方程：其中是樣本容量。這組聯(lián)立方程被稱為正規(guī)方程。解此聯(lián)立方程得：其中和是和的樣本均值，并且定義和，可得：3．最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì)從最小二乘法估得出的估計(jì)量稱為最小二乘估計(jì)量，即OLS估計(jì)量。（1）OLS估計(jì)量是純粹由可觀測(cè)的（即樣本）量（指和）表達(dá)的，因此它們很容易計(jì)算；（2）都是點(diǎn)估計(jì)量，即對(duì)于給定樣本，每個(gè)估計(jì)量?jī)H提供有關(guān)總體參數(shù)的一個(gè)（點(diǎn)）值；（3）一旦從樣本數(shù)據(jù)得到0LS估計(jì)值，便容易畫出樣本回歸線?；貧w線具有如下性質(zhì)：①穿過和的樣本均值點(diǎn)，即；②的估計(jì)值（）的均值等于實(shí)際值的均值（）；③殘差的均值為零；④殘差和的預(yù)測(cè)值不相關(guān)，即；⑤殘差和不相關(guān)，即。二、經(jīng)典線性回歸模型：最小二乘法的基本假定1．假定1：線性回歸模型?；貧w模型盡管對(duì)變量而言不一定是線性的，但它對(duì)于參數(shù)而言是線性的，也就是說，回歸模型如方程所示。2．假定2：值是固定的或獨(dú)立于誤差項(xiàng)，即。最初假定變量非隨機(jī)的原因：（1）為了簡(jiǎn)化分析，并引導(dǎo)讀者逐步深入地理解回歸分析的內(nèi)容。（2）在實(shí)驗(yàn)環(huán)境中，值固定不變的假定可能是不太現(xiàn)實(shí)的。（3）在一定的條件下，即使是隨機(jī)的，基于固定回歸元的線性回歸的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也是可靠的。3．假定3：干擾項(xiàng)的均值為零，即。假定3是所選回歸模型中不存在設(shè)定誤差的另一種表述。該假定意味著經(jīng)驗(yàn)分析所用的模型中不存在設(shè)定偏誤或設(shè)定誤差。如果在給定一個(gè)隨機(jī)變量的情況下另一個(gè)隨機(jī)變量的條件均值為0，那么這兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是0，因而這兩個(gè)變量是無關(guān)的。4．假定4：同方差性或的方差相等。異方差性是指總體的條件方差隨而變化。假定4意味著的條件方差也是同方差的，即。5．假定5：各個(gè)干擾項(xiàng)之間無自相關(guān)。給定任意兩個(gè)值，和之間的相關(guān)系數(shù)為零。用符號(hào)表示：若是非隨機(jī)的，。6．假定6：觀測(cè)次數(shù)必須大于待估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。7．假定7：變量的性質(zhì)。（1）在一個(gè)給定的樣本中，值不可以全部相同。是有限的正數(shù)。如果全部相同，則無法估計(jì)經(jīng)驗(yàn)方差的參數(shù)。（2）變量的取值沒有異常，即沒有一個(gè)值相對(duì)其余觀測(cè)而言過大或過小，這是為了避免回歸結(jié)果受到這種異常觀測(cè)的支配。三、最小二乘估計(jì)的精度或標(biāo)準(zhǔn)誤1．OLS估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤由如下公式來估計(jì)：其中是真正的但未知的的OLS估計(jì)量，而表達(dá)式被稱為自由度。表示殘差平方和。被稱為估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤或回歸標(biāo)準(zhǔn)誤。它無非就是值圍繞估計(jì)回歸線波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差，并常用于衡量所估計(jì)的回歸線的“擬合優(yōu)度”。2．和的方差的特點(diǎn)（1）的方差與成正比，而與成反比。（2）的方差與和成正比，而與和樣本容量成反比。（3）由于和是估計(jì)量，所以它們不僅隨著樣本的變化而變化，而且對(duì)于一個(gè)給定樣本，它們還可能是互相依賴的。這種依賴性將由它們之間的協(xié)方差來衡量。如果斜率系數(shù)被過高估計(jì)，則截距系數(shù)將被過低估計(jì)。四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)：高斯-馬爾可夫定理1．最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（1）線性的。它是諸如回歸模型中的因變量這種隨機(jī)變量的線性函數(shù)。（2）無偏的。均值或期望值等于真值。（3）有效的。最小二乘估計(jì)量是有最小方差的無偏估計(jì)量。2．高斯-馬爾可夫定理在給定經(jīng)典線性回歸模型的假定下，最小二乘估計(jì)量在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差，也就是說，它們是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量，即BLUE估計(jì)量。五、判定系數(shù)：“擬合優(yōu)度”的一個(gè)度量1．判定系數(shù)的計(jì)算和定義回歸方程的離差形式為：。兩邊平方并對(duì)樣本求和，可得：因此可得：，其中總平方和（）：，即實(shí)際值圍繞其均值的總變異。解釋平方和（）：，即估計(jì)的值圍繞其均值的變異。殘差平方和（）：，即估計(jì)的值圍繞回歸線的變異未被解釋的部分或殘差部分。如圖3-1所示。圖3-1的變異分解為兩部分判定系數(shù)為：或者寫成另一種形式：測(cè)度了在的總變異中由回歸模型解釋的那個(gè)部分所占的比例或百分比。2．判定系數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)（1）它是一個(gè)非負(fù)量；（2）它的界限為。3．相關(guān)系數(shù)（1）相關(guān)系數(shù)的作用：用來測(cè)量?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)聯(lián)度。（2）樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法：（3）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①可正可負(fù)；②落在極限和之間；③具有對(duì)稱性，即；④與原點(diǎn)和尺度都無關(guān)；⑤如果與統(tǒng)計(jì)上獨(dú)立，則它們之間的相關(guān)系數(shù)為零，但零相關(guān)并不意味著獨(dú)立性；⑥僅是線性關(guān)聯(lián)或線性相依的一個(gè)度量，不能用于描述非線性關(guān)系；⑦雖然是兩個(gè)變量之間線性關(guān)聯(lián)的一個(gè)度量，卻不一定有因果關(guān)系的含義。還可用實(shí)際值與的估計(jì)值之間的相關(guān)系數(shù)的平方來計(jì)算，即為：3.2課后習(xí)題詳解1．給定下表第（1）列中的假定，證明第（2）列中的假定與之等價(jià)。關(guān)于經(jīng)典模型的假定（1）（2）證明：（1），，為常數(shù)而是非隨機(jī)的，因此：（2）假定對(duì)所有的，都有，且隨機(jī)誤差項(xiàng)的均值為0，于是：（3）給定，于是根據(jù)假定有：2．證明教材表3-1的第1個(gè)實(shí)驗(yàn)所用的估計(jì)值和事實(shí)上是0LS估計(jì)量。證明：如表3-1所示。表3-141-3-39954-2000750101126521042816001914其中，因此最小二乘估計(jì)量為：，。3．按照馬林伍得（Malinvaud）（參看3.2節(jié)假設(shè)3中的注釋）的意見，假設(shè)是相當(dāng)重要的。為了看到這一點(diǎn)，考慮PRE：?，F(xiàn)區(qū)分兩種情形：（i），及；和（ii），及。然后在這兩種情形中以為條件求PRF的數(shù)學(xué)期望，并看你是否同意馬林伍得的觀點(diǎn)，即假定非常重要。答：PRF是：情形1：，且，從而。情形2：，且，從而，與情形1相同。因此，上述分析表明，盡管在兩種情形中假定的參數(shù)值完全不同，但如果沒有這個(gè)假定，所得到的的條件分布可能是一樣的，因此就無法估計(jì)參數(shù)。4．考慮樣本回歸：。在如下約束條件下：（i）和（ii），求估計(jì)量和，并證明它們無異于方程（3.1.6）和方程（3.1.7）中所給出的最小二乘估計(jì)量。這種求估計(jì)量的方法叫做類比原理（analogyprinciple）。試述施加約束條件（i）和（ii）的直覺理由。（提示：回顧關(guān)于的CLRM假定。）順便指出，估計(jì)未知參數(shù)的類比原理又叫做矩法（methodofmoments），即用樣本矩（如樣本均值）去估計(jì)總體矩（如總體均值）。如在附錄A中所指出的那樣，矩是概率分布的一個(gè)摘要統(tǒng)計(jì)量，比如期望和方差。證明：施加第一個(gè)約束可得：簡(jiǎn)化后即得到教材中第一個(gè)正規(guī)方程。施加第二個(gè)約束得到：。簡(jiǎn)化后即得到教材中第二個(gè)正規(guī)方程。第一個(gè)約束與假定相對(duì)應(yīng)；第二個(gè)約束所對(duì)應(yīng)的假定是，總體誤差項(xiàng)與解釋變量無關(guān)，即。因此可知，，，無異于方程（3.1.6）和方程（3.1.5．證明由方程（3.5.5）定義的落在0與1之間。你可以利用柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，即對(duì)任意隨機(jī)變量和，下列關(guān)系式總是成立的：。證明：利用柯西-施瓦茨不等式可知：。相關(guān)系數(shù)為：，則，因此。6．令和分別為對(duì)回歸和對(duì)回歸中的斜率。證明：，其中為與之間的相關(guān)系數(shù)。證明：因?yàn)?，，二者相乘可得?．假設(shè)在習(xí)題6中，那么求對(duì)的回歸和求對(duì)的回歸有什么差別？請(qǐng)解釋。答：盡管，但仍然要研究究竟是對(duì)回歸抑或是對(duì)回歸的問題（為了澄清理論或因果關(guān)系），因?yàn)槎咧e等于1，這并不等同于。8．斯皮爾曼（Spearman）等級(jí)相關(guān)系數(shù)的定義如下：其中編排給同一單元或現(xiàn)象的等級(jí)差，參與等級(jí)編排的單元或現(xiàn)象個(gè)數(shù)。試從（3.5.13）中定義的推出。提示：從1到將和編排等級(jí)。注意和的等級(jí)和為，因而它們的均值都是。答：這兩個(gè)（排序）變量的均值是兩個(gè)排序之間的相關(guān)系數(shù)為：（1）其中，小寫字母和通常一樣表示相對(duì)于均值的離差。既然這種排序都是前個(gè)自然數(shù)的排列，所以類似地有于是因此（2）由于利用（2）式便得到（3）將上述方程代入（1）式便得到。9．考慮如下雙變量PRF表達(dá)式：模型Ⅰ：模型Ⅱ：a．求和的估計(jì)量。它們是否相同？它們的方差是否相同？b．求和的估計(jì)量，它們是否相同？它們的方差是否相同？C．如果模型Ⅱ比模型Ⅰ好，好在哪里？答：a．因?yàn)?，所以且（注意：），，，所以這兩個(gè)估計(jì)量的估計(jì)值和方差都不相等。b．因?yàn)椋郧?，容易?yàn)證，即這兩個(gè)斜率估計(jì)量的估計(jì)值和方差都相等。c．盡管有了高速計(jì)算機(jī)，對(duì)較大的數(shù)字進(jìn)行計(jì)算已不成問題，但當(dāng)較大時(shí)使用模型Ⅱ仍相對(duì)簡(jiǎn)單一些。10．假設(shè)你做了如下回歸：，其中和是它們與其各自均值的離差，問將取何值？為什么？會(huì)不會(huì)和方程（3.1.6）的一樣？為什么？答：，即數(shù)據(jù)相對(duì)其均值的離差之和恒等于0，所以總有。因此，。如果和都用其均值的離差來表示，回歸線將經(jīng)過原點(diǎn)。由于這兩個(gè)變量的均值都是0，所以，此即為方程（3.111．令為對(duì)（）值的相關(guān)系數(shù)，而為對(duì)（）值的相關(guān)系數(shù)，其中，，和為常數(shù)。證明，從而證實(shí)相關(guān)系數(shù)對(duì)度量單位和原點(diǎn)的改變保持不變的性質(zhì)。提示：應(yīng)用方程（3.5.注：運(yùn)算，和分別叫做尺度變換、原點(diǎn)變換和尺度與原點(diǎn)同時(shí)變換。證明：令和以離差的形式表示，即和。根據(jù)定義有：，即等于方程（3.5.13）中的。因此。12．如果對(duì)值的相關(guān)系數(shù)是正的，試判斷以下各個(gè)命題的對(duì)錯(cuò)：a．之間的可正可負(fù)。b．之間以及之間的可正可負(fù)。c．斜率系數(shù)和都是正的，其中為對(duì)回歸的斜率系數(shù)，而為對(duì)回歸的斜率系數(shù)。答：a．對(duì)。令上一題中的并令即可。b．錯(cuò)。同樣從上一題可知應(yīng)該為負(fù)。c．對(duì)。由于，和（分別表示和的標(biāo)準(zhǔn)差）都為正，而且，，所以和一定都為正。13．如果，和是有同樣方差但互不相關(guān)的變量，試證明和之間的相關(guān)系數(shù)等于1/2，為什么這個(gè)相關(guān)系數(shù)不是零？證明：令，以離差的形式表示即，。根據(jù)和之間相關(guān)系數(shù)的定義和彼此不相關(guān)的假定有（為方便起見，省略掉觀測(cè)順序的下標(biāo)）：具有相同的方差，所以。盡管彼此不相關(guān)，但其兩兩之和卻可能相關(guān)，因此這個(gè)相關(guān)系數(shù)不等于0。如上所述，意味著和之間的協(xié)方差是一個(gè)常數(shù)而不是0。14．假設(shè)在回歸中，我們將每個(gè)值都乘以2，這會(huì)不會(huì)改變的殘差及擬合值？為什么？如果我們給每個(gè)值都加上一個(gè)常數(shù)2，又會(huì)怎樣？答：的殘差和擬合值將不會(huì)改變。令，其中。使用離差形式可得：，即截距項(xiàng)未受影響。因此，即便變量都乘以2，但的擬合值和殘差卻保持不變。如果將每個(gè)都加上一個(gè)常數(shù)，分析與此類似。15．證明方程（3.提示：應(yīng)用方程（3.5.13）中所給的定義，并回憶和方程（3.5證明：由于，根據(jù)方程（3.516．判斷以下命題對(duì)錯(cuò)，并給出原因。a．由于兩個(gè)變量和之間的相關(guān)系數(shù)取值范圍為[-1，1]，所以這意味著也在此范圍內(nèi)。b．如果兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)為零，那就意味著這兩個(gè)變量之間不存在相關(guān)關(guān)系。c．如果你將對(duì)回歸（即實(shí)際的對(duì)估計(jì)的回歸），那么截距和斜率的值分別為0和1。答：a．錯(cuò)。協(xié)方差可取任意值；它取決于度量單位。而相關(guān)系數(shù)則沒有度量單位，它是一個(gè)純數(shù)字。b．錯(cuò)。相關(guān)系數(shù)是對(duì)兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的一種度量。如教材圖3-10（h）所示，和之間存在完美的函數(shù)關(guān)系，但這種關(guān)系不是線性的。c．對(duì)。以離差的形式有，因此如果將對(duì)回歸，顯然斜率系數(shù)將為1而截距為0。規(guī)范的證明如下：如果將對(duì)回歸，因?yàn)樵陔p變量模型中有和，所以可以得到斜率系數(shù)，而這個(gè)回歸中的截距項(xiàng)為0。17．不含回歸元的回歸。假如給你一個(gè)模型。利用0LS求出的估計(jì)量。其方差和是多少？估計(jì)的有直覺上的意義嗎？現(xiàn)在考慮雙變量模型。值得在此模型中增加嗎？否則，為什么要進(jìn)行回歸分析呢？答：（1）把樣本回歸函數(shù)寫成。根據(jù)最小二乘原理，最小化。方差最小化的一階條件為：化簡(jiǎn)即得到，即等于樣本均值。樣本均方差為。其中，為樣本容量；為的方差。為，而。（2）值得在此模型中增加。如果向模型中添加變量能顯著地減小才值得這么做。而只要對(duì)確有影響，那么引入就會(huì)使顯著減小。在雙變量回歸模型中：因此，如果，至少包含一個(gè)回歸元的模型與不包含任何回歸元的模型相比，其中要小一些。當(dāng)然，如果模型中包含更多的回歸元，且其斜率系數(shù)都不等于0，會(huì)更小。也就是說，解釋變量能夠比均值更好的預(yù)測(cè)。18．表3-2給出了10名學(xué)生在統(tǒng)計(jì)學(xué)期中和期末考試中的名次。計(jì)算斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)并加以解釋。表3-2答：取兩個(gè)排名的差分并將差分加以平方得到表3-3：表3-3d﹣21﹣130﹣1﹣1﹣2124119011414因此，斯皮爾曼的等級(jí)相關(guān)系數(shù)為：因此，學(xué)生的期中排名與期末排名高度相關(guān)，期中排名越高，期末排名也越高。19．名義匯率與相對(duì)價(jià)格之間的關(guān)系。根據(jù)1985～2005年的年度觀測(cè)，可得到如下回歸結(jié)果：，。其中表示加元與美元的匯率（CD／$），表示美國(guó)CPI與加拿大CPI之比；即代表了這兩個(gè)國(guó)家的相對(duì)價(jià)格。a．解釋這個(gè)回歸。你如何解釋？b．的系數(shù)為正有經(jīng)濟(jì)意義嗎？其背后的經(jīng)濟(jì)理論是什么？c．假如我們將定義為加拿大CPI與美國(guó)CPI之比，的符號(hào)會(huì)改變嗎？為什么？答：a．斜率系數(shù)值2.250表明，在1985～2005年間，美國(guó)與加拿大CPI的比率每提高一個(gè)單位，加元兌美元的匯率平均上升2.250個(gè)單位。這就是說，隨著美元相對(duì)加元更堅(jiān)挺，用一美元就可以兌換更多的加元。機(jī)械地解釋，截距-0.912意味著，如果相對(duì)價(jià)格比率為0，1美元將兌換-0.912加元（將賠錢）。當(dāng)然，這個(gè)解釋沒有任何經(jīng)濟(jì)意義。由于較低，為0.440，說明這個(gè)結(jié)果有相當(dāng)多的變異，對(duì)現(xiàn)實(shí)的擬合度不高。b．斜率系數(shù)為正值具有經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，因?yàn)槿绻绹?guó)的價(jià)格上漲快于加拿大，（美國(guó)）國(guó)內(nèi)的消費(fèi)者就會(huì)偏好于加拿大產(chǎn)品——由于他們能買得更多——因此提高了對(duì)加元的需求，這將導(dǎo)致加元升值。這就是購(gòu)買力平價(jià)理論（purchasingpowerparity，PPP）或稱為一價(jià)定律的精髓。c．在這種情況下斜率系數(shù)被期望為負(fù)，因?yàn)榧幽么驝PI相對(duì)美國(guó)CPI越低，加元的相對(duì)通貨膨脹率就越低，這將導(dǎo)致美元貶值。當(dāng)然，這也是PPP理論的精髓所在。20．表3-4給出了美國(guó)在1960～2005年間商業(yè)和非農(nóng)商業(yè)部門的小時(shí)產(chǎn)出指數(shù)（）和真實(shí)小時(shí)工資（）的數(shù)據(jù)?；辏?992）指數(shù)為100，且指數(shù)經(jīng)過了季節(jié)性調(diào)整。表3-41960～2005年商業(yè)部門的生產(chǎn)力及相關(guān)數(shù)據(jù)注：1產(chǎn)出指該部門真實(shí)GDP。2雇員的工資和薪水加上雇主對(duì)社會(huì)保障和私人福利方案的支付。3對(duì)于城市消費(fèi)者，近幾個(gè)季度的小時(shí)工資除以消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)。資料來源：EconomicReportofthePresident,2007,Table49．a(chǎn)．分別對(duì)兩個(gè)部門將對(duì)描點(diǎn)。b．這兩個(gè)變量之間關(guān)系的背后有什么經(jīng)濟(jì)理論？散點(diǎn)圖支持該理論嗎？c．估計(jì)對(duì)的OLS回歸，在學(xué)完第5章后，再回頭看一下你的結(jié)果。答：a．散點(diǎn)圖如圖3-2所示：圖3-2（1）圖3-2（2）b．圖3-2同時(shí)顯示，工資與生產(chǎn)力之間有正相關(guān)關(guān)系，符合勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際生產(chǎn)力工資理論，即勞動(dòng)和資本各自的邊際生產(chǎn)力決定它們各自的產(chǎn)品價(jià)值，同時(shí)也就決定了它們各自所取得的收入，因此生產(chǎn)力和工資是正相關(guān)的。c．如圖3-2所示，工資和生產(chǎn)力之間的關(guān)系基本上是線性的，除了在產(chǎn)出最低那一段區(qū)間有點(diǎn)略微向上彎曲。因此，可以嘗試用一個(gè)直線回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，但擬合效果可能不甚完美。對(duì)數(shù)據(jù)擬合的線性模型為：商業(yè)：非農(nóng)商業(yè)：恰如所料，二者之間的關(guān)系是正相關(guān)的，但出乎意料的是，值相當(dāng)高。21．根據(jù)一個(gè)包含10次觀測(cè)的樣本，得到如下結(jié)果：，，，，并且相關(guān)系數(shù)。但在重新核對(duì)這些計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)有兩組觀測(cè)的記錄是而不是問這一錯(cuò)誤對(duì)有何影響？求正確的。答：因?yàn)?，則不變；，因此應(yīng)減少20。應(yīng)減少。同理可得、的變動(dòng)量。修正后的數(shù)據(jù)如表3-5所示。表3-5原始數(shù)據(jù)11101700205500322000132100修正后數(shù)據(jù)11101680204200315400133300因此，修正后的相關(guān)系數(shù)為。22．表3-6給出1974～2006年問美國(guó)的黃金價(jià)格、消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)（CPI）和紐約證券交易所指數(shù)（NYSEIndex）數(shù)據(jù)。NYSE指數(shù)包括在NYSE上市的1500多種股票中的大多數(shù)。表3-61974～2006年間美國(guó)的黃金價(jià)格、NYSE指數(shù)和消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)數(shù)據(jù)a．在同一散點(diǎn)圖中描繪黃金價(jià)格、CPI和NYSE指數(shù)。b．如果一項(xiàng)投資的價(jià)格和（或）回報(bào)率至少跟得上通貨膨脹，就認(rèn)為它是保值（能抵御通貨膨脹）的。為檢驗(yàn)這一假設(shè)，假定在（a）中的散點(diǎn)圖表明適當(dāng)?shù)那闆r下，你擬合如下模型：GoldpricetNYSEIndex如果虛擬假設(shè)正確，你對(duì)的值有什么樣的期望？答：a．散點(diǎn)圖如圖3-3所示。圖3-3由圖可知，黃金價(jià)格有相當(dāng)大的波動(dòng)性，但是NYSE指數(shù)和CPI顯得相對(duì)穩(wěn)定。（b）如果虛擬假設(shè)正確，則會(huì)預(yù)期。因此股票市場(chǎng)比黃金更能對(duì)付通貨膨脹，實(shí)現(xiàn)保值。23．表3-7給出1959～2005年間美國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）數(shù)據(jù)。表3-71959～2005年間美國(guó)名義和真實(shí)GDP數(shù)據(jù)注：除非特別說明，均以十億美元為單位；季度數(shù)據(jù)經(jīng)季節(jié)性調(diào)整為年度數(shù)據(jù)；RGDP以2000年不變價(jià)格十億美元計(jì)算。資料來源：EconomicReportofthePresident,2007,TablesB-1andB-2．a(chǎn)．將當(dāng)年美元和不變（即2000年）美元數(shù)據(jù)對(duì)時(shí)間描圖。b．用表示GDP，表示時(shí)間（按年從1代表1959年，2代表1960年開始，直至47代表2005年）。看以下模型是否適合GDP數(shù)據(jù)：，試用當(dāng)年美元和不變美元兩種數(shù)據(jù)分別估計(jì)此模型。c．你會(huì)怎樣解釋？d．如果用當(dāng)年美元GDP估計(jì)的和用不變美元GDP估計(jì)的有所不同，怎樣解釋這個(gè)差異？e．從你的計(jì)算結(jié)果，你能對(duì)樣本時(shí)期美國(guó)通貨膨脹的性質(zhì)得出什么結(jié)論？答：a．描點(diǎn)圖如圖3-4所示，其中NGDP和RGDP分別表示名義GDP和真實(shí)GDP。圖3-4b．兩種模型如下：模型適合GDP數(shù)據(jù)。c．表明每年GDP的變化率。d．二者之差代表了通貨膨脹。e．如圖3-4和回歸結(jié)果所示，名義GDP比真實(shí)GDP增長(zhǎng)更快，表明通貨膨脹在上升。24．利用引言中表Ⅰ-1所給數(shù)據(jù)，驗(yàn)證方程（3.答：略。25．對(duì)習(xí)題2.16中SAT一例做以下練習(xí)：a．將女生閱讀成績(jī)相對(duì)于男生閱讀成績(jī)描點(diǎn)。b．如果散點(diǎn)圖表明兩者似有線性關(guān)系，試求女生閱讀成績(jī)對(duì)男生閱讀成績(jī)的回歸。c．如果這兩個(gè)閱讀成績(jī)之間有某種關(guān)系，它是不是因果關(guān)系？答：a．圖略。b．回歸結(jié)果為：其中，為女生閱讀成績(jī)，為男生閱讀成績(jī)。c．無論多強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系都不能證明因果關(guān)系，其因果關(guān)系必須先驗(yàn)地建立。在這種情況下，沒有理由認(rèn)為這兩個(gè)變量之間存在因果關(guān)系。26．用數(shù)學(xué)成績(jī)代替閱讀成績(jī)，重做習(xí)題3.25。答：如圖3-5所示。圖3-5回歸結(jié)果為：同理，無論多強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系都不能證明因果關(guān)系，其因果關(guān)系必須先驗(yàn)地建立。在這種情況下，沒有理由認(rèn)為男生和女生的數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在因果關(guān)系。27．蒙特卡羅研究課堂作業(yè)：回到教材表2-4中所列的10個(gè)值。令和。假定，即服從均值為0、方差為9的正態(tài)分布。用這兩個(gè)參數(shù)值生成100個(gè)樣本，求出和的100個(gè)估計(jì)值，然后對(duì)這些估計(jì)值描圖。從這一蒙特卡羅研究中，你能得出什么結(jié)論？注：當(dāng)今大多數(shù)統(tǒng)計(jì)包都能從一些最熟悉的概率分布中生成隨機(jī)數(shù)。如果你在生成這些隨機(jī)數(shù)時(shí)遇到困難，請(qǐng)向你的老師求助。答：略。28．利用教材表3-3中給出的數(shù)據(jù)，將手機(jī)用戶數(shù)對(duì)計(jì)算機(jī)用戶數(shù)進(jìn)行描點(diǎn)。二者之間有明顯的關(guān)系嗎？如果有，你如何對(duì)這種關(guān)系給出合理的解釋。答：如圖3-6所示。圖3-6這兩個(gè)變量之間確實(shí)呈現(xiàn)出某種正相關(guān)關(guān)系，但是它更像一種邏輯關(guān)系而不是線性關(guān)系。

第4章經(jīng)典正態(tài)線性回歸模型4.1復(fù)習(xí)筆記統(tǒng)計(jì)推斷的經(jīng)典理論是由估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)成的。一、干擾項(xiàng)的概率分布由于在最小二乘法中并沒有對(duì)干擾項(xiàng)的概率性質(zhì)做任何假定，所以盡管有了高斯-馬爾可夫定理，但仍無助于從SRF去推斷PRF。在經(jīng)典線性回歸模型中，常常假定服從正態(tài)分布，就得到經(jīng)典正態(tài)線性回歸模型。二、關(guān)于的正態(tài)性假定1．經(jīng)典正態(tài)線性回歸的假定假定每個(gè)，都是正態(tài)分布的，且均值：方差：協(xié)方差：因此：。對(duì)兩個(gè)正態(tài)分布變量來說，零協(xié)方差或零相關(guān)就意味著兩個(gè)變量相互獨(dú)立。所以與不僅不相關(guān)，而且是獨(dú)立分布的，表述為：。2．采用正態(tài)假定的原因（1）代表回歸模型中未明顯引進(jìn)的許多自變量對(duì)因變量的總影響，為了保證這些被忽略的變量所起的作用是微小的，隨機(jī)的，因此采取正態(tài)假定。中心極限定理認(rèn)為，如果存在大量獨(dú)立且相同分布的隨機(jī)變量，那么，除了少數(shù)例外情形，隨著這些變量的個(gè)數(shù)無限地增加，它們的總和將趨向服從正態(tài)分布。中心極限定理為的正態(tài)性假定提供了理論基礎(chǔ)。（2）中心極限定理認(rèn)為，即使變量個(gè)數(shù)并不很大或這些變量并不是嚴(yán)格獨(dú)立的，但它們的總和仍可視為正態(tài)分布的。（3）正態(tài)分布變量的任何線性函數(shù)都是正態(tài)分布的。在正態(tài)性假定下，0LS估計(jì)量的概率分布很容易推導(dǎo)，這就使得假設(shè)檢驗(yàn)工作十分簡(jiǎn)單。（4）正態(tài)分布是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的、僅涉及兩個(gè)參數(shù)的分布，它為人們所熟知，其理論性質(zhì)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中受到廣泛的研究。（5）在處理小樣本或有限樣本時(shí)，正態(tài)假定就起到關(guān)鍵作用。不僅有助于推導(dǎo)出0LS估計(jì)量精確的概率分布，而且能用檢驗(yàn)、檢驗(yàn)和檢驗(yàn)來對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。（6）在大樣本中，和統(tǒng)計(jì)量近似服從和概率分布，所以基于誤差項(xiàng)正態(tài)分布這一假定的和檢驗(yàn)仍能可靠地使用。三、在正態(tài)性假定下OLS估計(jì)量的性質(zhì)1．無偏性；2．最小方差性；3．一致性；4．（的線性函數(shù)）是正態(tài)分布的，且均值：方差：。或更簡(jiǎn)潔地寫成：。利用正態(tài)分布的性質(zhì)，定義：可知服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，表示為：。5．（的線性函數(shù)）是正態(tài)分布的，且均值：；方差：。或更簡(jiǎn)潔地寫成：；利用正態(tài)分布的性質(zhì)，定義；可知也服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。6．/服從個(gè)自由度的（即卡方）分布；7．（，）的分布獨(dú)立于；8．和在所有無偏估計(jì)中，無論是線性的還是非線性的，都有最小方差。如果假定，則作為的線性函數(shù)，本身也服從正態(tài)分布，其均值和方差依次為：均值：方差：或更簡(jiǎn)潔地寫為：。四、極大似然法1．和OLS相比，極大似然法（ML）是一種具有更強(qiáng)的理論特征的點(diǎn)估計(jì)方法。2．如果假定是正態(tài)分布的，則回歸系數(shù)的ML估計(jì)量和0LS估計(jì)量是相同的，無論所考慮的是簡(jiǎn)單回歸還是多元回歸。3．的ML估計(jì)量是，這是一個(gè)有偏誤的估計(jì)量，而的OLS估計(jì)量則是無偏的。比較的這兩種估計(jì)量，可知隨著樣本容量的變大，兩者趨于相等。因此，的ML估計(jì)量是漸近（即隨著無限增大）無偏的。

4.2課后習(xí)題詳解1．“若兩個(gè)隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)上獨(dú)立，則兩者的相關(guān)系數(shù)為零。但反之未必成立。也就是說，零相關(guān)不意味著統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性。然而，如果兩個(gè)變量都是正態(tài)分布的，則零相關(guān)必然意味著統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性?！痹?yán)孟旅娴膬蓚€(gè)正態(tài)分布變量和的聯(lián)合概率密度函數(shù)（又稱雙變量正態(tài)概率密度函數(shù)，bivariatenormalprobabilitydensityfunction）來證明這一命題。其中，的均值；的均值；的標(biāo)準(zhǔn)差；的標(biāo)準(zhǔn)差；與之間的相關(guān)系數(shù)。證明：給定和的相關(guān)系數(shù)則雙變量正態(tài)PDF可簡(jiǎn)化成其中，和為單變量正態(tài)PDF。于是，若則這正是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件。因此，在雙變量正態(tài)情形中，零相關(guān)意味著統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。2．試用取極值的二階條件（即二階導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)），證明通過解方程（9）、（10）和（11）而得到的和的ML估計(jì)量，確實(shí)可使方程（4）中的似然函數(shù)取極大值。證明：為了保證最大似然估計(jì)量最大化似然函數(shù)，則附錄4A中方程（5）的二階導(dǎo)數(shù)必須小于0，這就保證了RSS最小化。由于所有二階導(dǎo)數(shù)都為負(fù)，所以該ML估計(jì)量最大化了似然函數(shù)。3．隨機(jī)變量服從指數(shù)分布（exponentialdistribution），如果它有如下的概率密度函數(shù)：其中是此分布的參數(shù)。試用ML證明的ML估計(jì)量是，其中為樣本容量。也就是證明的ML估計(jì)量是樣本均值。證明：由于服從指數(shù)分布，所以它的PDF為。因此，似然函數(shù)為。對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)：。將上述函數(shù)對(duì)求導(dǎo)并取導(dǎo)數(shù)等于0便得到：解得：，即樣本均值。4．假設(shè)一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果要么成功要么失敗。在實(shí)驗(yàn)結(jié)果成功時(shí)令，在實(shí)驗(yàn)結(jié)果失敗時(shí)令，的概率密度函數(shù)如下成功概率的極大似然估計(jì)量是什么？解：由于服從伯努利分布，其概率分布函數(shù)為：。因此，似然函數(shù)為。似然函數(shù)的對(duì)數(shù)就是：。函數(shù)極大化的一階條件為：。解得：，此即為成功概率的極大似然估計(jì)量。

第5章雙變量回歸：區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)5.1復(fù)習(xí)筆記一、區(qū)間估計(jì)：一些基本思想1．區(qū)間估計(jì)的粗略概念在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性由它的標(biāo)準(zhǔn)誤來衡量。因此，不能完全信賴一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，而是要圍繞點(diǎn)估計(jì)量構(gòu)造一個(gè)區(qū)間。隨機(jī)區(qū)間為：。，表示隨機(jī)區(qū)間包含真實(shí)的概率為。這樣的區(qū)間存在，就被稱為置信區(qū)間；被稱為置信系數(shù)；則被稱為顯著性水平；置信的區(qū)間的端點(diǎn)被稱為置信限或臨界值；被稱為置信下限；而被稱為置信上限。2．區(qū)間估計(jì)的特征（1）方程并不意味著落入給定界限內(nèi)的概率是，而是置信區(qū)間包含的概率為。（2）方程中的區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，它隨樣本的變化而變化。（3）在重復(fù)抽樣中，基于概率而構(gòu)造許多置信區(qū)間，從長(zhǎng)期看，平均來說，這些區(qū)間中將有的比例包含著參數(shù)的真實(shí)值。（4）只要尚不知道，方程中的區(qū)間就是隨機(jī)的。但是，一旦確定，方程中的區(qū)間就是固定的。二、回歸系數(shù)和的置信區(qū)間1．的置信區(qū)間在的正態(tài)性假定下，OLS估計(jì)量和本身就是正態(tài)分布的，因此變量是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。（1）真實(shí)總體方差已知正態(tài)曲線下，在之間的面積約為68%；在之間的面積約為95%；在之間的面積約為99.7%。（2）真實(shí)方差未知在實(shí)踐中用的無偏估計(jì)量來測(cè)定的。方程就可寫為：則。的置信區(qū)間為：，標(biāo)準(zhǔn)誤越大，置信區(qū)間越寬。2．和的聯(lián)合置信區(qū)間構(gòu)造和的一個(gè)聯(lián)合置信域，使得和同時(shí)落在其中的置信系數(shù)（）。三、的置信區(qū)間在正態(tài)性假定下，變量：則的置信區(qū)間：這就給出的置信區(qū)間。四、假設(shè)檢驗(yàn)：概述虛擬假設(shè)（）：代表一種信以為真或意在維護(hù)的維持假設(shè)。對(duì)立假設(shè)（）：在檢驗(yàn)虛擬假設(shè)時(shí)與虛擬假設(shè)相對(duì)立的假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)的置信區(qū)間方法和顯著性檢驗(yàn)方法之間的聯(lián)系：兩種方法所考慮的變量（統(tǒng)計(jì)量或估計(jì)量）服從某個(gè)概率分布，并且做假設(shè)檢驗(yàn)就在于對(duì)這個(gè)分布的參數(shù)值發(fā)表意見或作出判斷。五、假設(shè)檢驗(yàn)：置信區(qū)間方法（1）雙側(cè)或雙尾檢驗(yàn)：反映對(duì)于對(duì)立假設(shè)偏離虛擬假設(shè)的方向沒有一個(gè)強(qiáng)有力的先驗(yàn)或理論的期望。決策規(guī)則：構(gòu)造一個(gè)的置信區(qū)間。如果在假設(shè)下，落入此區(qū)間，就不拒絕。但如果它落在此區(qū)間之外，就要拒絕。如圖5-1所示。圖5-1統(tǒng)計(jì)學(xué)中，拒絕虛擬假設(shè)時(shí)，是統(tǒng)計(jì)上顯著的。反之，不拒絕虛擬假設(shè)時(shí)，則不是統(tǒng)計(jì)上顯著的。（2）單側(cè)或單尾檢驗(yàn)：適用于有先驗(yàn)信息表明對(duì)立假設(shè)是單向的。六、假設(shè)檢驗(yàn)：顯著性檢驗(yàn)方法1．檢驗(yàn)回歸系數(shù)的顯著性：檢驗(yàn)（1）顯著性檢驗(yàn)是一種利用樣本結(jié)果來證實(shí)一個(gè)虛擬假設(shè)真?zhèn)蔚臋z驗(yàn)程序。（2）檢驗(yàn)，置信區(qū)間稱為（虛擬假設(shè)的）接受域，而置信區(qū)間以外的（一個(gè)或多個(gè)）區(qū)域稱為（虛擬假設(shè)的）拒絕域或臨界域。置信限，即置信區(qū)間的端點(diǎn)，又稱為臨界值。如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值落在臨界域內(nèi)，那么這個(gè)統(tǒng)計(jì)量就是統(tǒng)計(jì)上顯著的，拒絕虛擬假設(shè)。同理，如果一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落在接受域中，那么它就是統(tǒng)計(jì)上不顯著的，不拒絕虛擬假設(shè)。（3）顯著性檢驗(yàn)的決策規(guī)則表5-1顯著性檢驗(yàn)：決策規(guī)則2．檢驗(yàn)的顯著性：檢驗(yàn)，則檢驗(yàn)規(guī)則如表5-2所示。表5-2檢驗(yàn)概要七、假設(shè)檢驗(yàn)：一些實(shí)際操作問題1．“接受”或“拒絕”假設(shè)的含義在顯著性檢驗(yàn)中，如果決定“接受”虛擬假設(shè)，只表明沒有理由拒絕它；而不是虛擬假設(shè)毫無疑問是真的。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)論也應(yīng)為“不拒絕”而不為“接受”。2.“零”虛擬假設(shè)與“2-t”經(jīng)驗(yàn)法則在經(jīng)驗(yàn)工作中，經(jīng)常檢驗(yàn)的一個(gè)虛擬假設(shè)是，即斜率系數(shù)是零。如果自由度為20或更大，且顯著水平定在0.05，從方程算得值［］在絕對(duì)值上超過2時(shí)，就可拒絕虛擬假設(shè)。當(dāng)自由度小于20，則必須查閱表。3．構(gòu)造虛擬假設(shè)和對(duì)立假設(shè)理論預(yù)期或經(jīng)驗(yàn)工作或兩者同時(shí)可作為構(gòu)造假設(shè)的依據(jù)，但是研究者要在進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)調(diào)查研究之前先構(gòu)造這些假設(shè)。如果先分析經(jīng)驗(yàn)結(jié)果再進(jìn)行假設(shè)的話，就不免受到一種誘惑，要構(gòu)造一種假設(shè)來袒護(hù)自己所得到的結(jié)果。4．選擇顯著性水平拒絕或不拒絕虛擬假設(shè)，關(guān)鍵在于這個(gè)顯著性水平或犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率——拒絕了真實(shí)假設(shè)的概率。給定了樣本容量，如企圖減少拒絕真實(shí)假設(shè)的概率，就同時(shí)增加了接受錯(cuò)誤假設(shè)的概率，因此，對(duì)于給定的樣本容量，這兩種錯(cuò)誤類型之間有一種替代關(guān)系。解決這一替代關(guān)系的唯一途徑，就是找出兩類錯(cuò)誤的相對(duì)代價(jià)。如果錯(cuò)誤地拒絕一個(gè)其實(shí)是真實(shí)的虛擬假設(shè)（第Ⅰ類錯(cuò)誤）的代價(jià)比起錯(cuò)誤地未拒絕一個(gè)其實(shí)是錯(cuò)誤的虛擬假設(shè)（第Ⅱ類錯(cuò)誤）的代價(jià)相對(duì)高昂，那么把第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率定得低些將是合理的。反之，如果犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的代價(jià)比犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的代價(jià)相對(duì)低廉，就值得把第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率定得高些（從而使犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率低些）。應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家一般看來都是把定在1%、5%甚至10%的水平上。5．精確的顯著性水平：值值，又稱為概率值、觀測(cè)或精確顯著水平、犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的精確概率，被定義為一個(gè)虛擬假設(shè)可被拒絕的最低顯著水平。對(duì)于給定樣本容量，隨著的增加，值會(huì)不斷下降，犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率就越小，就越能夠拒絕虛擬假設(shè)。與其人為地把固定在某一水平。不如選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。6．統(tǒng)計(jì)顯著性與實(shí)際顯著性統(tǒng)計(jì)上的顯著性和實(shí)際上或經(jīng)濟(jì)上的顯著性不能混同。當(dāng)樣本容量變得非常大時(shí)，幾乎任何虛擬假設(shè)都一定會(huì)被拒絕，統(tǒng)計(jì)顯著性的問題會(huì)變得不重要，而經(jīng)濟(jì)顯著性的問題會(huì)變得至關(guān)重要。7．假設(shè)檢驗(yàn)的置信區(qū)間方法和顯著性檢驗(yàn)方法的選擇置信區(qū)間方法優(yōu)于顯著性檢驗(yàn)方法。因?yàn)轱@著性檢驗(yàn)方法一般都拒絕虛擬假設(shè)，但如果全部或幾乎全部虛擬假設(shè)都是錯(cuò)誤的，那么，討論一個(gè)估計(jì)值是否無異于它在虛擬假設(shè)下的預(yù)測(cè)值，就是無意義的。八、回歸分析與方差分析恒等式，即，把總平方和（）分解為兩個(gè)構(gòu)成部分：解釋平方和（）與剩余平方和（）。對(duì)的這些構(gòu)成部分的研究從回歸的觀點(diǎn)就成為方差分析。同任一個(gè)平方和聯(lián)系在一起的是它所依據(jù)的自由度，即獨(dú)立觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。在計(jì)算樣本均值時(shí)，失去1個(gè)自由度，故有個(gè)自由度。有個(gè)自由度。有1個(gè)自由度（也僅對(duì)雙變量情形才正確）。九、回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問題預(yù)測(cè)分別稱為均值預(yù)測(cè)和個(gè)值預(yù)測(cè)。1．均值預(yù)測(cè)是正態(tài)分布的估計(jì)量，其均值為（），方差為：。未知，則由它的無偏估計(jì)量推知變量：，則有：2．個(gè)值預(yù)測(cè)的方差：也服從正態(tài)分布，用代替未知的，即推出下式也服從分布：。因此分布可用來對(duì)真實(shí)進(jìn)行推斷。當(dāng)時(shí)，置信帶的寬度達(dá)到最小。隨著遠(yuǎn)離，寬度急劇地變大。這說明歷史樣本回歸線的預(yù)測(cè)能力隨著越來越遠(yuǎn)離而顯著下降。十、評(píng)價(jià)回歸分析的結(jié)果1．正態(tài)性檢驗(yàn)（1）殘差直方圖殘差直方圖是用于了解隨機(jī)變量概率密度函數(shù)（PDF）形狀的一個(gè)簡(jiǎn)單圖示。殘差不是完美的正態(tài)分布；對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布變量，其偏態(tài)值（對(duì)稱性的一個(gè)度量指標(biāo)）應(yīng)該為0，而峰態(tài)值（它度量了一個(gè)正態(tài)分布的高矮）應(yīng)該為3。但作為檢驗(yàn)正態(tài)假定的一個(gè)簡(jiǎn)易方法，繪制回歸殘差的直方圖總是一個(gè)好的做法。（2）正態(tài)概率圖安德森-達(dá)林正態(tài)性檢驗(yàn)，稱為統(tǒng)計(jì)量。其背后的虛擬假設(shè)是，所考慮的變量是正態(tài)分布的。（3）雅克-貝拉檢驗(yàn)（JB檢驗(yàn)）正態(tài)性的雅克-貝拉（JB）檢驗(yàn)是一項(xiàng)漸近或大樣本檢驗(yàn)。它仍以O(shè)LS殘差為依據(jù)。此檢驗(yàn)先計(jì)算0LS殘差的偏態(tài)（skewness）和峰態(tài)（kurtosis），再使用下列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其中，樣本容量，偏態(tài)系數(shù)，峰態(tài)系數(shù)。對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布變量，，而。因此，正態(tài)性的JB檢驗(yàn)是對(duì)和這一聯(lián)合假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。2．模型適宜性的其他檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂偸墙⒃谝恍┎灰欢偸浅闪⒌暮?jiǎn)化假定以上的。5.2課后習(xí)題詳解1．判斷下述命題的正誤。并給出具體的理由，切勿含糊其辭。a．本章所討論的顯著性檢驗(yàn)要求估計(jì)量和的抽樣分布是正態(tài)分布。b．即使CLRM中的干擾項(xiàng)不是正態(tài)分布的，OLS估計(jì)量仍然是無偏的。c．如果回歸模型中沒有截距項(xiàng)，估計(jì)值（）的總和將不為零。d．值和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的尺度指的是一回事。e．在一個(gè)含有截距的回歸模型中，殘差的總和必定為零。f．如果一個(gè)虛擬假設(shè)不被拒絕，它就是真實(shí)的。g．的值越大，方程（3.3.1h．一個(gè)隨機(jī)變量的條件均值和無條件均值是一樣的。i．在雙變量PRF中，如果斜率系數(shù)是零，則截距由樣本均值來估計(jì)。j．如果對(duì)無影響，條件方差和的無條件方差將是一樣的。答：a．對(duì)。檢驗(yàn)基于具有正態(tài)分布的變量而定義。由于和的估計(jì)量都是誤差的線性組合，在CLRM下誤差是正態(tài)分布的，所以這些估計(jì)量也是正態(tài)分布的。b．對(duì)。只要，則OLS估計(jì)量便是無偏的。證明無偏性無須其他任何假定。c．對(duì)。無截距的模型中，不存在，因此不一定為0。d．對(duì)。值是能拒絕虛擬假設(shè)的最小顯著性水平。術(shù)語(yǔ)顯著性水平和檢驗(yàn)尺度（或檢驗(yàn)的大?。┦峭x詞。e．對(duì)。，因此含有截距的回歸模型中，殘差的總和必定為零。f．錯(cuò)。只能說所掌握的數(shù)據(jù)還不允許拒絕虛擬假設(shè)，并不表示虛擬假設(shè)一定為真。g．錯(cuò)。較大的可能被較大的所抵消，只有保持后者不變時(shí)，這個(gè)說法才可能正確。h．錯(cuò)。一個(gè)隨機(jī)變量的條件均值取決于另外一個(gè)變量的取值。只有這兩個(gè)變量相互獨(dú)立，條件均值和無條件均值才可能相同。i．對(duì)。，因此當(dāng)斜率系數(shù)是零，則截距由樣本均值來估計(jì)。j．對(duì)。因?yàn)?，若?duì)沒有影響，將為0，此時(shí)。2．對(duì)方程（3.7.2）所給的回歸模型建立像答：印度食物支出的方差分析表如表5-3所示：表5-3，自由度分別為1和53。在食物支出與總支出之間沒有關(guān)系的虛擬假設(shè)下，得到這樣一個(gè)值的值幾乎為0，從而表明可以強(qiáng)烈拒絕這個(gè)虛擬假設(shè)。3．參考方程（3.a．在5%的顯著水平上，截距系數(shù)估計(jì)值顯著嗎？你進(jìn)行檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)是什么？b．在5%的顯著水平上，斜率系數(shù)估計(jì)值顯著嗎？其背后的虛擬假設(shè)是什么？c．構(gòu)造真實(shí)斜率系數(shù)的95%置信區(qū)間。d．如果人均收入是9000美元，手機(jī)需求的平均預(yù)測(cè)值是多少？這個(gè)預(yù)測(cè)值的95%置信區(qū)間是什么？答：a．截距項(xiàng)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為6.1523，因此在虛擬假設(shè)下，值為。自由度為32時(shí)，5%顯著性水平下的臨界值是2.042（使用的是30個(gè)自由度，因?yàn)樵诮炭茣母戒浿袥]有包含32個(gè)自由度），因此截距項(xiàng)是統(tǒng)計(jì)上顯著的。b．斜率系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為0.00032，因此虛擬假設(shè)下的值為。5%顯著性水平下的臨界值是2.042，因此斜率系數(shù)是統(tǒng)計(jì)上顯著的。c．真實(shí)斜率系數(shù)的95%的置信區(qū)間是：d．如果人均收入是9000美元，那么手機(jī)需求量的均值預(yù)測(cè)值為：（支/每百人）為了預(yù)測(cè)置信區(qū)間，首先需要計(jì)算那么置信區(qū)間為：4．令代表真實(shí)的總體判定系數(shù)，假定你想檢驗(yàn)假設(shè)：，用文字說明你會(huì)怎樣檢驗(yàn)此假設(shè)。提示：利用方程（3.5.11），也可參看習(xí)題5答：從字面上說，這個(gè)假設(shè)說明兩個(gè)變量之間沒有相關(guān)關(guān)系。因此，如果可以證明這兩個(gè)變量之間的協(xié)方差為0，那么相關(guān)系數(shù)一定為0。5．現(xiàn)代投資分析中所謂的特征線（characteristicline）就是得自以下模型的回歸線：其中第種證券在時(shí)間的回報(bào)率；市場(chǎng)組合證券在時(shí)間的回報(bào)率；—隨機(jī)干擾項(xiàng)。在此模型中，被稱為第種證券的系數(shù)（betacoefficient），是對(duì)證券的市場(chǎng)（或系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)的一種度量。福格勒（Fogler）和加納帕賽（Ganapathy）根據(jù)1956～1976年間的240個(gè)月回報(bào)率，算得IBM股票相對(duì)于芝加哥大學(xué)研制的市場(chǎng)組合證券指數(shù)的特征線如下：a．系數(shù)大于1的證券被稱為易波動(dòng)或進(jìn)攻型證券。問在此研究期間IBM是易波動(dòng)證券嗎？b．問截距系數(shù)是否顯著地異于零？如果是，它的實(shí)際意義何在？答：a．利用檢驗(yàn)來檢驗(yàn)真實(shí)的斜率系數(shù)為1的假設(shè)，并得到對(duì)于自由度238而言，即便在的情況下，這個(gè)值也不顯著。結(jié)論：在樣本期間內(nèi)，IBM不是一個(gè)易變證券。b．由于，所以在2%的顯著性水平上這也是一個(gè)顯著的值。但它卻沒有什么實(shí)際意義，從字面上解釋