工程力學-06軸向拉伸與壓縮-jianhua

NanjingUniversityofTechnology第二篇材料力學第五章軸向拉伸與壓縮軸力與軸力圖內力方程一般來說，內力是截面位置坐標x的函數.

軸力圖、扭矩圖、剪力圖、彎矩圖.內力圖以平行于桿件軸線的坐標表示橫截面的位置，垂直于桿件軸線的坐標表示相應截面上內力的數值.+表示軸力沿桿軸線方向（隨x坐標）變化的函數成為軸力方程，相應的內力圖，稱為軸力圖軸力的正負號規(guī)定：FNFN－軸向拉壓桿件在其任一橫截面上只有軸向力內力分量，故對軸向拉壓桿件而言，其內力方程中只有軸力方程，內力圖中只有軸力圖

繪制軸力圖的方法與步驟如下：采用靜力平衡方程確定桿件的約束力；

根據桿件上作用的載荷以及約束力，對桿件分段

在每段中，應用截面法，對截開的部分桿件建立平衡方程，確定截面上的軸力，建立軸力方程；

建立FN－x坐標系，將所求得的軸力值或軸力方程標在坐標系中，畫出軸力圖。

求圖示桿1-1、2-2、3-3截面上的軸力，并作軸力圖.解：10KNFN11110KN15KNFN22220KNFN33311223310KN15KN15KN20KNN110kNF=N25kNF=-N320kNF=-例題軸力圖⊕11223310KN15KN15KN20KNFN10KN5KN20KNFFFN1N2N310520==-=-kNkNkN※討論：

軸力FN

在通過軸向集中載荷作用面時的跳躍問題。

上例中是否具有軸力方程？

上例中若假定桿件的橫截面積為A，材料密度為，那么桿件的軸力圖又會怎樣？拉、壓桿件橫截面上的應力軸向拉壓桿件橫截面正應力yxzdAσxFNx

因此理論上可計算得到正應力分布函數，從而求出橫截面上任一點處的正應力

為了獲得分布函數，可依據拉壓桿件變形的平面假設平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，仍為橫截面。PPP因此在任一橫截面上在線彈性范圍內討論上述公式的適用范圍？線彈性、小變形、緩變桿，指定橫截面上述公式的通用表達形式？在拉壓桿件中，若非等截面桿則若則那么，max？例題

變截面直桿，ADE段為銅制，EBC段為鋼制；在A、D、B、C等4處承受軸向載荷。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB＝10×102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。試求：直桿橫截面上的絕對值最大的正應力。解：1、

作軸力圖

應用截面法，可以確定各段上的軸力分別為：FNAD＝－2FP＝－120kNFNDE＝FNEB＝－FP＝－60kNFNBC＝FP＝60kN

2、計算直桿橫截面上絕對值最大的正應力

由于桿件為分段等直桿，故可在AB和BC段內分別求出其段內max

懸臂吊車，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，起吊重物Q=15KN，求AB的最大工作應力。AQBC0.8m1.9m例題解：1）分析AB受力、并求其內力:當Q移到A點時AB桿受力最大，取結點A研究B0.8mACQ1.9mAFNFNFNQFNABFNAC2)求AB桿的最大工作應力：

其最大工作應力為橫截面上的應力

請思考B0.8mACQ1.9m1、Q位于A點時，AB、AC為何種變形？2、Q移至AC中任一位置時，有何變化？

長為b，內徑d=200mm，壁厚t=5mm的薄壁圓環(huán)，承受p=2MPa的內壓力作用，試求圓環(huán)徑向截面上的拉應力。2005p例題解：

由圓環(huán)受力和變形的對稱性可知，在圓環(huán)的任何徑向截面上，作用有相同的法向拉力FNmmnnFNFNRydFN=p·b·d/2由于壁厚遠小于內徑，可近似認為m-m、n-n上各點處正應力相等。=FN

/A=p·b·d/(2·b·t)=p·d/(2·t)=2·106·0.2/(2·0.005)=40MPa

圣維南原理及應力集中圣維南原理

集中載荷或其它非均勻分布載荷作用點處會出現(xiàn)非均勻變形，從而導致非均布應力場的出現(xiàn)區(qū)別？如圖，桿端局部變形，不能滿足平面假設，軸向拉壓桿件正應力計算式不適用圣維南原理（Saint-Venantprinciple）：如果桿端兩種外加力靜力學等效，則距離加力點稍遠處，靜力學等效對應力分布的影響很小，可以忽略不計。

幾何形狀不連續(xù)處應力局部增大的現(xiàn)象，稱為應力集中（stressconcentration）。

應力集中

應力集中處橫截面上的應力最大值與不考慮應力集中時的應力值（稱為名義應力）之比，稱為應力集中因數可以討論應力集中的好壞拉壓桿件斜截面上的應力

在拉、壓桿件中，雖然橫截面上只有正應力，但在斜截面方向卻產生剪切變形，這種剪切變形必然與斜截面上的剪應力有關。

在軸向均勻拉壓情形下，可認為斜截面為均勻變形，其上的正應力和切應力都是均勻分布的。※拉壓桿斜截面上的應力公式也可以通過考察桿件上的微元而求得。微元斜面上的應力就是過一點處不同方向面的應力。故當論及應力時，必須指明是哪一點處、哪一個方向面上的應力。

軸向拉壓桿件斜截面上則既有正應力又有剪應力，且不同傾角的斜截面，其值各不相同在＝0的截面（即橫截面）上，取最大值，即

在＝45°的斜截面上，取最大值，即且正應力為那么當＝90°時，情況有會如何呢？說明了什么？

材料的力學性能

材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形和破壞方面的特性，稱為材料的力學性能。材料的力學性能主要通過實驗得到材料軸向拉壓實驗是力學性能實驗中的基礎實驗。金屬材料的一般力學性能主要通過該實驗獲得

金屬材料在常溫靜載下的力學性能實驗條件：常溫、緩慢平穩(wěn)加載（靜載）標準試件：標距l(xiāng)

通常取l＝10dl＝5d長試樣短試樣圓棒試樣板試樣

將給定的材料做成標準試樣，在材料試驗機上，進行拉伸或壓縮實驗

試驗時，試樣通過卡具或夾具安裝在試驗機上。試驗機通過上下夾頭的相對移動將軸向載荷加在試樣上。

脆性材料拉伸時的性能曲線工程塑料拉伸時的性能曲線韌性金屬材料拉伸時的性能曲線P

Q235鋼試件的拉伸圖

低碳鋼的拉伸性能低碳鋼—含碳量在0.3%以下的碳素鋼載荷－變形圖（P－?l圖）令名義應力名義應變彈性階段

oab

這一階段可分為：斜直線Oa和微彎曲線ab，該段范圍內，試件變形是彈性的，卸載后變形可完全恢復。Oa段：應力與應變成正比。直線oa為線彈性區(qū)比例極限彈性極限應力與應變之比稱材料的彈性模量（楊氏模量）E，幾何意義為應力--應變曲線上直線段的斜率。泊松比的概念？c屈服階段bc屈服極限s為下屈服極限上屈服極限下屈服極限屈服階段體現(xiàn)了材料的塑性流動特征，原因？屈服極限s反應了什么？金屬材料的塑性流動可通過滑移線看出表面拋光的不銹鋼板在軸向拉伸時的滑移線

強化階段中材料又具有了一定的抵抗變形的能力，雖然其中絕大部分是塑性變形強度極限b強化階段cd強度極限反應了什么？頸縮階段de比例極限p屈服極限s強度極限b其中E、s和b是衡量材料強度的重要指標彈性模量E延伸率:ll1

通過拉伸試驗還可得到衡量材料韌性性能的指標——延伸率和斷面收縮率：

d1d斷面收縮率:塑性材料：延伸率＞5%脆性材料：延伸率＜5%※

卸載定律冷作硬化：常溫下把材料預拉到塑性變形階段，然后卸載，再次加載時，材料的線彈性范圍將增大，使材料比例極限提高，而塑性降低。材料在卸載時應力與應變成直線關系殘余應變（塑性應變）冷作時效：拉伸至強化階段后卸載，過一段時間后再拉，則其線彈性范圍的比例極限還會有所提高冷作硬化現(xiàn)象經過退火后可消除其它材料的拉伸性能

對于在拉伸過程中沒有明顯屈服階段的材料，通常規(guī)定以產生0.2％的塑性應變所對應的應力作為屈服極限，并稱為名義屈服極限，用σ0.2來表示灰口鑄鐵的拉伸實驗

沒有屈服現(xiàn)象和頸縮現(xiàn)象,只能測出其拉伸強度極限切線模量：曲線在任意應變處的斜率，用Et表示割線模量：由原點至曲線上對應于任意應變點連線的斜率，用Es表示顯然切線、割線模量是變量彈性模量割線切線金屬材料壓縮時的力學性能一般金屬材料的壓縮試件為圓柱形狀低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線測不出鑄鐵壓縮時強度限要遠高于其拉伸時的情況宜作受壓構件※非金屬材料常溫靜載下的力學性能

混凝土天然石料

脆性材料，一般只適用于作受壓構件。受拉部分用鋼筋加強巖石的單向壓縮木材

各向異性材料，在工程中廣泛用作柱、斜撐等承壓構件。復合材料1、比強度和比剛度高2、具有可設計性

纖維復合材料的力學性能與纖維的鋪設方向有很大關系，屬于各向異性材料

溫度對材料力學性能的影響

一般來說，金屬材料隨著溫度的降低，強度提高而塑性降低。

固體材料在保持應力不變的情況下，應變隨時間緩慢增長的現(xiàn)象稱為蠕變。

粘彈性材料在總應變不變的條件下,變形恢復力（回彈應力）隨時間逐漸降低的現(xiàn)象稱為應力松弛。蠕變的危害以及材料的蠕變性能、蠕變的測量和蠕變曲線密封連接中的應力松弛綜上所述，衡量材料力學性能的主要指標有：

比例極限(或彈性極限)、屈服極限、強度極限、彈性模量、延伸率、斷面收縮率等。對于塑性材料來說，抵抗拉斷的能力較好，常用的強度指標是屈服極限。而且，一般來說，拉伸和壓縮時的屈服極限相同。對于脆性材料來說，抗拉強度遠低于抗壓強度，強度指標是強度極限，一般用于受壓構件。許用應力安全系數n>1－安全系數

即在工程實踐中，人為規(guī)定的實際工作應力允許達到的最高限度材料強度失效的兩種情況1、塑性材料——塑性屈服——極限應力s2、脆性材料——脆性斷裂——極限應力b工程中，構件安全工作條件u－極限應力許用正應力對于塑性材料對于脆性材料那么如何選取安全系數呢？拉、壓桿件的強度設計

所謂強度設計是指將桿件中的最大應力限制在允許的范圍內，以保證桿件正常工作，且具有一定的安全裕度。對于拉伸與壓縮桿件，也就是桿件中的最大正應力滿足：

這一表達式稱為拉伸與壓縮桿件的強度條件，又稱為強度設計準則

桿件的強度設計與強度條件據強度條件，可進行三種類型的強度計算：校核桿的強度 已知FNmax、A、[σ]，驗算構件是否滿足強度條件

設計截面 已知FNmax、[σ]，根據強度條件，求A確定許可載荷 已知A、[σ]，根據強度條件,求FNmax對軸向拉壓桿件因而，其強度條件可進一步寫為

螺紋內徑d＝15mm的螺栓，緊固時所承受的預緊力為FP＝20kN。若已知螺栓的許用應力σ

＝150MPa，試：校核螺栓的強度是否安全。

例題解：容易求得螺栓所受的軸力即為預緊力：

FN＝FP＝20kN

螺栓在預緊力作用下，橫截面上的正應力已知許用應力σ

＝150MPa螺栓的強度是安全的例題：圖示三角形托架,其桿AB是由兩根等邊角鋼組成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,試選擇等邊角鋼的型號。BACP45°45°解：BACP45°45°例題

如圖吊車中斜拉桿AC由兩根50mm×50mm×5mm的等邊角鋼組成，水平橫梁AB由兩根10號槽鋼組成。材料均為Q235鋼，許用應力σ

＝150MPa。桿和梁的自重忽略不計，當行走小車位于A點時，求：允許的最大起吊重量FW（包括行走小車和電動機的自重）。

解：如圖為簡化后的力學模型FW以節(jié)點A為研究對象受分析

FW

對于AB桿，查得單根10號槽鋼的橫截面面積為12.74cm2，因此桿橫截面上的正應力由強度條件FW由此解出保證AB桿強度安全所能承受的最大起吊重量

將其代入強度設計準則，得到

解出保證AC桿強度安全所能承受的最大起吊重量

對于AC桿FW

為保證整個吊車結構的強度安全，吊車所能起吊的最大重量FW=FW2=57.6kN

拉、壓桿件的變形分析

拉（壓）變形計算縱向線應變與橫向線應變縱向線應變橫向線應變PP

在線彈性范圍內，據虎克定律由于可得EA稱為抗拉（壓）剛度即桿件縱向變形

對于非等截面桿對于此為軸向拉壓桿件軸向變形量的計算通式※桿件縱向變形

橫向變形在線彈性范圍內，單向應力狀態(tài)下

稱為橫向變形系數或泊松(Poisson)比討論2、軸力變化時：1、L的符號為“+”時伸長，為“-”時縮短3、橫截面變化時：CAB階梯狀桿BCA3、變截面桿：緩變桿，錐角較小，如≤10度例題：圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內的應力σ2=－30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長△L。（不考慮應力集中）PP1230.2m0.4m0.2m解:（縮短）PP1230.2m0.4m0.2m例題

變截面直桿，ADE段為銅制，EBC段為鋼制。已知：AB段的橫截面積AAB＝10×102mm2，BC段的橫截面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；銅的彈性模量Ec＝100GPa，鋼的彈性模量Es＝210GPa；試求直桿的總變形量。解：作軸力圖

直桿的總變形量等于各段桿變形量的代數和取B點研究PB例題：簡單托架，BC桿為圓鋼，直徑d=20mm，BD桿為8號槽鋼。[]=160MPa，E=200GPa，P=60KN。試求B點的位移。解:N1FN2FKNPFKNPF75454543N2N1-=x-==x=（“-”表示FN2與圖示方向相反，為壓力）BDC4m3mP分析計算B點的位移假想把B節(jié)點松開受力后B點移到B’BDC3mP4mBPN1FN2FBDC3mP4m水平位移＝?l1=2.15mm鉛垂位移=3.9mm例題：求圖示結構結點A的位移。AEAEA21PL解:取A點研究PA鉛垂位移水平位移（）（）FPFN1N20==，N1FN2FAEAEA21PL例題：求考慮自重影響的等直桿變形。已知P、桿長L、A、E、容重。P解：Pxxx若已知[]求許可桿長。dxdxN(x)N(x)取微段dx研究N(x)xP+AL積分：PN(x)][:Nmaxmaxsgs￡+==AALPAF由例題：圖示變截面桿左右兩端直徑分別為D、d,作用有軸向壓力P，不計桿件自重，材料彈性模量為E，桿長L。試求桿件的變形。DdPP解:取微段dx研究xdx設距左端為x處橫截面的直徑為d’對微段來說（縮短）比較變形法

把超靜定問題轉化為靜定問題解，但必須滿足原結構的變形約束條件。FCBA例題桿上段為銅，下段為鋼桿，上段長l1，截面積A1，彈性模量E1，下段相應為l1，A1和E2。桿兩端固支，求兩段的軸力拉（壓）桿超靜定問題求解3、比較兩次計算的變形量，其值應該滿足變形相容條件，建立方程求解。2、求靜定基僅在原有外力作用下和僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移FCBA1、選取基本靜定結構（靜定基如圖），B端解除多余約束，代之以約束反力RB

解超靜定問題必須找出求解所有未知約束反力所缺少的補充方程。結構變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件－即滿足變形相容條件（變形協(xié)調條件）。關鍵：變形協(xié)調條件注意：力與變形一致幾何變形法例題：圖示結構1、2桿抗拉剛度為E1A1，3桿為E3A3，在F力作用下，求各桿內力解:

畫A點受力圖，平衡分析F未知力個數3個，平衡方程數2個，故為一次超靜定。①A123AxyFA213代入物理關系，建立補充方程②③

畫A點位移圖，列出變形相容條件。要注意所設的變形性質必須和受力分析中設定的力的性質一致。由對稱性知聯(lián)立①、④求解④得例題：圖示桁架，已知3根桿的材料及橫截面完全相同，即EA相等。求各桿的內力及B點的水平位移和鉛垂位移。L321BP解:1、確定靜不定次數1次2、列靜力平衡方程研究B節(jié)點3、物理關系（伸長）（伸長）（縮短）4、變形幾何關系L321BP