第一章、第四節(jié)函數(shù)極限

第四節(jié)函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義二、函數(shù)極限的性質(zhì)三、小結(jié)練習題

從數(shù)列極限到函數(shù)極限的過度

數(shù)列是整標函數(shù)

當自變量n

取正整數(shù)無限增大時，函數(shù)f(n)無限接近常數(shù)

a

對于一般函數(shù)

y=f(x)，自變量的變化過程除上述情形外，還有以下幾種變化過程：1.取正實數(shù)而無限增大。記為稱為x

趨于正無窮大。一、函數(shù)極限的定義

對于一般函數(shù)

y=f(x)，自變量的變化過程除上述情形外，還有以下幾種變化過程：1.取正實數(shù)而無限增大。記為稱為x

趨于正無窮大。2.取負實數(shù)而無限減小。記為稱為x

趨于負無窮大。3.取實數(shù)而同時趨于正、負無窮大(|x|無限增大）記為稱為x

趨于無窮大。4.取實數(shù)而趨于某個有限值記為播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.

只要在數(shù)列極限定義中，將n

換為|x|，N

換為

X即為上述定義1。2、另兩種情形:3、幾何解釋:例1證例2證注意：不存在。2、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問題:如何用精確的數(shù)學語言描述上述極限稱在自變量的這一變化過程中函數(shù)f(x)

以A為極限2、幾何解釋:注意：一般說來，越小，也越小。例1證函數(shù)在點x=1處沒有定義.例2證？在上述極限過程中，要保證x

0。不能保證x

0問題：例2證問題：如何保證x

0?（1）用定義證明的關(guān)鍵步驟將|f(x)–A|適當化簡，變形或放大，使之出現(xiàn)下面的形式：再從中解出然后?。?）有時為了同時保證幾個不等式成立，常常要在幾個常數(shù)中取最小者。例3證？的選取僅與有關(guān)，與自變量x

無關(guān)。問題：例3證又x

2，不妨設(shè)1<x<3，請思考：為什么能這樣？為什么要這樣？則有1<x<3|x–2|<1請思考：為什么能這樣？為什么要這樣？3.單側(cè)極限:例左極限:考慮此時必須滿足定義：右極限:考慮此時必須滿足定義：左右極限存在但不相等,例6證二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性

簡單地說，若函數(shù)f(x)在x

的某個變化過程中有極限，則在該變化過程中，函數(shù)有界。定理(保號性)推論3.函數(shù)極限的局部保號性4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)第四節(jié)作業(yè)習題1-4:2(1,3),3,4

只要在數(shù)列極限定義中，將n

換為|x|，N

換為

X即為上述定義1。內(nèi)容回顧:自變量無窮大時函數(shù)的極限2、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、小結(jié)極限的統(tǒng)一定義(見下表)過程時