一元二次方程講義絕對(duì)經(jīng)典實(shí)用

學(xué)習(xí)資料 歡迎下載一元二次方程基礎(chǔ)知識(shí)1、一元二次方程方程中只含有一個(gè)未知數(shù)，而且未知數(shù)的最高次數(shù)是2ax2bxc0（a0）ax2，bx，c分別叫做、b分別是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)。如：2x24x10滿足一般形式ax2bxc0（a0），2x24x，1分別是二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，2，－4分別是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)。注：如果方程中含有字母系數(shù)在討論是否是一元二次方程時(shí)，則需要討論字母的取值范圍。2.一元二次方程求根方法m直接開平方法m形如x2

m（m0）的方程都可以用開平方的方法寫成x

，求出它的解，這種解法稱為直接開平方法。配方法通過配方將原方程轉(zhuǎn)化為(xn)2

m（m0）的方程，再用直接開平方法求解。配方：組成完全平方式的變形過程叫做配方。配方應(yīng)注意：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，原式兩邊要加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，若二次項(xiàng)系數(shù)不為只需方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，使之成為1。公式法求根公式：方程ax2

bxc0（a0）的求根公式步驟：

b b24acx （b24ac0）2aax

bxc0（a0），確定、bc。計(jì)算式子b2

4ac的值。當(dāng)b2

4ac0時(shí)，把a(bǔ)b和b2

4ac的值代入求根公式計(jì)算，就可以求出方程的解。因式分解法方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判別式的定義

b(x

b24ac運(yùn)用配方法解一元二次方程過程中得到

2a 4a2 b24ac0學(xué)習(xí)資料 歡迎下載平方得：

xbb2b24ac4a2也就是說，一元二次方程ax2bxc0(a0)只有當(dāng)系數(shù)a、b、c滿足條件b24ac0時(shí)才有實(shí)數(shù)根．這里b24ac叫做一元二次方程根的判別式．4、判別式與根的關(guān)系在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由其系數(shù)a、b、c確定，它的根的情況（是否有實(shí)數(shù)根）由b24ac確定．設(shè)一元二次方程為ax2bxc0(a0)，其根的判別式為：b24ac則0方程ax2bxc0(a0)x

x1,2

bb b24acb②0方程ax2bxc0(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1 20方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根．

2a．b24ac若abb24ac若為完全平方式，同時(shí)b說明：

是2a的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根．000．⑵在解一元二次方程時(shí)，一般情況下，首先要運(yùn)用根的判別式b24ac判定方程的根的情況（有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，無實(shí)數(shù)根．當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（重根，不能說方程只有一個(gè)根．①當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)．5、一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：⑴運(yùn)用判別式，判定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；⑵利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；⑶通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；（4）借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題，最值問題．6、韋達(dá)定理xx

b xxc1如果ax2bxc0(a0)的兩根是x1

，x2，則1 2

a，12

a（隱含的條件：0）1特別地，當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，設(shè)x1

，

x2pxq0的兩個(gè)根，則xx1 2

p xx，1 2，

q．7、韋達(dá)定理的逆定理x

為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）x2(x

x)xx

0．1 2 1 2 12學(xué)習(xí)資料 歡迎下載bxx

c，xx，11x11

x2滿足1 2

a，1

ax

x2必定是

ax2

bxc0(a0)的兩個(gè)根．8、韋達(dá)定理與根的符號(hào)關(guān)系在b24ac0的條件下，我們有如下結(jié)論：c b ba0 a≥0 a0⑴當(dāng) 時(shí)方程的兩根必一正一負(fù)若 則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值若 ，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．c b b0 0 0⑵當(dāng)a 時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若a ，則此方程的兩根均為正根；若a ，則此方程的兩根均為負(fù)根．更 一 般 的 結(jié) 論 是 ：xxax2bxc0(a0)的兩根（x

，且m為實(shí)數(shù)，當(dāng)0時(shí)，一般地：1 2 1 2①(x①1②(x

m)(x2m)(x

m)0x1m)0且(x

m x，2，m)(x

mm)0x

m，xm1 2 1 2 1 2③(xm)(xm0且(xm(xm0xmxm1 2 1 2 1 2特殊地：當(dāng)m0時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為ax2bxc0(a0)有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．其他有用結(jié)論：⑴若有理系數(shù)一元二次方程有一根a

b，則必有一根ab

b（ab為有理數(shù)）．b⑵若ac0，則方程ax2bxc0(a0)必有實(shí)數(shù)根．⑶若ac0，方程ax2bxc0(a0)不一定有實(shí)數(shù)根．⑷若abc0，則ax2bxc0(a0)x1．⑸若abc0，則ax2bxc0(a0)必有一根x1．9、韋達(dá)定理的應(yīng)用⑴已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；⑵已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；⑶已知方程的兩根，求作方程；⑷結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；置陷阱10、整數(shù)根問題對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)的實(shí)根情況，可以用判別式b24ac來判別，但是對(duì)于一題具體分析求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)．方程有整數(shù)根的條件：如果一元二次方程ax2bxc0(a0)有整數(shù)根，那么必然同時(shí)滿足以下條件：⑴b24ac為完全平方數(shù)；學(xué)習(xí)資料 歡迎下載b24acb24ac

2ak或b

2ak，其中k為整數(shù)．b2b24ac另外，如果只滿足判別式為完全平方數(shù)，則只能保證方程有有理根(其中a、b、c均為有理數(shù))11、一元二次方程的應(yīng)用求代數(shù)式的值；步驟：去分母，化分式方程為整式方程（一元二次方程。解一元二次方程。檢驗(yàn)列方程解應(yīng)用題步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答板塊一板塊一一元二次方程的定義●夯實(shí)基礎(chǔ)例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）2y

y72（2）2

12x2x0（3）(x5)(x0（4）(5y1)(2yy25（5）(m2

1)x2

nmx0（x是未知數(shù)）例2 已知關(guān)于x的方程(a2)x2axx21是一元二次方程，求a的取值范圍．學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例3 若一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常數(shù)項(xiàng)為零，則m的值．●能力提升例4 關(guān)于x的方程k2x2(2k1)x1是什么方程？它的各項(xiàng)系數(shù)分別是什么？5已知方程2xaxbx240x的一元二次方程，求a、b的值．例例6若方程（m-1）x2+x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m為任何實(shí)數(shù)培優(yōu)訓(xùn)練例7 m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程(m 2)(m3)x4m是一元二次方程．例8已知方程2xabxabab0是關(guān)于x的一元二次方程，求a、b的值．例9關(guān)于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，則m的值為解：∵該方程為一元二次方程，，解 得 當(dāng)m=-3時(shí)m+3=0，則方程的二次項(xiàng)系數(shù)是0，不符合題意；所以m=3．學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例例10（2000?蘭州）關(guān)于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的條件是（）A．m≠-1B．m≠2C．m≠-1或m≠2D．m≠-1m≠2●課后練習(xí)1、m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程(m 2)(m3)x4m是一元二次方程．2x的方程(a2)x2axx21是一元二次方程，求a的取值范圍．3、已知關(guān)于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程，求a的取值范圍．4、若x2ab3xab10是關(guān)于x的一元二次方程，求a、b的值．5、若一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常數(shù)項(xiàng)為零，則m的值 板塊二板塊二一元二次方程的解與解法●夯實(shí)基礎(chǔ)例例（2012鄂爾多斯）若a是方程2-x-3=0的一個(gè)解，則6-3a的值為（）A．3 B．-3 C．9 D．-9解 ： 若 a 是 方 程 2x-x-3=0 的 一 個(gè) 根2a-a-3=0變 形 得 ， 2-a=3故6-3a=33=．故選．2（2011?哈爾濱）x=2xx2-mx+8=0m的值是（），，學(xué)習(xí)資料 歡迎下載AA．6B．5C．2D．-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，解得m=6．故選A例3用直接開平方法解下列方程（1）3x290 （2）(x2)

30 （3）2(3x

18(4)

2(3x5

8 (5)x26x9(52x)2 (6) 3(x例4先配方，再開平方解下列方程（1）x2

4x40 （2）2y2y10 （3）2x2

37x1 (4) x2 x 0 (5)3y212 3y (6) x22x501 6 3例5用公式法解下列方程27（1）x227

20 （2）2x12x2

(x

3x學(xué)習(xí)資料 歡迎下載(4)(x5)(x7)1

(5)x(6x1)4x32(2x1)2

(6)x2x10例6用因式分解法解下列方程（1）2x

3x30 （2）2x

45x4500 （3）t22 2t20(4)(2 3)x22( 31)x60． (5)x23a24ax2a1 (6)9(x2)216(x0例例7（2011烏魯木齊）關(guān)于x的一元二次方（a-1）x2+x+|a|-1=0的一個(gè)根是0，則實(shí)數(shù)a的值（ A）A．-1 B．0 C．1 D．-11例8關(guān)于x（a-）a-1=0的一個(gè)根是，則a值為（C）A．1 B．0 C．-1 D．±1例9方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0（a≠c）有相同的根α，則α= 學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例10已知a、β是方程x2-2x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)則a3+8β+6的值（D ）A．-1 B．2 C．22 D．30+2mx-1=0例11關(guān)于x的一元二次方（m-2）xm^-2 的根是 +2mx-1=012mx23m22)x6m0學(xué)習(xí)資料 歡迎下載13解方程mx23m22)x6m0●培優(yōu)訓(xùn)練例14（新思維）閱讀下面的例題：解方程：x2|x|20.（）當(dāng)x0時(shí)，原方程化為x2x20，x1

2,x2

1（不合題意，舍去，（2）x0x2x20．x1

1,（不合題意，舍去，x2

2．∴原方程的根是x1

2,x2

2請參照x2x330，則方程的根．例15解方程：x22x24016（新思維）x、xx2x40的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式x35x

210的值．1 2 1 2學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例17（新思維）先請閱讀材料： 2 2 2為解方程

x21 5x2140，我們可以將x21視為一個(gè)整體，然后設(shè)x 1y，則x2

y2，y25y40y515

1，y2

4．2y1x211x2

；當(dāng)y4時(shí)，x214，得x ；x1

，x 222

，x232

，x ．25425在解方程的過程中，我們將x21用yy請你根據(jù)以上的閱讀，解下列方程：（1）x4x260；（2）(12

x(12

x10．18xx2kx20x13的解相同．x1k的值；x2kx20的另一個(gè)解．19（新思維）x、y是實(shí)數(shù)，且mx

4xy6y

4x4ym的最小值．學(xué)習(xí)資料 歡迎下載x2yz6例新思維已知yz為實(shí)數(shù)且滿足xy2x3則x2y2z2的最小值．課后練習(xí)一、填空：一元二次方程的一般形式。3x2

6的一般形式是 ，a= ，b= ，c= 。關(guān)于x的方程(m1)x22mx30是一元二次方程，則m的取值范圍。關(guān)于x的方程(m2

4)x2

(m2)xm0是一元二次方程時(shí)的取值范圍是二、下列方程中，是一元二次方程的為（）A．x2+3x=0二、下列方程中，是一元二次方程的為（）A．x2+3x=0B．2x+y=3C1 1 1. 0 2.x24 5

0 3.x)214. x2

60 5. x2

x72 6. 3x2

24x學(xué)習(xí)資料 歡迎下載7. x22 2x2 8. x2

7049.3(2x

0 10. (x25x30x

|x|10;

(2)(x2

2x)2

(x2

2x)20;x(m1)x22m1)xm30．xa2(x2x1)a(x21)(a21)x學(xué)習(xí)資料 歡迎下載（新思維BCaACbABc且滿足a4定△ABC的形狀

b4

1c42

a2c2b2c2試判七、（新思維）、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式5x24y28xy2x4的最小值．板塊二板塊二一元二次方程根的判別式●夯實(shí)基礎(chǔ)例1不解方程，判斷下列方程是否有實(shí)根，若有，指出相等還是不等。（1）8y(2y25（2）2x26x1（3）(a

x

2ax(a

4)0（x是未知數(shù)）學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例2如果關(guān)于x的一元二次方程kx26x90有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（ ）A．k1 B．k0 C．kk0 D．k1例3已知a，b，c為正數(shù)，若二次方程ax2bxc0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程a2x2b2xc20的根的情況是（ ）A．有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)C．有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根 D．不一定有實(shí)數(shù)根4若關(guān)于xkx26x90有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。5求證：當(dāng)a和c的符號(hào)相反時(shí)，一元二次方程ax2bxc0一定有兩個(gè)不等實(shí)根。6已知a、b、c是ABC的三邊的長，且方程x22(bc)xab)(ca)0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷這個(gè)三角形的形狀．●能力提高例7關(guān)于x的方程a6x28x60有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是 ．8mkx24mx3m22m4k0的根為有理數(shù)？學(xué)習(xí)資料 歡迎下載9k為何值時(shí)，方程(k1)x22k3)xk3)0有實(shí)數(shù)根．例10已知關(guān)于x的方程(m2)x22(m1)xm10在下列情況下，分別求m的非負(fù)整數(shù)值。方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根新思維）x2

(4k2)x4k2

0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．則k的最大整數(shù)值為 ．例12（新思維）如果一直角三角形的三邊長分別為 a、b、c，∠B=90°，那么，關(guān)于x的方程a(x2)2cxb(x2)0的根的情況是（ ．A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定●培優(yōu)訓(xùn)練13（新思維）xx2

(k2)x2k0k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；ABCa=1、c的周長．學(xué)習(xí)資料 歡迎下載14（新思維）y

2和ykx(k0)x若這兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)1，求a和k的值；k取何值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)？例1（新思維）若0是一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，則判別式b24ac與平方式M(2ax0

b)2的大小關(guān)系是（．AM BM CM D．不能確定x代解 ： 把 入 方 程 a+bx+c=0 中 得 ax+bx=-c ，x代0 0 0∵ （ 2ax+b ） =4ax+4abx+b2 ，0 0 0∴ （ 2ax+b ） =4a （ ax

） +b=-4ac+=△ ，0 0 0∴M=△ ．故選B16（新思維）x的方程|x2x

a僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ．A．a(chǎn)0 B．a(chǎn)4 C．2a4 D．0a4●課后練習(xí)1、一元二次方程x22x10的根的情況為（ ）Ａ．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 Ｂ．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)Ｃ．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 Ｄ．沒有實(shí)數(shù)根2、若關(guān)于z的一元二次方程x2.2xm0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）A．m<l B．m>-1 C．m>l D．m<-13、關(guān)于x的方程x2pxq0的兩根同為負(fù)數(shù)，則（ ）A．p>0且q>0 B．p>0且q<0C．p<0且q>0 D．p<0且q<04、不解方程，判斷下列各方程根的情況（1）. x210 （2）. 4x24x10 （3）. 2x27x30學(xué)習(xí)資料 歡迎下載5、k為何值時(shí)，方程(k1)x

2(k7)x2k20的兩個(gè)根相等？6、kx

(2k5)xk

0有兩個(gè)不相等的實(shí)根？7、已知a0bacx的方程ax2bxc0的根的情況，并給出必要的說明．m24m48xx22(m1)xm25m24m49x的方程(m2m)x22mx10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．⑴求m的取值范圍；2a21⑵若m為整數(shù)，且m3，a是上述方程的一個(gè)根，求代數(shù)式2a2 3的值．410ABCabca3bcx的方程x2mx21m0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求ABC2學(xué)習(xí)資料 歡迎下載x的方程xaxbxbxcxcxa0（abc均為正數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．證明：以abc為長的線段能夠組成一個(gè)三角形，并指出三角形的特征．12、k為何值時(shí)，方程2x

2k2

(4k1)x沒有實(shí)根？板塊二板塊二一元二次方程的應(yīng)用例例1 解方程例2 一個(gè)車間加工300個(gè)零件，加工完80個(gè)以后，改進(jìn)了操作方法，每天能多加15個(gè)，一共用了天完成了任務(wù)，求改進(jìn)操作方法后每天加工的零件的個(gè)數(shù)。例3 某商場運(yùn)進(jìn)120臺(tái)空調(diào)準(zhǔn)備銷售，由于開展了促銷活動(dòng)，每天比原計(jì)劃多售出4臺(tái)，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)，原計(jì)劃每天銷售多少臺(tái)？學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例4 甲、乙兩隊(duì)學(xué)生綠化校園，如果兩隊(duì)合作天可以完成，如果單獨(dú)工作，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用5天問兩隊(duì)單獨(dú)工作各需多少天完成？例5如圖，在長為10cm8cm影部分80％，求所截去小正方形的邊長．6200515002007216020052007利的年增長率相同．2006?若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2008?例7某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2∶1．在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m學(xué)習(xí)資料 歡迎下載●能力提高例8（新思維）如圖，在寬為20，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分，余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為5402，求道路的寬（2例9（新思維）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？例10（新思維）如圖，某農(nóng)戶打算建造一個(gè)花圃，種植兩種不同的花卉供應(yīng)城鎮(zhèn)市場，這時(shí)需要用長為24米的籬笆，靠著一面墻（a是10米的ABxS的函數(shù)關(guān)系式；45m2的長是多少米？AB的長；如果不能，請說明理由．學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例11某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀，如果游客過多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響，關(guān)系．在這樣的情況下，如果確保每周4萬元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價(jià)值應(yīng)是多少元？學(xué)習(xí)資料 歡迎下載●培優(yōu)訓(xùn)練二、列方程解應(yīng)用題從一塊長為80cm，寬為60cm長方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個(gè)寬度？7000個(gè)，三月份生產(chǎn)零件8470百分率是多少？板塊二板塊二一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系●夯實(shí)基礎(chǔ)31x24xc0的一個(gè)根為23

，則方程的另一根，c= ．2x23x50

、xx2

x2 1 2 1 2學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例3如果x、x1 2

是一元二次方程ax2bxc0a的兩根，那么，x+x1 2

=-a

，xx12

=c．這amn2x2-6x+3=0的兩根。填空：m+n= mn= .1

1+n的值．4（2011?廈門）已知關(guān)于x的方程x22x2n0．求n若n＜5，且方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求n例5（2011?孝感）已知關(guān)于x的方程x22（k1）xk20有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x，x ．1 2求k；（2）x1x2x1x21，k學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例6（2011?十堰）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2x10，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2解：設(shè)所求方程的根為y，y=2x所以xy．2把x

代入已知方，（） 10y y 2 y y 2 化簡，得y22y40故所求方程為y22y40．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式：已知方程x2x20，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為己知方程根的相反數(shù)，則所求程為： 。己知關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0它的根分別是己知方程根的倒數(shù)．7（2011?南充）關(guān)于的一元二次方程x22xk10的實(shí)數(shù)解是x和x．1 2求k如果xx1 2

x1

＜1kk．2學(xué)習(xí)資料 歡迎下載8（2010?淄博）已知關(guān)于x的方程x22（k3）xk24k10．若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k；1，k若以方程x22（k3）xk24k10ymx的圖象上，求滿足條件的m的最小值．●能力提升例1已知：關(guān)于x的一元二次方程k2（2－3)x+－3=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根k<．k的式子表示方程的兩實(shí)數(shù)根；b設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根分別是x（其中x x若一次函數(shù)y=(3k－1)x+b與反比例函數(shù)y=1 2 1 2 x1 的圖像都經(jīng)過點(diǎn)xkx1 例2（昌平）已知：關(guān)于x的一元二次方程kx22x2k0．若原方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；設(shè)原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為xx．1 2①當(dāng)kxx1 2

均為整數(shù)；y②利用圖象，估算關(guān)于k的方程xx1 2

k10的解． 4321-4-3-2-1-2-3-4

1234K學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例3（順義）已知：關(guān)于x的一元二次方程x2(2m1)xm2m20．求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x

x

1m2，求m的值．1 2 1 2

m1例4海淀09一模:關(guān)于x的一元一次方程k=+2①的根為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù)=a2bkc（c≠0）的圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.k的值；(kc)2b2ab求代數(shù)式 的值；akc:xax2-bx+c=0.5xx22axb20a0,b0.方程有實(shí)數(shù)根a，b之間的大小關(guān)系；（2）

，且2xx31 23

2，求a，b的值；解：(1)xx22axb20∴Δ=(2a)2

4b

,有a22（a+（a-）0.∵a0,b0,∴a+b＞0,a-b≥0.∴ab 2分3（2）∵a∶b=2∶ ，3∴設(shè)a2k,b .學(xué)習(xí)資料 歡迎下載xx24kx3k20得xk.xk,x1 2

時(shí)，由2xx1 2

2k2.當(dāng)x3k,x1 2

=-k時(shí)，由2xx1 2

2得k2（不合題意，舍去）.53∴a4,b3

.…………5分●培優(yōu)訓(xùn)練1設(shè)關(guān)于x的二次方程(k26k8)x22k26k4)xk2

4的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值。例2xa2x2(3a28a)x＋2a213a＋15=0(其中aa例3mxmx2(m1)x＋1＝0m例4xa2+2(a3)x+(a2)=0aa學(xué)習(xí)資料 歡迎下載例5xx＋(a6)x＋a=0a例6rx+(r+1)x＋(r1)=0例7、已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；m為何整數(shù)時(shí)，原方程的根也是整數(shù)．解：(1證明：（m3)24(m1)=m26m94m4=m22m5=(m1)24．∵(m1)2≥0，∴(m1)24＞0．∴無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)2分m3 (m1)24xm3 (m1)24得x 3分2要使原方程的根是整數(shù)，必須使得(m1)24是完全平方數(shù).設(shè)(m1)24a2，則(am1)(am1)4.∵am1和am1的奇偶性相同，學(xué)習(xí)資料 歡迎下載am12, am12,可得 或am12. am12.a2, a2,解得 或 5分m1. m1.m3 (m1)2m3 (m1)242x2,x1 2

0符合題意 6分∴當(dāng)m=－1時(shí)，原方程的根是整數(shù) 7分8x的方程(k1)x22kxk30．k的取值范圍；yy2(a4kya10（a為正整數(shù)．（）4k24(k1)k3)=4k24k28k1212 1分∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k10, k10,0. 即8k120.3∴k的取值范圍是k 且k1． 3分32（2）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△=12=0．3∴k

． 4分2yy2(a6)ya10．∴'(a6)24(a1)a212a364a4a216a32(a8)232．a(chǎn)為正整數(shù)，當(dāng)(a8)232設(shè)(a8)232m2（其中m為整數(shù)，32pq（p、q均為整數(shù)，(a8)2m232．即(a8m)(a8m)32．a(chǎn)8mp, pq16不妨設(shè) 兩式相加，得a ．a(chǎn)8m2(a8m與(a8m的奇偶性相同，∴32可分解為21648(2)(16)(4)(8)，pq18或12或18或12．a(chǎn)17或14或1（不合題意，舍去）或2．a(chǎn)17y

學(xué)習(xí)資料 歡迎下載117

2，

9．……5分a14y

282

，即y1

13，y2

25．……6分a2y

42

3，

1． 7分2 1 2例9（011西城二模）閱讀下列材料：若關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0a0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x，x，則xx

b，xxc．1 2 1

a 1 2 a解決下列問題：已知：a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，且a＞b＞c，關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一根為2．（1）填空：4abc 0，a ，c （填“＞“＜”或“＝）ax2b