概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)吳贛昌主編課后習(xí)題的答案

...wd......wd......wd...習(xí)題1試說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)．習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面〞，“兩次出現(xiàn)同一面〞，“至少有一次出現(xiàn)正面〞，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn).1.2隨機(jī)事件的概率1.3古典概型與幾何概型1.4條件概率1.5事件的獨(dú)立性復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題3.證明以下等式：習(xí)題5.習(xí)題6.習(xí)題7習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題11習(xí)題12習(xí)題13習(xí)題14習(xí)題15習(xí)題16習(xí)題17習(xí)題18習(xí)題19習(xí)題20習(xí)題21習(xí)題22習(xí)題23習(xí)題24習(xí)題25習(xí)題26第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么解答：①隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).②隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.③隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類.解答：①假設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來(lái)，那么稱X為離散型隨機(jī)變量；否那么稱為非離散型隨機(jī)變量.②假設(shè)X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，那么稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.習(xí)題3盒中裝有大小一樣的球10個(gè)，編號(hào)為0,1,2,?,9,

從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5〞，“等于5〞，“大于5〞的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果“小于5〞，“等于5〞，“大于5〞，那么樣本空間S={ω1,ω2,ω3},

定義隨機(jī)變量X如下：

X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3那么X取每個(gè)值的概率為

P{X=0}=P{取出球的號(hào)碼小于5}=5/10,

P{X=1}=P{取出球的號(hào)碼等于5}=1/10,

P{X=2}=P{取出球的號(hào)碼大于5}=4/10.2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},

求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},

得

λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.習(xí)題2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P{12<X<52;

(2)P{1≤X≤3};

(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.習(xí)題3隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2四個(gè)值，相應(yīng)概率依次為12c,34c,58c,716c,

試確定常數(shù)c,

并計(jì)算P{X<1∣X≠0}.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1,

即3716c=1,解得

c=3716=2.3125.由條件概率知

P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}

=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.習(xí)題4一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.

在袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.解答：隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110,

P{X=4}=C32?1C53=310,

P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習(xí)題5某加油站替出租車公司代營(yíng)出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元.因代營(yíng)業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.解答：因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：

P{3X>60},

即P{X>20},

P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是說(shuō)，加油站因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為0.6.習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,

當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)展調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布；

(2)P{X≥5};(3)在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,?;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)設(shè)以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于m件，那么m應(yīng)滿足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4.由于

P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化為1-0.9m=0.4,

解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于5.習(xí)題7設(shè)某運(yùn)發(fā)動(dòng)投籃命中的概率為0.6,

求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布.解答：此運(yùn)發(fā)動(dòng)一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為X,

它可能的值只有兩個(gè)，即0和1.X=0表示未投中，其概率為

p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率為

p2=P{X=1}=0.6.那么隨機(jī)變量的分布律為

X

0

1

P

0.4

0.6

習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.解答：設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，那么X的所有可能取值為0,1,2,3.

對(duì)應(yīng)概率分布為P{X=0}=C73C103=35120,

P{X=1}=C73C31CP{X=2}=C71C32C103=21120,

P{X=3}=C33CX的分布律為

X

0123

P

3512036120xx1201120習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨(dú)立，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全一樣，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,?,k,?.設(shè)第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),

那么隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=310×310×?×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,?.習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量X～b(2,p),Y～b(3,p),

假設(shè)P{X≥1}=59,

求P{Y≥1}.解答：因?yàn)閄～b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因?yàn)閅～b(3,p),

所以

P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.習(xí)題11紡織廠女工照顧800個(gè)紡綻，每一紡錠在某一段時(shí)間τ內(nèi)斷頭的概率為0.005,

在τ這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),

n=800,p=0.005,np=4,應(yīng)用泊松定理，所求概率為：

P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)

≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.習(xí)題12設(shè)書(shū)籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書(shū)上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)一樣，求任意檢驗(yàn)4頁(yè)，每頁(yè)上都沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},

即

λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,

是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，那么X是___________型的隨機(jī)變量.解答：離散.由于F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題2設(shè)F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1

問(wèn)F(x)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù).解答：首先，因?yàn)?≤F(x)≤1,?x∈(-∞,+∞).其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即

F(0+0)=F(0)=0,

F(1+0)=F(1)=1,且

F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).習(xí)題3離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,試寫出X的分布函數(shù)F(x)，并畫(huà)出圖形.解答：由題意知X的分布律為：X

135

Pk

0.30.50.2所以其分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的圖形見(jiàn)圖.習(xí)題4設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,試求：(1)X的概率分布；

(2)P{X<2∣X≠1}.解答：(1)

X-113

pk

0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.習(xí)題5設(shè)X的分布函數(shù)為

F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),試求：(1)系數(shù)A與B;

(2)X落在(-1,1]內(nèi)的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,

可知

{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0?A=12,B=1π,于是

F(x)=12+1πarctanx,

-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)

=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]

=12+1π?π4-12-1π(-π4)=12.習(xí)題7在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：

F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a

2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),那么Y=ˉ～N(0,1).解答：應(yīng)填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ～N(0,1),

所以Y=3+X2～N(0,1).習(xí)題2X～f(x)={2x,0<x<10,其它,

求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.當(dāng)X≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;當(dāng)X≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故

F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1習(xí)題3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,試求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1};

(3)概率密度函數(shù)F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,

∴A=1;又

\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,

∴B=-1.(2)

P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.習(xí)題4服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)=Ae-∣x∣,

求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，∫-∞+∞f(x)dx=1,

即

∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx

=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或

∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,

所以2A=1,

即A=1/2.從而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,

又因?yàn)镕(x)=∫-∞xf(t)dt,

所以當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt

=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,從而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.習(xí)題5某型號(hào)電子管，其壽命(以小時(shí)計(jì))為一隨機(jī)變量，概率密度

f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一電子管的使用壽命為X,

那么三個(gè)電子管使用150小時(shí)都不需要更換的概率.解答：設(shè)電子管的使用壽命為X,

那么電子管使用150小時(shí)以上的概率為

P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx

=-100x∣150+∞=100150=23,從而三個(gè)電子管在使用150小時(shí)以上不需要更換的概率為

p=(2/3)3=8/27.習(xí)題6設(shè)一個(gè)汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的，試計(jì)算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車時(shí)間，那么X服從[0,5]上的均勻分布.設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的人數(shù).由于每人到達(dá)時(shí)間是相互獨(dú)立的.這是10重伯努力概型.

Y服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)

n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以

P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.習(xí)題7設(shè)X～N(3,22).(1)確定C,

使得P{X>c}=P{X≤c};(2)設(shè)d滿足P{X>d}≥0.9,

問(wèn)d至多為多少?解答：因?yàn)閄～N(3,22),

所以X-32=Z～N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},

必有1-P{X≤c}=P{X≤c},

即

P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12,

所以c-32=0,

故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,

即

P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,

所以d≤0.436.習(xí)題8設(shè)測(cè)量誤差X～N(0,102),

先進(jìn)展100次獨(dú)立測(cè)量，求誤差的絕對(duì)值超過(guò)19.6的次數(shù)不小于3的概率.解答：先求任意誤差的絕對(duì)值超過(guò)19.6的概率p,

p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}

=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]

=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.設(shè)Y為100次測(cè)量中誤差絕對(duì)值超過(guò)19.6的次數(shù)，那么Y～b(100,0.05).因?yàn)閚很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,

所以

P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.習(xí)題9某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng)，為此需對(duì)生產(chǎn)定額作出規(guī)定.根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng)，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，那么X～N(4000,3600).設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)，依題意得P{X≥x}=0.1,

即

1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1,

即

1-Φ(x-400060)=0.1,

所以Φ(x-400060)=0.9.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)人分布表得Φ(1.28)=0.8997,

因此

x-400060≈1.28,

即x=4077件，就是說(shuō)，想獲超產(chǎn)獎(jiǎng)的工人，每月必須裝配4077件以上.習(xí)題10某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓，以mm-HG計(jì))服從N(110,122).

在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)確定最小的x,

使P{X>x}≤0.005.解答：血壓X～N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,

P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)

=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,

求x,

即1-P{X≤x}≤0.05,

亦即

Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,

從而x≥129.74.習(xí)題11設(shè)某城市男子身高X～N(170,36),

問(wèn)應(yīng)如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的時(shí)機(jī)小于0.01.解答：X～N(170,36),

那么X-1706～N(0,1).設(shè)公共汽車門的高度為xcm，由題意P{X>x}<0.01,

而

P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99,

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x-1706>2.33,

故x>183.98cm.因此，車門的高度超過(guò)183.98cm時(shí)，男子與車門碰頭的時(shí)機(jī)小于0.01.習(xí)題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走.第一條路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102);

第二條路程較長(zhǎng)，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(50,42),

求：(1)假設(shè)動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間只有60分鐘，應(yīng)走哪一條路線(2)假設(shè)動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間只有45分鐘，應(yīng)走哪一條路線解答：設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達(dá)火車站所用時(shí)間，那么

X～N(40,102),Y～N(50,42).

哪一條路線在開(kāi)車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因?yàn)镻{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分鐘時(shí)應(yīng)走第二條路.(2)因?yàn)镻{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,

P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分鐘應(yīng)走第一條路.

2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1X的概率分布為X-2-10123pi2a1/103aaa2a試求：(1)a;

(2)Y=X2-1的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,∴a=1/10.(2)

Y-1038pi3/101/53/101/5習(xí)題2設(shè)X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,

求Y=sinπ2X的分布律.解答：因?yàn)?/p>

sinxnπ2={1,當(dāng)n=4k-10,當(dāng)n=2k-1,當(dāng)n=4k-3,所以Y=sin(π2X)只有三個(gè)可能值-1,0,1.

容易求得P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示為Y

-101

P

21513815習(xí)題3設(shè)隨機(jī)變量X服從[a,b]上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0),

試求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù).解答：

fY(y)={fX(y-dc)?1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,當(dāng)c>0時(shí)，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,當(dāng)c<0時(shí)，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X服從[0,1]上的均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的概率密度f(wàn)Y(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，y∈(1,e),

其反函數(shù)為x=lny,

可得

f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.習(xí)題5設(shè)X～N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非單調(diào)函數(shù)，故用分布函數(shù)法先求FY(y).

FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(當(dāng)y>1時(shí))

=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12?y-12?122y-1,y>1,

于是

fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),

分布函數(shù)為F(x),

求以下隨機(jī)變量Y的概率密度：(1)Y=1X;

(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}

=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故這時(shí)fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故這時(shí)fY(y)=1y2f(1y);③當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故這時(shí)取fY(0)=0,

綜上所述

fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)這時(shí)fY(y)=f(y)+f(-y);②當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,

這時(shí)fY(y)=0;③當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故這時(shí)取FY(y)=0,

綜上所述

fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.習(xí)題7某物體的溫度T(°F)是一個(gè)隨機(jī)變量,且有T～N(98.6,2),

θ=5(T-32)/9,

試求θ(°F)的概率密度.解答：T～N(98.6,2).

θ=59(T-32),

反函數(shù)為T=59θ+32,

是單調(diào)函數(shù)，所以

fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e-(95y+32-98.6)24?95

=910πe-81100(y-37)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X在任一區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,

其分布函數(shù)為FY(x),

又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=FX-1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)一樣.解答：因X在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,

故FX(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為

FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函數(shù)為

FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}

={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),

因此，Z與X的分布函數(shù)一樣.總習(xí)題解答習(xí)題1從1～20的整數(shù)中取一個(gè)數(shù)，假設(shè)取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,

P(Ak)=ck,

k=1,2,?,20.因?yàn)镻(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，

所以c=1210,

P{取到偶數(shù)}=P{A2∪A4∪?∪A20}

=1210(2+4+?+20)=1121.習(xí)題2假設(shè)每次射擊中靶的概率為0.7,

求射擊10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中幾炮.解答：假設(shè)隨機(jī)變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù).由于各炮是否中靶相互獨(dú)立，所以是一個(gè)10重伯努利概型，X服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)為n=10,p=0.7,

故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}

=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]

≈0.998;(3)因X～b(10,0.7),

而

k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.習(xí)題3在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在1年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交120元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)20000元賠償金，求:(1)保險(xiǎn)公司賠本的概率;(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于100000元,200000元的概率.解答：1)以“年〞為單位來(lái)考慮，在1年的1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為

2500×120元=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,

那么X～b(2500,0.002),

那么保險(xiǎn)公司在這一年中應(yīng)付出200000X(元)，要使保險(xiǎn)公司賠本，那么必須

200000X>300000即X>15(人).因此，P{保險(xiǎn)公司賠本}=P{X>15}

=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k

≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可見(jiàn),在1年里保險(xiǎn)公司賠本的概率是很小的.(2)P{保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元}

=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}

=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元的概率在98%以上.

P{保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元}

=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}

=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習(xí)題4一臺(tái)總機(jī)共有300臺(tái)分機(jī)，總機(jī)擁有13條外線，假設(shè)每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3%,試求每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí)，能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù).解答：設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外線的臺(tái)數(shù)為X,

300臺(tái)分機(jī)可看成300次伯努利試驗(yàn)，一次試驗(yàn)是否要到外線.設(shè)要到外線的事件為A,

那么P(A)=0.03,

顯然X～b(300,0.03),

即

P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,?,300),因n=300很大，p=0.03又很小,

λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率.因總共只有13條外線，要到外線的臺(tái)數(shù)不超過(guò)13，故

P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,

(查泊松分布表)且同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù)

k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.習(xí)題5在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)),

求：(1)某一天從中午12至下午3時(shí)沒(méi)有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,

P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2,

P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.習(xí)題6設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律為X

-101

pi

1/21-2qq2試求：(1)q的值；

(2)X的分布函數(shù).解答：(1)\because離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)P{X=xi}=pi,

滿足∑ipi=1,

且0≤pi≤1,∴

{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2.

從而X的分布律為下表所示：X

-101

pi

1/22-13/2-2(2)由F(x)=P{X≤x}計(jì)算X的分布函數(shù)

F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為

F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2那么A=ˉ,P{∣X∣<π/6}=ˉ.解答：應(yīng)填1;1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有

F(π2+0)=F(π2)?A=1.因F(x)在x=π6處連續(xù)，故P{X=π6=12,

于是有

P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6

=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..習(xí)題8使用了x小時(shí)的電子管，在以后的Δx小時(shí)內(nèi)損壞的概率等于λΔx+o(Δx),

其中λ>0是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時(shí)數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率.解答：因X的可能取值充滿區(qū)間(0,+∞),

故應(yīng)分段求F(x)=P{X≤x}.當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(?)=0;當(dāng)x>0時(shí)，由題設(shè)知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),

而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}

=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),

即

F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,

得F′(x)=λ[1-F(x)].這是關(guān)于F(x)的變量可別離微分方程，別離變量dF(x)1-F(x)=λdx,

積分之得通解為

C[1-F(x)]=e-λx(C為任意常數(shù)).注意到初始條件F(0)=0,

故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,

故X的分布函數(shù)為

F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),從而電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率為

P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.習(xí)題9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為

f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函數(shù)F(x).解答：當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞x0dt=0;當(dāng)0<x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;當(dāng)1<x≤2時(shí)，

F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt

=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,

故

F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X(單位：百萬(wàn)升)是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：

f(x)={19xe-x3,x>00,其它,試求：(1)該城市的水日消費(fèi)量不低于600萬(wàn)升的概率；(2)水日消費(fèi)量介于600萬(wàn)升到900萬(wàn)升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).

顯然，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0,

當(dāng)x≥0時(shí)有

F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,

所以

P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)

=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,

P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.習(xí)題11X～f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),

求常數(shù)c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知∫-∞+∞f(x)dx=1,

而

∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx

=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,

從而c=eλa.

于是

P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx

=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a,

而當(dāng)x<a時(shí)，f(x)=0.習(xí)題12X～f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它,

計(jì)算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根據(jù)條件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}

=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx

=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.習(xí)題13假設(shè)F1(x),F2(x)為分布函數(shù)，(1)判斷F1(x)+F2(x)是不是分布函數(shù)，為什么(2)假設(shè)a1,a2是正常數(shù)，且a1+a2=1.

證明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函數(shù).(2)由F1(x),F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且

F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且

a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.從而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).習(xí)題14設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度?(x)為偶函數(shù)，試證對(duì)任意的a>0,

分布函數(shù)F(x)滿足：(1)F(-a)=1-F(a);

(2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-a?(x)dx=∫a+∞?(-t)dt=∫a+∞?(x)dx

=1-∫-∞a?(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}

F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].習(xí)題15設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率.解答：因?yàn)镵～U(0,5),

所以

fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的充要條件為(4K)2-4?4(K+2)≥0,

即

K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,

解得K≥2(K≤-1舍去),

所以P{方程有實(shí)根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.習(xí)題16某單位招聘155人，按考試成績(jī)錄用，共有526人報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者考試成績(jī)X～N(μ,σ2),90分以上12人，60分以下83人，假設(shè)從高分到低分依次錄取，某人成績(jī)?yōu)?8分，問(wèn)此人是否能被錄取解答：要解決此問(wèn)題首先確定μ,σ2,因?yàn)榭荚嚾藬?shù)很多，可用頻率近似概率.根據(jù)條件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因?yàn)镻{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ,所以有Φ(90-μσ)=0.9772,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得90-μσ=2①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578;又因?yàn)镻{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因?yàn)?.1578<0.5,所以60-μσ<0,故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得μ-60σ≈1.0②聯(lián)立①，②解得σ=10,μ=70,所以，X～N(70,100).某人是否能被錄取，關(guān)鍵看錄取率.錄取率為155526≈0.2947,看某人是否能被錄取，解法有兩種：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因?yàn)?.2119<0.2947(錄取率),所以此人能被錄取.方法2：看錄取分?jǐn)?shù)線.設(shè)錄取者最低分為x0,那么P{X≥x0}=0.2947(錄取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x0-7010≈0.54,解得x0≈75.此人成績(jī)78分高于最低分，所以可以錄取.習(xí)題17假設(shè)某地在任何長(zhǎng)為t(年)的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λ=0.1t的泊松分布，X表示連續(xù)兩次地震之間間隔的時(shí)間(單位：年).(1)證明X服從指數(shù)分布并求出X的分布函數(shù)；(2)求今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率；(3)求今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率.解答：(1)當(dāng)t≥0時(shí)，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;當(dāng)t<0時(shí)，F(xiàn)(t)=0,∴

F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服從指數(shù)分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.習(xí)題18100件產(chǎn)品中，90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，隨機(jī)取2個(gè)安裝在一臺(tái)設(shè)備上，假設(shè)一臺(tái)設(shè)備中有i個(gè)(i=0,1,2)二等品，那么此設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布.(1)試求設(shè)備壽命超過(guò)1的概率；(2)設(shè)備壽命超過(guò)1，求安裝在設(shè)備上的兩個(gè)零件都是一等品的概率.解答：(1)設(shè)X表示設(shè)備壽命.A表示“設(shè)備壽命超過(guò)1”，Bi表示“fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0(λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002,P(B1)=C901C102C1002,P(B2)=C102CP(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1,P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由貝葉斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.習(xí)題19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X

-2-1013pi

1/51/61/51/1511/30試求Y=X2的分布律.解答：

pi

1/51/61/51/1511/30

X

-2-1013X2

41019所以

X2

0149pi

1/57/301/511/30注：隨機(jī)變量的值一樣時(shí)要合并，對(duì)應(yīng)的概率為它們概率之和.習(xí)題20設(shè)隨機(jī)變量X的密度為

fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,

有

y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得

fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.習(xí)題21設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)X(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因?yàn)棣?min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.類似上題可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.習(xí)題22設(shè)隨便機(jī)變量X的密度函數(shù)為

fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求隨機(jī)變量Y=X2+1的分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X的取值范圍為(-1,1),

那么Y的取值范圍為[1,2).

當(dāng)1≤y<2時(shí)，

FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}

=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx

=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,從而Y的分布函數(shù)為

FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度為

fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多維隨機(jī)變量及其分布

3.1二維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題1設(shè)(X,Y)的分布律為X\Y

123

1

1/61/91/18

2

1/3a1/9求a.解答：由分布律性質(zhì)∑i?jPij=1,

可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得

a=2/9.習(xí)題2(1)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：

(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).習(xí)題2(2)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：

(2)P{0<Y≤b};

解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).習(xí)題2(3)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：

(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).習(xí)題3(1)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

(1)P{12<X<32,0<Y<4;

解答：P{12<X<23,0<Y<4

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.習(xí)題3(2)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.習(xí)題3(3)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題4設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，且

P{X≥0,Y≥0}=37,

P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一個(gè)大于等于0}

=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

=47+47-37=57.習(xí)題5(X,Y)只取以下數(shù)值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相應(yīng)概率依次為16,13,112,512,

請(qǐng)列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：(1)因?yàn)樗o的一組概率實(shí)數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,

故所給的一組實(shí)數(shù)必是某二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布.因(X,Y)只取上述四組可能值，故事件：

{X=-1,Y=0},

{X=0,Y=13,

{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均為不可能事件，其概率必為零.因而得到下表：

X\Y

01/31

-1

01/121/3

0

1/600

2

5/1200(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}

=0+16+512=712,同樣可求得

P{Y=13=112,P{Y=1}=13,關(guān)于的Y邊緣分布見(jiàn)下表：Y

01/31

pk

7/121/121/3習(xí)題6設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,0,102,102,0),

其概率密度為

f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正態(tài)分布圖形的對(duì)稱性，知

P{X≤Y}=P{X>Y},

故

P{X≤Y}=12.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)確定常數(shù)k;

(2)求P{X<1,Y<3};

(3)求P{X<1.5};

(4)求P{X+Y≤4}.解答：如以下列圖(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,

確定常數(shù)k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.習(xí)題8X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,試求：(1)常數(shù)c;

(2)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)當(dāng)x≤0或y≤0時(shí)，顯然F(x,y)=0;當(dāng)x≥1,y≥1時(shí)，顯然F(x,y)=1;設(shè)0≤x≤1,0≤y≤1,

有

F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.設(shè)0≤x≤1,y>1,

有

F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，設(shè)x>1,0≤y≤1,

有

F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函數(shù)F(x,y)在平面各區(qū)域的表達(dá)式

F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求邊緣概率密度f(wàn)Y(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy

={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx

={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.習(xí)題10設(shè)(X,Y)在曲線y=x2,y=x所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度.解答：區(qū)域G的面積A=∫01(x-x2)dx=16,

由題設(shè)知(X,Y)的聯(lián)合分布密度為

f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,從而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,

即

fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它

fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為X\Y

01

01

7/157/307/301/15(1)求Y的邊緣分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};(3)判定X與Y是否獨(dú)立解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個(gè)值.

P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7

P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.(2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,

P{y=1∣x=0}=13.(3)P{x=0,y=0}=715,

由(1)知P{y=0}=0.7,

類似可得

P{x=0}=0.7.因?yàn)镻{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0},

所以x與y不獨(dú)立.習(xí)題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y.據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為

X\Y

5152535455

5152535455

0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03(1)求邊緣分布律;(2)求8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：(1)邊緣分布律為X

5152535455pk

0.180.150.350.120.20對(duì)應(yīng)X的值,將每行的概率相加,可得P{X=i}.對(duì)應(yīng)Y的值(最上邊的一行),

將每列的概率相加，可得P{Y=j}.Y

5152535455pk

0.280.280.220.090.13(2)當(dāng)Y=51時(shí),X的條件分布律為

P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,

k=51,52,53,54,55.列表如下:k

5152535455

P{X=k∣Y=51}

6/287/285/285/285/28習(xí)題3(X,Y)的分布律如下表所示，試求：(1)在Y=1的條件下,X的條件分布律;(2)在X=2的條件下,Y的條件分布律.X\Y

012

012

1/41/8001/301/601/8解答：由聯(lián)合分布律得關(guān)于X,Y的兩個(gè)邊緣分布律為X

012

pk

3/81/37/24

Y

012

pk

5/1211/241/8故(1)在Y=1條件下，X的條件分布律為X∣(Y=1)

012

pk

3/118/110(2)在X=2的條件下，Y的條件分布律為Y∣(X=2)

012

pk

4/703/7習(xí)題4

(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)={3x,0<x<1,0<y<x0,其它,

求：(1)邊緣概率密度函數(shù)；(2)條件概率密度函數(shù).解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0<x<10,其它,

fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={32(1-y2),0<y<10,其它.(2)對(duì)?y∈(0,1),

fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y<x<1,0,其它,對(duì)?x∈(0,1),

fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0<y<x0,其它.習(xí)題5X與Y相互獨(dú)立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的聯(lián)合概率分布，P{X+Y=1},

P{X+Y≠0}.X-2-101/2

pi

1/41/31/121/3表(a)

Y-1/213

pi

1/21/41/4表(b)解答：由X與Y相互獨(dú)立知

P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),從而(X,Y)的聯(lián)合概率分布為X\Y-1/213-2-101/2P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}亦即表X\Y

-1/213

-2-101/2

1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12

P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,

P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}

=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12

=1-112-16=34.習(xí)題6某旅客到達(dá)火車站的時(shí)間X均勻分布在早上7:55～8:00,

而火車這段時(shí)間開(kāi)出的時(shí)間Y的密度

fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及時(shí)上火車站的概率.解答：由題意知X的密度函數(shù)為

fX(x)={15,0≤x≤50,其它,因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以X與Y的聯(lián)合密度為：

fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及時(shí)上火車的概率為

P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從N(0,1)分布，且X與Y相互獨(dú)立，求(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).解答：由題意知，隨機(jī)變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是

fX(x)=12πe-x22，

fY(y)=12πe-y22因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是

f(x,y)=12πe-12(x+y)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),問(wèn)：X與∣X∣是否相互獨(dú)立解答：假設(shè)X與∣X∣相互獨(dú)立，那么?a>0,

各有

P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}?{X≤a},

故由上式有

P{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a},?P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0?P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}?(?a>0)但當(dāng)a>0時(shí)，兩者均不成立，出現(xiàn)矛盾，故X與∣X∣不獨(dú)立.習(xí)題9設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X與Y的聯(lián)合概率密度；(2)設(shè)有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,

求它有實(shí)根的概率.解答：(1)由題設(shè)易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互獨(dú)立，故X與Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=fX(x)?fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有實(shí)根}={判別式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如以下列圖得到：

P{a有實(shí)根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy

=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]

=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]

=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,

Φ(0)=0.5,

于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,

所以

P{a有實(shí)根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.

3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機(jī)變量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的聯(lián)合分布.解答：由于U≥V,

可見(jiàn)P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有

P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),

P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，隨機(jī)變量U和V的聯(lián)合概率分布為

V\概率\U1

2311/92/92/9201/92/93001/9習(xí)題2設(shè)(X,Y)的分布律為X\Y

-112

-12

1/101/53/101/51/101/10試求：(1)Z=X+Y;

(2)Z=XY;

(3)Z=X/Y;

(4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類型，本質(zhì)上是利用事件及其概率的運(yùn)算法那么.注意，Z的一樣值的概率要合并.概率

1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y}

(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)(2)X+Y

-20134

pi

1/101/51/21/101/10XY

-20134

pi

1/21/51/101/101/10max{X,Y}

-112

pi1/101/57/10

(3)(4)X/Y

-2-1-1/212

pi

1/51/53/101/51/10習(xí)題3設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均勻分布，且

U={0,X≤Y1,X>Y,

V={0,X≤2Y1,X>2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答：依題(U,V)的概率分布為

P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}

=∫01dx∫x112dy=14,

P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0,

P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}

=∫01dy∫y2y12dx=14,P{U=1,V=1}=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V

01

01

1/401/41/2習(xí)題4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為

f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解:

FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P(?)=0;當(dāng)z≥0時(shí)，

FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy

=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ

=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函數(shù)為

FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度為

fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy

={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0

\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由對(duì)稱性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,

顯然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X與Y不獨(dú)立.(2)用卷積公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.當(dāng){x>0z-x>0

即

{x>0x<z時(shí)，f(x,z-x)≠0,

所以當(dāng)z≤0時(shí)，fZ(z)=0;當(dāng)z>0時(shí)，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度為

fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，假設(shè)X服從(0,1)上的均勻分布，Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意，X,Y的概率密度分布為

fX(x)={1,0<x<10,其它,

fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為

fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy

=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可見(jiàn)：當(dāng)z≤0時(shí)，有fX(z-y)=0,

故fZ(z)=∫0+∞0?e-ydy=0;當(dāng)z>0時(shí)，

fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即

fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔1〕試確定常數(shù)b；〔2〕求邊緣概率密度f(wàn)X(x),fY(y)；〔3〕求函數(shù)U=max{X,Y}的分布函數(shù).解答：〔1〕由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，確定常數(shù)b.

∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，從而

f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔2〕由邊緣概率密度的定義得

fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，

fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它〔3〕因?yàn)閒(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X與Y獨(dú)立，故

FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中

FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以

FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此

FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)L是由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1和L2以串聯(lián)方式聯(lián)接而成，L1和L2的壽命分別為X與Y,

其概率密度分別為

?1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,

?2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,

試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設(shè)Z=min{X,Y},

那么

F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}

=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}

=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]

由于

F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,

F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,

故

F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,從而

?(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，試明：

P{a<mi