高等數(shù)學(xué)-大一-上學(xué)期知識要點說明

...wd......wd......wd...高數(shù)總復(fù)習(xí)(上)一、求極限的方法：1、利用運算法那么與基本初等函數(shù)的極限；①、定理假設(shè),那么(加減運算)(乘法運算)(除法運算)推論1:(為正整數(shù))推論2:②結(jié)論1:結(jié)論2:是基本初等函數(shù)，其定義區(qū)間為D，假設(shè)，那么2、利用等價無窮小代換及無窮小的性質(zhì)；①定義1:假設(shè)或〔〕那么稱是當(dāng)(或)時的無窮小.定義2:是自變量在同一變化過程中的無窮小:假設(shè),那么稱與是等價無窮小,記為.②性質(zhì)1：有限個無窮小的和也是無窮小.性質(zhì)2:有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1:常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2:有限個無窮小的乘積也是無窮小.定理2(等價無窮小替換定理)設(shè),且存在,那么.(因式替換原那么)常用等價無窮小:3、利用夾逼準(zhǔn)那么和單調(diào)有界收斂準(zhǔn)那么；①準(zhǔn)那么I(夾逼準(zhǔn)那么)假設(shè)數(shù)列(n=1,2,…)滿足以下條件:(1);(2),那么數(shù)列的極限存在,且.②準(zhǔn)那么II:單調(diào)有界數(shù)列必有極限.4、利用兩個重要極限。5、利用洛必達(dá)法那么。未定式為類型.①定理(時的型):設(shè)(1);(2)在某內(nèi),及都存在且;二、求導(dǎo)數(shù)和微分：1.定義①導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)：②函數(shù)的微分：2.導(dǎo)數(shù)運算法那么〔須記住P140導(dǎo)數(shù)公式〕函數(shù)和差積商求導(dǎo)法那么：函數(shù)、可導(dǎo)，那么：②反函數(shù)求導(dǎo)法那么：假設(shè)的導(dǎo)數(shù)存在且，那么反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也存在且為③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么(鏈?zhǔn)椒敲?：可導(dǎo)，可導(dǎo)，那么可導(dǎo)，且④隱函數(shù)求導(dǎo)法那么:⑤參數(shù)方程求導(dǎo)法那么:假設(shè)那么.3.微分運算法那么三、求積分：1.概念：原函數(shù)、不定積分。定積分是一個數(shù)，是一個和的極限形式。性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：性質(zhì)4：(去絕對值,分段函數(shù)積分)性質(zhì)5：2.計算公式：P186基本積分表；P203常用積分公式；①第一換元法(湊微分)：②第二換元法：③分部積分法：分部化簡分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式④有理函數(shù)積分：混合法(賦值法+特殊值法)確定系數(shù)⑤牛頓萊布尼茨公式：⑥定積分換元法：〔換元換限，配元(湊微)不換限〕⑦定積分分部積分法：⑧結(jié)論(偶倍奇零)：①假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，那么。②假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么注意:1.利用“偶倍奇零〞簡化定積分的計算；2.定積分幾何意義求一些特殊的積分(如)⑨變限積分求導(dǎo)四、微分和積分的應(yīng)用判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、求其極值、拐點、描繪函數(shù)圖形判斷單調(diào)性：第一步：找使的點和不可導(dǎo)點。第二步：以駐點和不可導(dǎo)點劃分單調(diào)區(qū)間，在每個區(qū)間上討論的正負(fù)，函數(shù)遞增，函數(shù)遞減。判斷凹凸性：第一步：找使的點和不可導(dǎo)點。第二步：以這些點劃分定義區(qū)間，在每個區(qū)間上討論的正負(fù)，，是凹區(qū)間，，是凸區(qū)間?！补拯c：左右兩邊的符號相反〕判斷函數(shù)極值：第一步：找使的點和不可導(dǎo)點。第二步：判斷這些點兩邊的正負(fù)，假設(shè)左正右負(fù)極大值點左負(fù)右正極小值點。2.1定積分的幾何應(yīng)用---求面積，體積和弧長yy=f上(x)y=f下(x)Oxyab所求圖形的面積為：yydyyydydOxycy所求圖形的面積為：旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、xb及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。OxbOxbayy旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線、直線yc、yd及y軸所圍曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體2.3定積分的物理應(yīng)用變力沿直線做功；水(側(cè))壓力；引力思路:建設(shè)坐標(biāo)系，選取積分變量(如x)，在[x,x+dx]上給出微元第六空間解析幾何向量在坐標(biāo)軸上的投影分別為：；在坐標(biāo)軸上的分量分別為：。，2.利用坐標(biāo)作向量的線性運算，，數(shù)量積(數(shù)):向量積(向量)，，且，構(gòu)成右手系，(幾何意義:平行四邊形的面積)3．向量之間的關(guān)系4．平面圖形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。①點法式方程：設(shè)平面過點法向量(其中不全為0),那么平面的方程為②一般方程：[當(dāng)D=0時,Ax+By+Cz=0表示通過原點的平面;當(dāng)A=0時,By+Cz+D=0表示平行于x軸的平面;Ax+Cz+D=0表示平行于y軸的平面;Ax+By+D=0表示平行于z軸的平面Cz+D=0表示平行于xoy面的平面;Ax+D=0表示平行于yoz面的平面；By+D=0表示平行于zox面的平面]設(shè)平面∏1的法向量為，平面∏2的法向量為，那么兩平面夾角的余弦為：。平面外一點到平面的距離：5．空間直線及其方程一般方程：直線可視為兩平面交線，其一般式方程為：方