福建省清流一中2022年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④2.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.3.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.4.定義在上的偶函數(shù),對(duì),,且,有成立,已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.下列不等式正確的是()A. B.C. D.6.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.27.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.8.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.9.若的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.5610.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)11.若復(fù)數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.12.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),,的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為,則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.14.已知向量,,若向量與向量平行,則實(shí)數(shù)___________.15.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.16.近年來(lái),新能源汽車(chē)技術(shù)不斷推陳出新,新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn),在汽車(chē)市場(chǎng)上影響力不斷增大.動(dòng)力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車(chē)的核心技術(shù),它的不斷成熟也是推動(dòng)新能源汽車(chē)發(fā)展的主要?jiǎng)恿?假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車(chē)上,車(chē)載動(dòng)力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車(chē)已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電,那么他的車(chē)能夠充電2500次的概率為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.(12分)在開(kāi)展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中,某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組,其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師,非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師,高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.(1)求的值;(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.20.(12分)已知圓,定點(diǎn),為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(1)求曲線的方程(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),已知點(diǎn),直線分別與直線交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)是否在定直線上,若存在,求出該直線方程;若不是,說(shuō)明理由.21.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的面積.22.(10分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是,直線和直線的極坐標(biāo)方程分別是()和(),其中().(1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點(diǎn)的另外點(diǎn),,求的面積最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯(cuò)②:因?yàn)?,,所以或,因?yàn)?,所以,故②?duì)③:或,故③錯(cuò)④:如圖因?yàn)?,,在?nèi)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,則直線,又因?yàn)?,設(shè)經(jīng)過(guò)和相交的平面與交于直線,則又,所以因?yàn)椋?,所以,所以,故④?duì).故選:C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.2.C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.3.A【解析】

利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類問(wèn)題的一種常用方法,屬于中檔題.4.A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對(duì),,且,有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)?,,所以故選:A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用,基礎(chǔ)題.5.D【解析】

根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項(xiàng),又由,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題,其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】

根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過(guò)的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過(guò)的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.8.D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)橹本€與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

先求,再確定展開(kāi)式中的有理項(xiàng),最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故,要求展開(kāi)式中的有理項(xiàng),則則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為:故選:A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.10.C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫(xiě)成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.11.C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離,由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以,其中,故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義,由復(fù)數(shù)的幾何意義,將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可,屬于基礎(chǔ)題型.12.B【解析】

每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算.【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)數(shù)字,,,,,,,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,可得數(shù)列滿足,則,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理,解題關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系,從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】

由題意畫(huà)出圖形,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺(tái)雙曲線的定義,求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式,即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,連接,則,故四邊形為正方形,邊長(zhǎng)為圓的半徑,由,,得,與重合,,,即——①,——②聯(lián)立①②解得:,又因圓心的縱坐標(biāo)為,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.14.【解析】

由題可得,因?yàn)橄蛄颗c向量平行,所以,解得.15.55【解析】

由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

記“某用戶的自用新能源汽車(chē)已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車(chē)能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:,由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車(chē)已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車(chē)能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1),(2)【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減求和等.屬于中檔題.18.(1)28種;(2)分布見(jiàn)解析,.【解析】

(1)分這名女教師分別來(lái)自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組,可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)X的可能取值為,再求出X的每個(gè)取值的概率,可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.(2)X的可能取值為0,1,2,3.,,,.故X的概率分布為:X0123P所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.19.(1);(2)點(diǎn)在定直線上.【解析】

(1)設(shè)出直線的方程為,由直線和圓相切的條件:,解得;(2)設(shè)出,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,求得為切點(diǎn)的切線方程,再由向量的坐標(biāo)表示,可得在定直線上;【詳解】解:(1)依題意設(shè)直線的方程為,由已知得:圓的圓心,半徑,因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離,即,解得或(舍去).所以;(2)依題意設(shè),由(1)知拋物線方程為,所以,所以,設(shè),則以為切點(diǎn)的切線的斜率為,所以切線的方程為.令,,即交軸于點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,,,.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則,所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線方程和圓方程的運(yùn)用,以及切線方程的求法,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于綜合題.20.(1);(2)存在,.【解析】

(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點(diǎn)為,取關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接,計(jì)算得到,故軌跡為橢圓,計(jì)算得到答案.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),聯(lián)立方程得到,,計(jì)算,得到答案.【詳解】(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點(diǎn)為,則,取關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接,故,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸為4的橢圓,其中,曲線方程為.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),直線的方程為,同理,所以,即,聯(lián)立,所以,代入得,所以點(diǎn)都在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程,定直線問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21.(1)(2)【解析】

(1)先消去參數(shù),化為直角坐標(biāo)方程,再利用求解.(2)直線與曲線方程聯(lián)立,得,求得弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離,再求的面積.【詳解】(1)由已知消去得,則,所以,所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2)由,得,設(shè),兩點(diǎn)對(duì)

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