2022屆貴州省銅仁市西片區(qū)高中教育聯(lián)盟高三一診考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb2．已知，，則等于（）．A． B． C． D．3．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．4．一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領到整數(shù)元,且每人至少領到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)．下列命題：①函數(shù)的圖象關于原點對稱；②函數(shù)是周期函數(shù)；③當時，函數(shù)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④8．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．9．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．10．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B． C． D．11．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．12．已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為，則斜率k的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若對于任意正實數(shù)，均存在以為三邊邊長的三角形，則實數(shù)k的取值范圍是_______.14．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.15．在區(qū)間內任意取一個數(shù)，則恰好為非負數(shù)的概率是________.16．已知實數(shù)滿足則點構成的區(qū)域的面積為____，的最大值為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若，求證：（2）若，恒有，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）設函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值．19．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．求C；若，求，的面積20．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點.（1）證明：；（2）設點是線段上的動點，當直線與直線所成的角最小時，求三棱錐的體積.21．（12分）等差數(shù)列的前項和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及前項和為；（Ⅱ）設為數(shù)列的前項的和，求證：.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點為棱的中點．（Ⅰ）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；（Ⅱ）當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質【名師點睛】比較冪或對數(shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.2．B【解析】

由已知條件利用誘導公式得，再利用三角函數(shù)的平方關系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結合解得，所以，故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的平方關系以及三角函數(shù)的符號與位置關系，屬于基礎題.3．D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.4．A【解析】

將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關系，求解即可．【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，∵四面體所有棱長都是4，∴正方體的棱長為，設球的半徑為，則，解得，所以，故選：A．【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關鍵在于，巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化，屬于中檔題．5．B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設乙,丙,丁分別領到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選：B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎題型.6．C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導數(shù)求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.7．A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤；函數(shù)定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，①正確；為周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.8．B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當時，x在點B處取得最大值，即，得；當時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結合思想,分類討論是解題的關鍵,屬于中檔題.9．D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作．10．A【解析】

由已知可得，根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式，考查計算求解能力，屬于基礎題.11．B【解析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題.12．C【解析】

設，，，，設直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由△得，利用韋達定理結合已知條件得，，代入上式即可求出的取值范圍．【詳解】設直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去得：，△，，且，，，線段的中點為,，，，，，，，把代入，得，，，故選：【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，考查了韋達定理的應用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)三角形三邊關系可知對任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個式子的取值范圍由的符號決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)值域,再討論,轉化為的最小值與的最大值的不等式,進而求出的取值范圍.【詳解】因為對任意正實數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對任意的恒成立,,令,則,當,即時,該函數(shù)在上單調遞減,則；當,即時,,當,即時,該函數(shù)在上單調遞增,則,所以,當時,因為,,所以,解得；當時,,滿足條件；當時,,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構成條件,考查利用函數(shù)單調性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉化思想.14．1【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點，代入目標函數(shù)的解析式，易可得到目標函數(shù)的最大值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.15．【解析】

先分析非負數(shù)對應的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“恰好為非負數(shù)”的概率.【詳解】當是非負數(shù)時，，區(qū)間長度是，又因為對應的區(qū)間長度是，所以“恰好為非負數(shù)”的概率是.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關鍵是能判斷出目標事件對應的區(qū)間長度.16．811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)椋@然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用導數(shù)求x＜0時，f（x）的極大值為，即證（2）等價于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函數(shù)g(x)的最小值得解.【詳解】（1）∵函數(shù)f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）內遞增，在（﹣，0）內遞減，在（0，+∞）內遞增，∴f（x）的極大值為，∴當x＜0時，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，則g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，則h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且x→0+時，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，0]．【點睛】本題主要考查利用證明不等式，考查利用導數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18．（1）或（2）最小值為．【解析】

（1）討論，，三種情況，分別計算得到答案.（2）計算得到，再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得．所以所求不等式的解集為或．（2）根據(jù)函數(shù)圖像知：當時，，所以．因為，由，可知，所以，當且僅當，，時，等號成立．所以的最小值為．【點睛】本題考查了解絕對值不等式，函數(shù)最值，均值不等式，意在考查學生對于不等式，函數(shù)知識的綜合應用.19．(1)．(2)．【解析】

由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式可求，結合范圍，可求，由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得，結合范圍，可求A，根據(jù)三角形的內角和定理即可解得C的值．由及正弦定理可得b的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，，，，即，又，，或舍去，可得，．，，，由正弦定理，可得，，．【點睛】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的內角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式等知識在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．20．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）要證明，只需證明平面即可；（2）以C為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法求，并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】（1）連結AC、AE，由已知，四邊形ABCE為正方形，則①，因為底面，則②，由①②知平面，所以.（2）以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設，，則，所以，設，則，所以當，即時，取最大值，從而取最小值，即直線與直線所成的角最小，此時，則，因為，，則平面，從而M到平面的距離，所以.【點睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的內容較多，計算量較大，解決此類問題最關鍵是準確寫出點的坐標，是一道中檔題.21．（Ⅰ），（Ⅱ