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歡迎各位蒞臨聽課河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院龔健第十章簡單的超靜定問題一、靜不定問題的概念靜定靜不定CPABD123CPAB12
未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于或少于獨(dú)立的平衡方程數(shù),可由靜力平衡方程求出全部未知數(shù)。靜定問題:未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù),不能由靜力平衡方程求出全部未知數(shù)。靜不定問題:靜不定次數(shù):靜不定次數(shù)=未知數(shù)個(gè)數(shù)-靜力平衡方程數(shù)靜不定結(jié)構(gòu)比靜定結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度大。一次靜不定一次靜不定溫度應(yīng)力裝配應(yīng)力靜力平衡方程(1)變形協(xié)調(diào)方程(2)物理關(guān)系方程(3)補(bǔ)充方程聯(lián)立求解二、靜不定問題的解法例1:1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖,各桿長度和剛度如圖所示,外力沿鉛垂方向。求各桿的內(nèi)力。CPABD123LEAEAE3A3解:平衡方程:(1)變形協(xié)調(diào)方程:CABD123A1物理方程:(2)(3)聯(lián)解(1)、(2)、(3)式得:解答表明,各桿的軸力與其剛度有關(guān)。例2:求圖示桿的支反力。解:變形協(xié)調(diào)條件:物理關(guān)系:聯(lián)解得:平衡方程:思考:如桿件下端與支座B有一微小距離,又該如何計(jì)算?例3:如圖所示剛性梁AB由1,2,3桿懸掛,三桿的剛度均為EA。求P力作用下三桿的軸力。解:(1)平衡方程:變形協(xié)調(diào)方程:(2)物理方程:(3)聯(lián)解(1)、(2)、(3)式得:ΔL3ΔL2ΔL1此時(shí),變形協(xié)調(diào)條件為注意:受力圖與變形圖必須一致!
例4:剛性梁AD由1、2、3桿懸掛,已知三桿材料相同,許用應(yīng)力為[σ],材料的彈性模量為E,桿長均為L,橫截面面積均為A,試求結(jié)構(gòu)的許可載荷[P]解:靜力平衡條件:變形協(xié)調(diào)條件:即:聯(lián)立求解(1)和(2),得:3桿軸力為最大,其強(qiáng)度條件為:分析題1圖示結(jié)構(gòu),AB為剛性梁,1、2兩桿剛度相同。求1、2桿的受力。平衡方程:變形關(guān)系:物理關(guān)系:聯(lián)立解出:分析題2圖示為一平面桁架,各桿剛度相同。求各桿的軸力。由對(duì)稱性,有由A點(diǎn)平衡由B點(diǎn)平衡變形關(guān)系:物理關(guān)系:由以上關(guān)系式求得:A'B'二、裝配應(yīng)力解:靜力平衡條件:變形協(xié)調(diào)條件:引用胡克定律:
兩鑄件用兩根鋼桿1,2連接,其間距為l=200mm.現(xiàn)要將制造得過長了e=0.11mm的銅桿3裝入鑄件之間,并保持三根桿的軸線平行且等間距a.試計(jì)算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力.已知:鋼桿直徑d=10mm,銅桿橫截面積為2030mm的矩形,鋼的彈性模量E=210GPa,銅的彈性模量E3=100GPa.鑄件很厚,其變形可略去不計(jì),故可看作剛體.ABC12aaB1A1C1l3C1C'e(1)變形幾何方程為l3C1eC''l3ABC12B1C1A1l1l2=aax(3)補(bǔ)充方程(4)平衡方程(2)物理方程C'A'B'FN3FN1FN2聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解,即可得裝配內(nèi)力,進(jìn)而求出裝配應(yīng)力.三、溫度應(yīng)力線膨脹系數(shù)α:單位長度的桿溫度升高1℃時(shí)桿的伸長量解:變形協(xié)調(diào)條件:即:
例:在溫度為2℃時(shí)安裝的鐵軌,每段長度為12.5m,兩相鄰段鐵軌間預(yù)留的空隙為Δ=1.2mm,當(dāng)夏天氣溫升為40℃時(shí),鐵軌內(nèi)的溫度應(yīng)力為多少?已知:E=200GPa,線膨脹系數(shù)α=12.5×10-6
1/℃。解:變形協(xié)調(diào)條件為例:如圖所示,鋼柱與銅管等長為L,置于二剛性平板間,受軸向壓力P.鋼柱與銅管的橫截面積、彈性模量、線膨脹系數(shù)分別為As、Es、αs,及Ac、Ec、αc。試導(dǎo)出系統(tǒng)所受載荷P僅由銅管承受時(shí),所需增加的溫度ΔT。(二者同時(shí)升溫)解:變形協(xié)調(diào)條件為銅管伸長等于鋼柱伸長,即兩端固定的圓截面等直桿AB,在截面C受外力偶矩m作用,試求桿兩端的支座反力偶矩。解:靜力平衡方程為:變形協(xié)調(diào)條件為:即:一圓鋼管套在一實(shí)心圓鋼軸上,長度均為L,鋼管與鋼軸材料相同,先在實(shí)心圓軸兩端加外力偶矩m,使軸受扭后,在兩端把管與軸焊起來,去掉外力偶矩。求此外管與內(nèi)軸的最大剪應(yīng)力。解:外管與內(nèi)軸承受的扭矩相等,設(shè)為T一、靜不定梁的基本概念
用約束反力代替多余約束,就得到一個(gè)形式上的靜定梁,該梁稱為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。二、用變形比較法解靜不定梁例:求圖示靜不定梁的支反力。
解:將支座B看成多余約束,變形協(xié)調(diào)條件為:
另解:將支座A對(duì)截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余約束,變形協(xié)調(diào)條件為:
為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度,用短梁CD加固。設(shè)二梁EI相同,試求
(1)二梁接觸處的壓力;
(2)加固前后AB梁最大彎矩的比值;
(3)加固前后B點(diǎn)撓度的比值。解:(1)變形協(xié)調(diào)條件為:(2)試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同,彈性模量E已知;鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩I亦為已知。
解:
1.
該系統(tǒng)共有三個(gè)未知力(圖b)FN,FB,FC,但平面平行力系僅有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程,故為一次超靜定問題。
2.
取桿和梁在點(diǎn)A處的連接鉸為“多余”約束,相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=DlDA。3.
物理關(guān)系(參見圖c,d)為需要注意,因DlDA亦即圖b中的是向下的,故上式中wAF為負(fù)的。4.于是根據(jù)位移(變形)相容條件得補(bǔ)充方程:由此求得歸納:
求解靜不定問題的步驟
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