計數(shù)原理1.3.2楊輝三角1.3二項式定理 課件

第一章計數(shù)原理1.3.2楊輝三角1.3二項式定理1.二項式定理是什么？二項展開式有哪些基本特征？

共有n＋1項；字母a的最高次數(shù)為n且按降冪排列；字母b的最高次數(shù)為n且按升冪排列；各項中a與b的指數(shù)冪之和都是n；各項的二項式系數(shù)依次為 且與a，b無關(guān).2.二項展開式的通項是什么？3.組合數(shù)有哪兩個基本性質(zhì)？問題1：(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5，(a＋b)6的展開式中的二項式系數(shù)分別是哪些組合數(shù)？并將它們的計算結(jié)果填入下表：654321二項式系數(shù)n11111111111123346451010561515206一、

楊輝三角問題2：觀察上表中每一行的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？654321二項式系數(shù)n11111111111123346451010561515206具有對稱性問題3：將上表寫成如下形式，你又能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)有什么新的規(guī)律嗎？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561（1）每行兩端的數(shù)都是1；（2）與兩端等距離的項的系數(shù)相等；（3）在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，等等.問題4：上述數(shù)表是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中最先提出的，是我國古代數(shù)學(xué)的一個重要成果，比歐洲早五百年左右，我們把這個數(shù)表稱為楊輝三角，楊輝三角的上述基本性質(zhì)如何用組合數(shù)性質(zhì)解釋？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561問題5：利用楊輝三角，(a＋b)7的展開式中各項的二項式系數(shù)分別是什么？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561135352121771問題1：對給定的正整數(shù)n，設(shè)函數(shù),r∈{0,1,2,…,n}，當(dāng)n＝6時,函數(shù)f(r)的圖象是什么？rf(r)O1234565101520二、

二項式系數(shù)的性質(zhì)問題2：一般地，函數(shù),r∈{0,1,2,…,n}的圖象是什么？它具有怎樣的對稱性？n＋1個孤立的點，關(guān)于直線對稱問題3：在二項式系數(shù)中，哪些二項式系數(shù)是相等的？與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.問題4：相鄰兩個二項式系數(shù)的大小關(guān)系如何？從理論上如何確定與的大??？問題5：通過上述分析，二項式系數(shù)的增減性與最大值分別是什么？二項式系數(shù)的前半部分是遞增的，后半部分是遞減的，且在中間取得最大值.問題6：當(dāng)n分別為偶數(shù)和奇數(shù)時，第幾項的二項式系數(shù)最大？當(dāng)n為偶數(shù)時，第項的二項式系數(shù)為最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，第的二項式系數(shù)和第項的二項式系數(shù)相等，且同時為最大.問題7：在二項式定理中，a，b可以任意取值，特別地，當(dāng)a＝b＝1時，可得什么結(jié)論？當(dāng)a＝1，b＝－1時，又可得什么結(jié)論？練習(xí)：1023512問題8：上述結(jié)果表明，所有二項式系數(shù)之和等于2n，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，且都等于2n-1.那么，如何求(3＋2x)n的展開式中各項的系數(shù)之和？令x＝1，得各項的系數(shù)之和為5n.

例1已知(1＋2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項.

解：T6=T7

即

解得n=8

所以展開式二項式系數(shù)最大的項是第5項，

例2（1）求集合A＝{a1，a2，a3}有多少個子集？

（2）求集合B＝{a1，a2，…，an}共有多少個子集？

例3已知(x2-1)n展開式的各項二項式系數(shù)和等于1024，求展開式中含x6的項.解：因為展開式的各項二項式系數(shù)和等于2n,所以，2n=1024=210,得到，n=10(x2-1)n

展開式的通項為

由已知，令20-2r=6,求得r=7,

所以所求項為

例4求(1-x)8的展開式中二項式系數(shù)最大

的項.解：因為1-x的冪指數(shù)8是偶數(shù)，由性質(zhì)，(1-x)8

的展開式中間一項（即第5項）的二項式系數(shù)最大,該項為練習(xí)：(x－y)11的展開式中系數(shù)最大的項第

項，系數(shù)最小的項第

項；561.楊輝三角反映了二項式系數(shù)的變化規(guī)律，其理論依據(jù)是組合數(shù)的兩個性質(zhì).楊輝三角中還有許多有趣性質(zhì)，可作為一個研究性