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上海閘北區(qū)第三中學2021-2022學年高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線的左、右焦點分別為、,若上存在一點滿足,且的面積為3,則該雙曲線的離心率為(
)A.
B.
C.2
D.3參考答案:B2.下列命題:①若是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[-1,0]上是增函數(shù),,則;②若銳角、滿足則;③在中,“”是“”成立的充要條件;④要得到的圖象,只需將的圖象向左平移個單位.其中真命題的個數(shù)有(
)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:B略3.若分別為雙曲線的左、右焦點,點在雙曲線上,點的坐標為(2,0),為的平分線.則的值為
(
).
3.
6.
9.
27.
參考答案:B4.如圖所示是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體外接球的體積為()A.36π B.π C.8π D.π參考答案:B【考點】由三視圖求面積、體積.【分析】如圖所示,該幾何體為四棱錐P﹣ABCD,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,其對角線AC∩BD=O,取AB的中點E,OE⊥AB,OE⊥側(cè)面PAB,PE=2,AB=4.則點O為其外接球的球心,半徑R=2.即可得出.【解答】解:如圖所示,該幾何體為四棱錐P﹣ABCD,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,其對角線AC∩BD=O,取AB的中點E,OE⊥AB,OE⊥側(cè)面PAB,PE=2,AB=4.則點O為其外接球的球心,半徑R=2.∴這個幾何體外接球的體積V==π.故選:B.5.設復數(shù)且,則復數(shù)z的虛部為A. B. C. D.
參考答案:B6.設雙曲線的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則e2=()A. B. C. D.參考答案:C考點: 雙曲線的簡單性質(zhì).
專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析: 利用雙曲線的定義等腰直角三角形的性質(zhì)可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF1|﹣|BF2|=2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理即可得出.解答: 解:如圖所示,∵|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF1|﹣|BF2|=2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,∴|AF2|=2a,|AF1|=4a.∴,∴|BF2|=.∵=,∴(2c)2=,∴e2=5﹣2.故選:C.點評: 本題考查了雙曲線的定義等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.7.已知在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC與BD交于點O,點E,F(xiàn)分別是線段AO,DC的中點,則=()A. B. C. D.參考答案:C【分析】首先用向量,表示,,然后代入即可.【詳解】解:,,由①②解得:,所以,故選:C.【點睛】此題考查了平面向量基本定理,向量的線性表示.是基礎題.8.已知為平面內(nèi)一定點,設條件動點滿足;條件點的軌跡通過的重心。則條件是條件的A.充要條件
B.充分不必要條件C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:答案:B9.設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù),已知x∈(0,1)時,f(x)=log(1-x),則函數(shù)f(x)在(1,2)上()A.是增函數(shù),且f(x)<0B.是增函數(shù),且f(x)>0C.是減函數(shù),且f(x)<0D.是減函數(shù),且f(x)>0參考答案:D10.定義在上的函數(shù),且時,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某組合體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為1,則該多面體的體積是
.參考答案:幾何體為如圖,兩個三棱錐和一個正方體的組合體,所以
12.已知集合A=且,則實數(shù)的取值范圍是
.參考答案:略13.已知點是函數(shù)y=2x的圖象上任意不同兩點,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論成立.運用類比思想方法可知,若點A(x1,sin1)、B(x2,sinx2)是函數(shù)y=sinx(x∈(0,π))的圖象上的不同兩點,則類似地有成立.參考答案:略14.已知圓的方程為,過直線:()上的任意一點作圓的切線,若切線長的最小值為,則直線的斜率為__________.參考答案:15.若存在實數(shù)滿足,則實數(shù)的取值范圍是
_.參考答案:略16.中,角,則
.
參考答案:略17.已知等差數(shù)列的前項和為,并且,數(shù)列滿足=,記集合=,若的子集個數(shù)為16,則實數(shù)的取值范圍為
.參考答案:本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,集合.因為等差數(shù)列中,聯(lián)立解得,即,,;而=,所以=;構(gòu)造函數(shù)=,當時單增,當時單減,且,,,;而的子集個數(shù)為16,所以中的元素個數(shù)為4,即;所以.【備注】等差數(shù)列:,.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)已知函數(shù),(I)若時,函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;(II)設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點、,過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、,問是否存在點,使在處的切線與在處的切線平行?若存在,求出的橫坐標;若不存在,請說明理由.參考答案:解:(I)依題意:在(0,+)上是增函數(shù),對∈(0,+)恒成立,Ks5u,則
的取值范圍是.
………7分
(II)設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為C1在點M處的切線斜率為C2在點N處的切線斜率為
假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則即則
設則,點R不存在.………15分略19.(本題滿分16分)對于函數(shù),如果存在實數(shù)使得,那么稱為的生成函數(shù).(1)下面給出兩組函數(shù),是否分別為的生成函數(shù)?并說明理由;第一組:;第二組:;(2)設,生成函數(shù).若不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍;(3)設,取,生成函數(shù)圖像的最低點坐標為.若對于任意正實數(shù)且.試問是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個的值;如果不存在,請說明理由.
參考答案:(1)①所以是的生成函數(shù)②設,即,則,該方程組無解.所以不是的生成函數(shù).
(2)若不等式在上有解,,即設,則,,,故,.(3)由題意,得,則,解得,所以假設存在最大的常數(shù),使恒成立.于是設=
令,則,即設在上單調(diào)遞減,,故存在最大的常數(shù)
20.在數(shù)列{an}中,,,且對任意的n∈N*,都有.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設,記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,若對任意的n∈N*都有,求實數(shù)m的取值范圍.參考答案:(Ⅰ)由可得.
又,,所以.所以是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.
…3分所以.
…4分所以.…………6分(Ⅱ)因為.………8分所以.
………10分又因為對任意的N*都有,所以恒成立,即,即當時,.
………12分21.如圖1,是直角△斜邊上的高,沿把△的兩部分折成直二面角(如圖2),于.
(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設,與平面所成的角為,二面角的大小為,試用表示;(Ⅲ)設,為的中點,在線段上是否存在一點,使得∥平面?
若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
參考答案:(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)解析:(Ⅰ)∵,∴是二面角的平面角.又∵二面角是直二面角,∴,∴平面,∴,又,∴平面,∴.…………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ),.又,∴.…8分(Ⅲ)連接交于點,連接,則∥.∵,∴,∴為的中點,而為的中點,
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