上海音樂(lè)學(xué)院安師附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

上海音樂(lè)學(xué)院安師附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系是A. B. C. D.參考答案：D由得。在坐標(biāo)系中分別作出的圖象，由圖象可知，，，所以，選D.

2.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且為可導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)?x∈R，總有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則（）A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立C．f（x）的最大值為0 D．f（x）與0的大小關(guān)系不確定參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的最大值小于0，從而證出結(jié)論【解答】解：設(shè)g（x）=∴g′（x）=，∵對(duì)?x∈R，總有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增，∴g（x）＜g（0）=0，∴＜0恒成立∴f（x）＜0恒成立，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．3.已知命題命題使，若命題“且”為真，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ()A．

B．C．

D．參考答案：D4.已知函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＋＋…＋的值為（） A．－1

B．1－log20132012

C．-log20132012

D．1參考答案：A略5.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組且的最小值為（

）A．3

B．4

C.5

D．6參考答案：A6.如圖,有四個(gè)平面圖形分別是三角形、平行四邊形、直角梯形、圓，垂直于軸的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)向右平行移動(dòng),在移動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)平面圖形的面積為（圖中陰影部分）,若函數(shù)的大致圖象如圖,那么平面圖形的形狀不可能是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A8.已知集合，集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C:相切,則該雙曲線離心率等于(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）

A．9

B．17

C．5

D．15參考答案：B試題分析：由題意得，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，此時(shí)最大值為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，此時(shí)最大值為，所以的最大值為，故選B．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)則

。參考答案：略12.如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,延長(zhǎng)到使,過(guò)作圓的切線交于.若,,則_________.參考答案：13.函數(shù)的定義域是_________.參考答案：略14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x=10，則輸出y的值為________.參考答案：15.我市教育管理部門用問(wèn)卷調(diào)查的方式對(duì)市區(qū)1000名中學(xué)生開展了‘我愛讀名著”活動(dòng)情況調(diào)查，x(單位：小時(shí)）表示平均半學(xué)年度課外讀書時(shí)間，現(xiàn)按讀書時(shí)間分下列四種情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：1

0~10小時(shí)；

②10~20小時(shí);

③20~30小時(shí)；④30小時(shí)以上。如右圖是此次調(diào)查中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過(guò)程的算法框圖，已知輸出的結(jié)果是680,

則平均半學(xué)年度課外讀書時(shí)間不超過(guò)20小時(shí)的學(xué)生的頻率是_______.參考答案：0.32

略16.若圓椎的母線,母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角,則該圓椎的側(cè)面積為

.參考答案：因?yàn)榫€與旋轉(zhuǎn)軸的夾角，設(shè)底面圓的半徑為，則。所以底面圓的周長(zhǎng)，所以該圓錐的側(cè)面積。17.若，則的二項(xiàng)展開式中x2的系數(shù)為_______.參考答案：180由定積分的幾何意義及可知，則展開式的通項(xiàng)，當(dāng)即時(shí)，，故的系數(shù)為180。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＞c，已知?=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)?=2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯(lián)立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進(jìn)而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵?=2，cosB=，∴c?acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，聯(lián)立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C為銳角，∴cosC===，則cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．19.（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四邊形BB1C1C是菱形，∠BCC1=60°．（1）求證：AC1⊥B1C；（2）若AC⊥AB1，三棱錐A﹣BB1C的體積為，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）連結(jié)BC1，推導(dǎo)出AB⊥B1C，B1C⊥BC1，從而B1C⊥平面ABC1，由此能求出AC1⊥B1C．（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，由三棱錐A﹣BB1C的體積為，求出菱形BB1C1C的邊長(zhǎng)，由此能求出△ABC的面積．【解答】證明：（1）連結(jié)BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AB⊥B1C，∵四邊形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，∵AC1?平面ABC1，∴AC1⊥B1C．解：（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，設(shè)菱形BB1C1C的邊長(zhǎng)為a，∵∠BCC1=60°，∴==3a2，∵AC⊥AB1，∴，∴AC=AB1=a，∵AB⊥側(cè)面BB1C1C，BC?側(cè)面BB1C1C，∴AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AB==，∵三棱錐A﹣BB1C的體積為，∴×，解得a=2，∴AB=，BC=a=2，∴△ABC的面積S△ABC=×BC×AB==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.已知函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：（1）①時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，②時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，③時(shí)，無(wú)交點(diǎn)（2）詳見解析

試題解析：（1）定義域?yàn)?，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，①時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，②時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，③時(shí)，無(wú)交點(diǎn)．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）時(shí)，存在唯一，使，即，且時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證不等式【思路點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.21.（本題滿分15分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且對(duì)上任意一點(diǎn)M，M到直線x=﹣2的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值。（Ⅰ）求曲線C1的方程。（Ⅱ）設(shè)P(x0,y0)（y0≠±3）為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線，分別于曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值.參考答案：(Ⅰ)解法1:設(shè)M的坐標(biāo)為,由已知得,易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是,所以.化簡(jiǎn)得曲線的方程為.……5分解法2:由題設(shè)知,曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離,因此,曲線是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,故其方程為.……5分(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),P的坐標(biāo)為,又,則過(guò)P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),切線方程為.于是……7分整理得

①設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為,則是方程①的兩個(gè)實(shí)根,……………9分故

②

由得

③設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為,則是方程③的兩個(gè)實(shí)根,所以

④同理可得

⑤……12分于是由②,④,⑤三式得.所以,當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.…15分22.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.（1）求A的大??；（2）若，D為BC的中點(diǎn)，且，求△ABC的面積.參考答案：（1）由正弦定理知，所以,

即

…………2分所以，化簡(jiǎn)得，