上海高東中學(xué) 2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

上海高東中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S15的最大值為M，最小值為m，則M+m=（）A．500 B．600 C．700 D．800參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】利用已知條件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解S15的最大值為M，最小值為m推出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S15的最大值為M，最小值為m，可知公差最大值時，M最大，公差最小時，m最小，可得a1=1，a2=5，此時公差d=4是最大值，M=S15=1×15+=435，a2=5，a5=8，此時d=1，m=S15=4×15=165．M+m=435+165=600．故選：B．2.復(fù)數(shù)的虛部是

A. B. C. D.參考答案：B，所以虛部為1，選B.3.橢圓的焦距為

A.10

B.5

C.

D.參考答案：D由題意知，所以，所以，即焦距為，選D.4.已知都是銳角,且滿足,若,則A.

B.

C.

D.1參考答案：A5.在平行四邊形ABCD中，，，連接CE、DF相交于點(diǎn)M，若，則實(shí)數(shù)λ與μ的乘積為A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.已知，下列四個條件中，使成立的必要而不充分的條件是

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.在中，，，，則面積等于

．參考答案：略8.

設(shè)實(shí)數(shù)，，，則三數(shù)由小到大排列是

參考答案：9.設(shè)直線l的方程為：()，則直線l的傾斜角α的范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)三視圖得到該幾何體是圓柱中挖去了一個圓錐，其中圓柱的底面圓的半徑為，母線長為，圓錐的底面圓的半徑為，高為，再由體積公式求解，即可得到答案.【詳解】由三視圖知，此幾何體是圓柱中挖去了一個圓錐，其中圓柱的底面圓的半徑為，母線長為，圓錐的底面圓的半徑為，高為，所以幾何體的體積為：，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成的的面積是

． 參考答案：12.（2016?沈陽一模）已知拋物線x2=4y的集點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，過P作PA⊥l于點(diǎn)A，當(dāng)∠AFO=30°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）時，|PF|=

．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由拋物線x2=4y，可得焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l的方程為：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得xA=．由于PA⊥l，可得xP=，yP=，再利用|PF|=|PA|=yP+1即可得出．【解答】解：由拋物線x2=4y，可得焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l的方程為：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴xA=．∵PA⊥l，∴xP=，yP=，∴|PF|=|PA|=yP+1=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立，屬于中檔題．13.若點(diǎn)(x,y)位于曲線與y＝2所圍成的封閉區(qū)域,則2x－y的最小值為

.

參考答案：－4作出曲線y=與y=2所表示的區(qū)域，令2x－y=z，即y=2x－z，作直線y=2x，在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動直線y=2x，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)（－1，2）時，z取到最小值，此時最小值為－4.[考點(diǎn)與方法]本題主要考察了線性規(guī)劃的最值問題，考查畫圖和轉(zhuǎn)化能力，屬于中等題，解題的關(guān)鍵在于畫出曲線圍成的封閉區(qū)域，并把求2x－y的最小值轉(zhuǎn)化為求y=2x－z所表示的直線截距的最大值，通過平移直線y=2x即可求解。14.過點(diǎn)（1，0）且與直線x﹣y+3=0平行的直線l被圓（x﹣6）2+（y﹣）2=12所截得的弦長為

．參考答案：6【考點(diǎn)】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】先求與直線x﹣y+3=0平行的直線l的方程，再求圓心到直線l的距離，進(jìn)而可求直線l被圓（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦長．【解答】解：設(shè)與直線x﹣y+3=0平行的直線l的方程為x﹣y+c=0∵直線過點(diǎn)（1，0）∴c=﹣1∴圓心到直線l的距離為=，∴直線l被圓（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦長為2=6故答案為6．【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，主要考查直線方程，考查直線與圓相交時的弦長得計(jì)算，關(guān)鍵是求與已知直線平行的直線方程，掌握圓中的弦長的求解方法，15.已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO1，進(jìn)而求出底面ABC上的高SD，即可計(jì)算出三棱錐的體積．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．∵，∴=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴，∴V三棱錐S﹣ABC==．故答案為．16.如圖，圓內(nèi)的正弦曲線

與軸圍成的區(qū)域記為(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓內(nèi)投一個點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是

．參考答案：陰影部分的面積為，圓的面積為，所以點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是。17.如右圖所示的程序框圖的輸出值，則輸入值 。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由和成等比數(shù)列，得，

解得，或，當(dāng)時，，與成等比數(shù)列矛盾，舍去．，

即數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）=，.略19.（16分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c滿足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大??；（2）設(shè)函數(shù)f（x）=sincos+cos2，求f（B）的最大值．參考答案：考點(diǎn)： 三角函數(shù)的最值；余弦定理．專題： 計(jì)算題．分析： （Ⅰ）觀察已知，自然想到余弦定理，然后求角A的大?。唬á颍┩ㄟ^函數(shù)f（x）=，化為一個解答一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)A的值確定B是范圍，結(jié)合函數(shù)表達(dá)式，求f（B）的最大值．解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)閎2+c2﹣a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可得cosA=．（余弦定理或公式必須有一個，否則扣1分）（3分）∵0＜A＜π（或?qū)懗葾是三角形內(nèi)角）（4分）∴A=．（5分）（Ⅱ）函數(shù)f（x）==

（7分）=sin（x+）+，（9分）∵A=∴B∈（0，）∴（沒討論，扣1分）（10分）∴當(dāng)，即B=時，f（B）有最大值是．（13分）點(diǎn)評： 本題是基礎(chǔ)題，考查三角形中的基本計(jì)算問題，考查余弦定理的應(yīng)用，注意B的范圍是確定函數(shù)最值的關(guān)鍵，也是易錯點(diǎn)．20.在四棱錐中，平面是正三角形，與的交點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，又，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：（1）證明：在正三角形中，.在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)?，所以，所?在等腰直角三角形中，，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2）在正三角形中，.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?而，因此平面.連接，因此就是直線與平面所成的角.在直角三角形中，，因此.21.如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過點(diǎn)B作DE的垂線，垂足為點(diǎn)C．求證：∠ACB=∠OAC．參考答案：證明：連接OE，AE，并過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，∵DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC，∴∠CAF=∠ACB，∠FAE=∠AEO，∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠EAO=∠FAE，又∵點(diǎn)A是OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)，∴AE=AC，∴∠CAF=∠FAE，∴∠EAO=∠FAE=∠CAF，∴∠ACB=∠OAC．略22.已知函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處有公共的切線，設(shè).（I）求的值（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.參考答案：解：（I）因?yàn)樗栽诤瘮?shù)的圖象上又，所以所以

………………3分（Ⅱ）因?yàn)椋涠x域?yàn)?/p>

………………5分當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增所以在上最小值為

………………7分當(dāng)時，令，得到(舍)當(dāng)時，即時，對