高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)微積分測(cè)試題

1、（2012

德州二模）如圖，在邊長(zhǎng)為

π的正方形內(nèi)的正弦曲線軸圍成的地域記為

M（圖中暗影部分），隨機(jī)往正方形內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)

P，則點(diǎn)

P落在地域

M內(nèi)的概率是A．

B．C．

D．答案：B分析：地域

M的面積為：

SM＝＝－

cosx＝2，而正方形的面積為

S＝，所以，所求概率為

P＝，選B。2、（2012濟(jì)南三模）已知函數(shù)，若成立，則＝________.1答案：3分析：因?yàn)?f(x)dx＝12321＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4(3x＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1-1-11?a＝－1或a＝3.3、（2012萊蕪3月模擬）函數(shù)的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為.【答案】【分析】4、（2012濟(jì)南三模）已知、是三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，則的取值范圍是（A．B．C．D．

）答案：B分析：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值，則有兩個(gè)不一樣的根，即，又，又，所以有，即。的幾何意義是指動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)兩點(diǎn)斜率的取值范圍，做出可行域如圖，，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)

AB時(shí)，斜率最小，此時(shí)斜率為，直線經(jīng)過(guò)

AD時(shí)，斜率最大，此時(shí)斜率為，所以，選

B.5、（2012臨沂

3月模擬）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)圍成的圖形的面積等于

_________；【答案】

3【分析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以，即切線方程為，整理得。由解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線與函數(shù)圍成的圖形的面積為。6、（2012臨沂二模）已知，是由直線，和曲線圍成的曲邊三角形地域，若向地域上隨機(jī)投一點(diǎn)，點(diǎn)落在地域內(nèi)的概率為，則的值是（A）（B）（C）（D）【答案】D【分析】區(qū)邊三角形的面積為，地域的面積為1，若向地域上隨機(jī)投一點(diǎn)，點(diǎn)落在地域內(nèi)的概率，所以，所以，選D.7、（2012青島二模）設(shè)，則二項(xiàng)式睜開式中不含．．項(xiàng)的系數(shù)和是A．B．C．D．【答案】C【分析】，所以，二項(xiàng)式為，睜開式的通項(xiàng)為，令，即，所以，所以的系數(shù)為，令，得全部項(xiàng)的系數(shù)和為，所以不含項(xiàng)的系數(shù)和為，選C.8、（2012青島二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值以下表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象以以下圖.以下關(guān)于的命題：①函數(shù)的極大值點(diǎn)為，；②函數(shù)在上是減函數(shù)；③假如當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么的最大值為4；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；⑤函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為

0、1、2、3、4個(gè)．此中正確命題的序號(hào)是

．【答案】①②⑤【分析】由導(dǎo)數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞加，當(dāng)或，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)和，函數(shù)獲得極大值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)獲得極小值,所以①正確；②正確；因?yàn)樵诋?dāng)和，函數(shù)獲得極大值，，要使當(dāng)函數(shù)的最大值是4，當(dāng)，所以的最大值為5，所以③不正確；由知，因?yàn)闃O小值未知，所以沒(méi)法判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，所以④不正確，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值，做出函數(shù)的圖象如圖，（線段只代表單調(diào)性），依據(jù)題意函數(shù)的極小值不確立，分或兩種狀況，由圖象知，函數(shù)和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有0,1,2，3,4等不一樣情況，所以⑤正確，綜上正確的命題序號(hào)為①②⑤。9、（2012青島3月模擬）直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積是A．B．C．D．16答案：C【分析】聯(lián)立方程求得交點(diǎn)分別為所以暗影部分的面積為10、（2012日照5月模擬）如圖，由曲線，直線與軸圍成的暗影部分的面積是A）1B）2C）D）3答案：D【分析】由定積分的幾何意義，暗影部分的面積等于選

D.11、（2012泰安一模）已知，

A是曲線與圍成的地域，若向地域上隨機(jī)投一點(diǎn)

P，則點(diǎn)

P落入地域

A的概率為A.

B.

C.

D.【答案】D【分析】本題為幾何概率.地域的面積為.地域A的面積為，所以點(diǎn)P落入地域A的概率為，選D.12、（2012濱州二模）已知函數(shù)f（x）＝，g（x）＝elnx。I）設(shè)函數(shù)F（x）＝f（x）－g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；II）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx＋m，對(duì)x∈R恒成立，且g（x）≤kx＋m，對(duì)x∈（0，＋∞）恒成立，則稱直線y＝kx＋m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”，試問(wèn)：f（x）與g（x）能否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原由。分析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝，g（x）＝elnx，所以，F(xiàn)（x）＝f（x）－g（x）＝－elnx，則＝＝，當(dāng)0＜x＜時(shí)，＜0，所以F（x）在（0，）上是減函數(shù)；當(dāng)x＞時(shí)，＞0，所以F（x）在（，＋）上是增函數(shù)；所以，函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），單調(diào)增區(qū)間是（，＋）。II）由（I）可知，當(dāng)x＝時(shí)，F(xiàn)（x）獲得最小值F（）＝0，則f（x）與g（x）的圖象在x＝處有公共點(diǎn)（，）。假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過(guò)點(diǎn)（，）。故設(shè)其方程為：，即，由f（x）≥對(duì)x∈R恒成立，則對(duì)x∈R恒成立，所以，≤0成立，所以k＝，“分界線“的方程為：下邊證明g（x）≤對(duì)x∈（0，＋∞）恒成立，設(shè)G（x）＝，則，所以當(dāng)0＜x＜時(shí)，，當(dāng)x＞時(shí)，＜0，當(dāng)x＝時(shí)，G（x）獲得最大值0，則g（x）≤對(duì)x∈（0，＋∞）恒成立，故所求“分界線“的方程為：13、（2012德州二模）設(shè)函數(shù)（I）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)處的切線方程；II）設(shè)談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性；III）設(shè)函數(shù)，能否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和，使得對(duì)每一個(gè)，直線都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說(shuō)明原由。分析：（I）解：＝lnx＋1（x＞0），則函數(shù)在點(diǎn)處的斜率為＝2，f（e）＝e，所以，所求切線方程為y－e＝2（x－e），即y＝2x－eII）＝，令＝0，則x＝或，①當(dāng)0＜＜2，即時(shí)，令＞0，解得0＜x＜或x＞令＜0，解得＜x＜所以，F(xiàn)（x）在（0，），（，＋）上單調(diào)遞加，在（，）單調(diào)遞減。②當(dāng)＝2，即時(shí)，≥0恒成立，所以，F(xiàn)（x）在（0，＋）上單調(diào)遞加。③當(dāng)＞2，即時(shí)，所以，F(xiàn)（x）在（0，），（，＋）上單調(diào)遞加，在（，）單調(diào)遞減（III），令＝0，則x＝1，當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，的變化狀況以下表：－0+單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞加2又的值域?yàn)閇1，2]。據(jù)經(jīng)可得，若，則對(duì)每一個(gè)，直線y=t與曲線都有公共點(diǎn)。而且對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都沒(méi)有公共點(diǎn)。綜上，存在實(shí)數(shù)m=1和M＝2，使得對(duì)每一個(gè)，直線y=t與曲線都有公共點(diǎn)。14、（2012德州一模）已知函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)設(shè)，若對(duì)任意，總存在[0，1]，使得，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．分析：（I）。①當(dāng)時(shí)，因?yàn)閤＞0，故ax＋1＞0，＞0，所以f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（0，＋）。②當(dāng)時(shí)，由＝0，得，在區(qū)間（0，－）上，＞0，在區(qū)間（－，＋）上，＜0，所以，當(dāng)時(shí)，所以f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（0，＋）。當(dāng)時(shí)，f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（0，－），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，＋）（II）由已知，轉(zhuǎn)變成，又＝g（0）＝1由（I）知，當(dāng)，f（x）在（0，＋）增，域當(dāng)，f（x）在（0，－）增，在（－，＋）減，故f（x）的極大即最大，，所以1＞－1－ln（－a），解得：a<-

R，故不吻合意。15、（2012南3月模）已知函數(shù)f（）=+lnx，此中a常數(shù)，e自然數(shù)的底xax數(shù).1）當(dāng)a=-1，求f（x）的最大；2）若f（x）在區(qū)（0，e］上的最大-3，求a的；3）當(dāng)a=-1，推測(cè)方程=能否有數(shù)解.【答案】解：(1)當(dāng)=-1，f（）=-+lnx，′(x)=－1+????????1分axxf當(dāng)0<x<1，f′(x)>0；當(dāng)x>1，f′(x)<0.∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)????3分=f（1）=-1??????????????????????4分(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈????????????5分①若≥，f′(x)≥0，從而f(x)在(0,e］上增函數(shù)a∴=f（e）=ae+1≥0.不合意?????????????6分②若a<，由f′(x)>0>0，即0<x<由f(x)<0<0，即<x≤e.從而f(x)在上增函數(shù),在減函數(shù)∴=f=-1+ln???????????????8分令-1+ln=-3，ln=-2∴=，即a=.∵<,∴a=所求?????9分(3)由（Ⅰ）知當(dāng)a=-1=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1???????????????????????10分又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,當(dāng)0<x<e，g′(x)>0,g(x)在(0,e)增；當(dāng)x>e,g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)減??????????11分∴=（）=<1,∴g(x)<1???????????12分ge∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>??????????????13分∴方程|f（x）|=沒(méi)有數(shù)解.?????????????14分16、（2012萊3月模）已知函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求數(shù)a的取范；（Ⅱ）令能否存在數(shù)a，當(dāng)（e是自然常數(shù)），函數(shù)的最小是

3，若存在，求出的；若不存在，明原由；（Ⅲ）當(dāng)，明：(22).解：解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，令，有得

????3分所以.

????4分（Ⅱ）假存在數(shù)

a，使有最小

3，.

????5分①當(dāng)，

g(x)在[0

，e]上減，（舍去）.②當(dāng)，g(x)在上減，在上增，所以，足條件

.③當(dāng)，

g(x)在[0

，e]上減，（舍去）

.上，存在數(shù)，使適合，

g(x)有最小

3.

????10分(Ⅲ)令，由（

2）知，令，，當(dāng)，，在上增，所以.所以,即.

????14分17、（2012青二模）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的極大；（Ⅱ）令（常數(shù)），判斷函數(shù)的性；（Ⅲ）若任意，不等式均成立，求數(shù)的取范.解：（Ⅰ）,的定域;因?yàn)?，?當(dāng)，；當(dāng)，.在上增函數(shù)；在上減函數(shù)，從而.???????????????3分（Ⅱ），，???????????????4分①當(dāng),即，，在上增函數(shù)；??????????????????????5分②當(dāng)，即，.由,,（?。┤?，，，，在上增函數(shù)；??????????????????????7分(ⅱ)若，，，；，，在上增函數(shù),在上減函數(shù).綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).9分（Ⅲ）由,而，要對(duì)任意，不等式均成立，一定：與不一樣時(shí)為

0.

11分因當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

=0，所認(rèn)為滿足題意必有，即.

12分18、（2012青島

3月模擬）已知函數(shù)

.（Ⅰ）記，求的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象上存在相互垂直的兩條切線，務(wù)實(shí)數(shù)的值及相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)

.解：（Ⅰ）由已知：，,由，或,當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)，此時(shí)不存在極值；當(dāng)時(shí)，變化時(shí)，變化以下：0+0-0+極大極小由上表可知：.當(dāng)時(shí)，變化時(shí)，變化以下：+0-0+極大極小由上表可知：.（Ⅱ）設(shè)兩切點(diǎn)分別為，則即，方程的鑒識(shí)式,即,又，從而可得：上式要成立當(dāng)且僅當(dāng)，或此時(shí)方程的解為.，存在，此時(shí)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線和在點(diǎn)處的切線相互垂直.19、（2012日照5月模擬）已知二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（Ⅰ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線，證明切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1；

.設(shè)函數(shù).（Ⅱ）令，若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。解：（Ⅰ）∵

-a

是二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，∴

b=0..

2分設(shè)切點(diǎn)為則切線的斜率.整理得.明顯，是這個(gè)方程的解.4分又因?yàn)樵冢?，）上是增函數(shù)，所以方程有獨(dú)一實(shí)數(shù)解。故.6分（Ⅱ）7分設(shè)則.8分易知在上是減函數(shù)，從而.1）當(dāng)2-a0，即時(shí)，，h(x)在間（0，1）上是增函數(shù)。∵在上恒成立，即在上恒成立?！郌(x)在區(qū)間上是減函數(shù)。所以，滿足題意.10分2）當(dāng)2-a<0，即a>2時(shí)，設(shè)函數(shù)的獨(dú)一零點(diǎn)為，則在（0，）上遞加，在上遞減。又∵.又∵，h(x)在（0，1）內(nèi)有獨(dú)一一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，h（x）<0,當(dāng)時(shí)，h(x)>0.從而F（x）在（0，）遞減，在（，1）遞加，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾。∴a>2不合題意.綜合（1）（2）得，.即a的取值范圍是.14分20、（2012威海二模）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（Ⅱ）談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∴．∵的定義域?yàn)?，∴由得?--------------------------2分∴在區(qū)間上的最值只可能在取到，而，∴．---------------------------4分（Ⅱ）．①當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減；-------------5分②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞加；----------------6分③當(dāng)時(shí)，由得或（舍去）∴在單調(diào)遞加，在上單調(diào)遞減；--------------------8分綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞加；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞加，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；-----------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，即原不等式等價(jià)于---------------------------10分即整理得∴，----------------------------11分又∵，所以的取值范圍為.--------------------