初高中數(shù)學(xué)銜接讀本本校本教材

初高中數(shù)學(xué)銜接讀本前言各位新同學(xué)，歡迎來(lái)到一中，你們將在這里度過(guò)緊張而愉快的三年。數(shù)學(xué)是一門(mén)重要的課程，其地位不容置疑，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)過(guò)很多數(shù)學(xué)知識(shí)，這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而且現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)”：1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。2．因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到，如解方程、不等式等。3．二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4．初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5．二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類(lèi)題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專(zhuān)門(mén)的講授。6．圖像的對(duì)稱(chēng)、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題必須掌握。7．含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8．幾何部分很多概念（如重心、垂心、外心、內(nèi)心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分線定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。有鑒于此，特編寫(xiě)該讀本，供教學(xué)之用，希望認(rèn)真學(xué)習(xí)。目錄數(shù)與式的運(yùn)算絕對(duì)值乘法公式二次根式1.1.4分式分解因式一元二次方程根的判別式根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）2．2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)的三種表示方式二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用方程與不等式二元二次方程組解法一元二次不等式解法3．1相似形3.1.1．平行線分線段成比例定理相似形三角形三角形的“四心”幾種特殊的三角形3．3圓直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系圓冪定理及其應(yīng)用1.1數(shù)與式的運(yùn)算1?1?1■絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即a,a>0,a1=<0,a=0,-a,a<0.絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：a-b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.例1解不等式：|x-1|+|x-3>4.解軍法一:由x—1=0，得x=1；由x—3=0，得x=3；右x<1，不等式可變?yōu)椤?x—1)—(x—3)>4,即一2x+4>4,解得xV0,又xV1，?°?xV0；右1Wx<2，不等式可變?yōu)?x—1)—(x—3)>4，即1>4，?不存在滿足條件的x；若x>3，不等式可變?yōu)?x—1)+(x—3)>4，即2x—4>4，解得x>4.又x〉3?x>4.Ix—3I綜上所述，原不等式的解為T(mén)OC\o"1-5"\h\zPCABDxV0，或x>4.x0134x解法二：如圖1.1一1，|x—1|表示x軸7Ix—1I上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間圖1-1—1的距離IPAI，即IP4I=Ix—1I；Ix—3I表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為3的點(diǎn)B之間的距離IPBI,即IPBI=Ix—3I.所以，不等式|x—1+|x—3>4的幾何意義即為IPAI＋I(xiàn)PBI>4.由IABI=2，可知

點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè).xVO,或x>4.練習(xí)填空：若|x|=5，貝Vx=；若|x|=|一4|，貝Vx=.如果|a|+b=5，且a=-1，則b=;若|1一C=2，則2．選擇題：下列敘述正確的是()(A)若|a=b，則a=b(B)若|a>b，則a>b(C)若a<b，則|a<|b|(D)若|a=|b|，則a=±b3.化簡(jiǎn):Ix-5I-I2x-131(x>5).1.1.2.乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：平方差公式(a+b)(a-b)=a2一b2；(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：立方和公式立方差公式三數(shù)和平方公式兩數(shù)和立方公式兩數(shù)差立方公式(a+b)(a2一ab+b2)=a3立方和公式立方差公式三數(shù)和平方公式兩數(shù)和立方公式兩數(shù)差立方公式(a一b)(a2+ab+b2)=a3一b3；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a一b)3=a3一3a2b+3ab2一b3.對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.例1計(jì)算：(x+1)(x一1)(x2一x+1)(x2+x+1).解法—:原式=(x2-1)[(x2+1)2—x2=(x2一1)(x4+x2+1)=x6一1．

解法二：原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6一1.例2已知a+b+c二4，ab+bc+ac二4，求a2+b2+c2的值解：a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ac)=8.練習(xí)1.填空(1)a2一b2=(丄b+1a)(9423)；(2)(4m+)2=16m2+4m+()；(3)(a+2b一c)2=a2+4b2+c2+()．選擇題：2.⑴若x2+2mx+k是一個(gè)完全平方式，則k等于A)m2A)m2C)1m23(D)丄m216不論a不論a,b為何實(shí)數(shù),a2+b2一2a一4b+8的值((A)(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)(C)(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3．二次根式一般地，形如和萬(wàn)(a>0)的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱(chēng)為無(wú)理式?例如3a+￡a2+b+2b，<a2+b2等是無(wú)理式，而v'2x2+—x+1，x2+42xy+y2，V02等是有理式.1．分母(子)有理化把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如空2與€2，3贏與

v；a，爲(wèi)+76與爲(wèi)-^6,2払-3遠(yuǎn)與2、込+3邁,等等.一般地，a五與長(zhǎng),a\x+bpy與aPx-bQy,a^x+b與a^x-b互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程.在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式=麗(a>0,b>0)；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式.二次根式*02的意義aa,a>0,a-a,a<0.例1將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：(1)J12b；(2)p'a2b(a>0)；(3)(4x6y(x<0).解：(1)7T2F二2^3b；\；'a2b=問(wèn)劭=a、；b(a>0)；J4x6y=2x^yy=-2x3羽(x<0).例2計(jì)算：朽十(3-冋.解法一：<3十解法一：<3十(3-、曲3-爲(wèi)再?(3+島—

(3-再)(3+、③3朽+39-33(訂+1)6

解法二：、迫(3<3)_F"33Q'31)1731Q31)(31)例3V31試比較下列各組數(shù)的大小(1)vi2<11和m<10；2(2)：一和20J6.解：(1)解：(1)???J邁仃近刁拒<10皿J'10C/12vH)(12.JU)712Q(JiiJ10)(Jii叮'10)X.T110例4解：又砸vi1Ji廠vio,???価<11v；TT掘.⑵???2抱—62亍6又4>趴26十4>*6+2\；2,?*.v2、：2—訂6.(2-;2—/6)(2.;2^6)2^2+76化簡(jiǎn)：(“3v'2)2004C;3<2)2005(<3<2)2004(J3<2)2005_(摳<2)2004(摳巨)2004(罷<2)_C/3<2)極<2)2004(摳腦22+J6'=12004弟-41)2)x2+—-2(02)x2+—-2(0<x<1).X2例5化簡(jiǎn)：(1)9-4岳；解：(1)原式=\；5-4J5+4^.■'(<5)2-2x2^5+22=\：；(2-?=2-^5=頁(yè)—2.(2)原式=”：(x—)2=x?/0<x<1,所以，原式=--x.x例6已知x=詈2‘y=壽’求3x2一5xy+3y2的值-解：；x+y=^j+黒=（俁②+0、湖=10-xy=^B=1,3+兀2<3-H23x2一5xy+3y2=3(x+y)2一11xy=3xIO2-11=289.練習(xí)1．填空：(1)』1+*3右J(5-x)(x-3)2=(x—3)>/5-x，則x的取值氾圍是___4姮-6辰+3頃-271^0=；⑷若x今，則yfx+1-Jx-1豐Jx+1+Jx-1

\X+1+x；X—1X+1—、■X⑷若x今，則2．選擇題：等式「亠二上成立的條件是()X—2vx—2(A)X豐2(B)x>0(C)X>2(D)0<x<2若b二空2二上匕2，求°+b的值.a+1比較大?。?—.'3-,；'5—■'4(填“〉”，或“V”).1.1.4分式1．分式的意義AAA形如-的式子，若B中含有字母，且B豐0,則稱(chēng)-為分式.當(dāng)M丸時(shí)，分式-BBB具有下列性質(zhì)：AAxM;~B~BxM，上述性質(zhì)被稱(chēng)為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式a像工，竺中這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d2mn+p例1若空土-d+—土，求常數(shù)A,B的值.X(X+2)XX+2ABA(X+2)+BX(A+B)X+2A5X+4解牛：?一+———XX+2X(X+2)X(X+2)X(X+2).JA+B—5,…〔2A-4,解得A—2,B—3．例21)試證：1=1-丄(其中n是正整數(shù))n(n+1)nn+12)計(jì)算：111++.…+

1x22x39x103)證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)"，有圭+總詁151)證明：1(n+1)-n1)證明：==nn+1n(n+1)n(n+1)1=1-丄(其中n是正整數(shù))成立.n(n+1)nn+12)解：2)解：由1)可知11++…?+1x22x39x10=(1_丄)+(丄-丄)+?..+(--丄)239103)證明：3)證明：???￡+柑+???+1n(n+1)又n>2且n是正整數(shù),1<2???農(nóng)+1<2?11++?—+2x33x4n(n+1)例3例3設(shè)e=—，且e〉l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.a解：在2c2—5ac+2a2=0兩邊同除以a2，得2e2-5e+2=0,/.(2e-1)(e—2)=0,=2v］，1.填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n，2.選擇題：舍去；或e=2.n(n+2)n+2);若4=2，則蘭=

x+y3y(A)lB)3.正數(shù)x,y滿足x2—y2=2xy,54

求口的值.x+y4(C)45(D)54.111+...+199x100習(xí)題1.1A組1.解不等式：(1)x—1>3；x+3|+x(1)x—1>3；x—1+x+1|>6.2.已知x+y=1，求x3+y3+3xy2.3.3.填空：(1)(2+爲(wèi))18(2—朽)19=⑵右(1—a)2+(1+a)2=2，則a的取值氾圍是.1=⑶^2^3^3^4+?4^5+?5^6=1.選擇題：右甘—a—b—2ab=-J—b—\—a,(A)a<b(A)a<b(B)a>bC)a<b<0D)b<a<0(2)計(jì)算aj-1等于

a(A(2)計(jì)算aj-1等于

a(A)、】—a(B)Ua2．填空：(C)r—a()(D)—、：a1)3a2一ab3a2+5ab一2b2x2+3xy+y2(2)右x2+xy—2y2=0，貝y—\o"CurrentDocument"x2+y2—!—已知：x—y—1,求丄亠—J的值.23x-、：yx+y解方程2(x2+丄)-3(x+丄)—1—0.\o"CurrentDocument"x2x5．計(jì)算：1+1X311+——2x43x519X11分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；x2—(a+b)xy+aby2；(4)xy—1+x—y．解：(1)如圖1.2—1,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一3x,就是x2—3x+2中的一次項(xiàng)，所以，有x2—3x+2=(x—1)(x—2).—2—26—ay—by圖1.2——2—26—ay—by圖1.2—1圖1.2—2圖1.2—3圖1.2—4說(shuō)明：今后在分解與本例類(lèi)似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1.2—1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示(如圖1.2—2所示).?(e+zk)(e+k)h(e+k)e+(e+k)zkh(6+KE)+(zKE+gK)HKE+zKE+6+gK(I),+K寸—Zi—O+ZKZ(e)』——ei??(底也?呂)(I+e(I——乂)NI——(i——K)+OHi—K+I—o(寸)3qIK)(ib—K)HBqb+xk(q+b)—ZKe4——e.IKffi(E)?(9+申+2eKffi(e)isfrlCMCM?(K—K)(乂—乂^采顒@冋輾(0卄3+kq+

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9—(i「—K寸)—(i+K)(i—Ke)H9—(5—寸)—(e—i+ez)n9—+寸—ei—ZCV+ez

?(E—i+K)(e+i—Ke)H(Eli)(z—i)—K(寸—i)+zKZH

9li」+Zi—K(寸—i)+zKZH9—i」+K寸—zi—a+ZKZ(e)?(e+zk)(e+k)hla+zx(i+h)—z(i+h)=z+(i+k)」h&+g(-+H)H一中校本課程一中校本課程22．分解因式：(1)x2＋6x＋8；(3)x2－2x－1；1．分解因式：(1)a3+1；(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1)x2-5x+3；(3)3x2+4xy-y2；(2)x2+4xy一4y2.解：(1)令x2+2x-1=0,則解得x=-1+*2,x=-1-畧2,12x-(-1-春'2)]??x2+2x—1=x-(-1-春'2)]=(x+1-冷'2)(x+1+邁)?

(2)令x2+4xy-4y2=0,貝V解得x=(-2+2迄y,x=(-2-2j2)y,11x2+4xy-4y2=[x+2(1-y2)y][x+2(1+x/2)y].練習(xí)1．選擇題：多項(xiàng)式2x2-xy-15y2的一個(gè)因式為()2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y(2)8a3－b3；(4)4(x-y+1)+y(y-2x)．習(xí)題1.2(2)4x4-13x2+9；3x2+5xy-2y2+x+9y-4(2)x2—2\2x—3；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12．3.AABC三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，試判定AABC的形狀.4?分解因式：x2+x—(a2—a).2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),用配方法可以將其變形為(X(X+—)2=2ab2-4ac4a2因?yàn)閍主0,所以，4a2>0.于是當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根-b土*b2一4acx12—1,22a當(dāng)b2-4ac—0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根—x—x2—b2ab(3)當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(x+—)2一2a定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c—0(a#0)的根的情況可以由b2-4ac來(lái)判定，我們把b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c—0(a主0)的根的判別式，通常用符號(hào)“A”來(lái)表示.綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),有當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根-b±\；'b2一4acx12—1,22a當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根bx1一x2一——；122a當(dāng)AV0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根,寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根.2)x2-ax-1一0；(4)2)x2-ax-1一0；(4)x2—2x+a一0.3)x2-ax+(a-1)一0；

解：(1)???A=32—4xlx3=—3V0,???方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.該方程的根的判別式A=a2—4x1x(—1)=a2+4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根a+*；a2+4a—\a2+4x二-，x二1222由于該方程的根的判別式為A=a2—4x1x(a—1)=a2—4a+4=(a—2)2,所以,當(dāng)a=2時(shí)，A=0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1；當(dāng)a扯時(shí)，A>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X]X]=1,兀2=a1?3)由于該方程的根的判別式為A=22—4x1xa=4—4a=4(1—a),所以①當(dāng)A>0,即4(1—a)>0,即aV1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x—1+、：1—a,x—1—*1—a；12②當(dāng)A=0,即a=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1；當(dāng)AVO,即a>1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.說(shuō)明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化,于是,在解題過(guò)程中,需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論,這一方法叫做分類(lèi)討論?分類(lèi)討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法,在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題?根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

則有-b+\；'b2一4ac-b一審b2一4ac則有-b+\；'b2一4ac-b一審b2一4acx+xxx所以，2a2a-b7'b2一仏+-b一%2一4ac-2b2a2a2a-b+、】b2-4ac-b-\b2-4acb2-(b2-4ac)4ac2a2a次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果OT2+加+c=O（Q#0的兩根分別是X],X2,那么X]+x2=--,XfX2=—?這aa一關(guān)系也被稱(chēng)為韋達(dá)定理?特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若X],x2是其兩根,由韋達(dá)定理可知x1x1+x2=－p,X]?X2=q,艮卩p=一（兀]+兀2）,q=X]?兀2，所以，方程X2+px+q=0可化為X2—（x]+x2）x+x]^X2=0,由于X],X2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根，所以，X],x2也是一元二次方程x2—（x]+x2）x+x]^x2=0?因此有以兩個(gè)數(shù)X],x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是X2—（X]+X2）X+X]?X2=0?例2已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值.分析：由于已知了方程的一個(gè)根,可以直接將這一根代入,求出k的值,再由方程解出另一個(gè)根?但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理,又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題,即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值.解法一：T2是方程的一個(gè)根，.*.5x22+kx2—6=0,?*.k=—7.3所以，方程就為5x2—7x—6=0,解得X[=2,X2=—-.]253所以，方程的另一個(gè)根為一-，k的值為一7.5解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為X],貝V2x1=^^,^x=-.11515-k由（一一）+2=—一，得k=—7.55-所以，方程的另一個(gè)根為一-，k的值為一7.5例3已知關(guān)于x的方程x2+2（m—2）x+m2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21,求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)X],x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得兀]+兀2=一2（m2），X]?X2―m2+4.?X]2+x22一X]?X2=21，（兀]+兀2）2—3X]?X2=21，即[一2（m一2）]2一3（m2+4）=21，化簡(jiǎn)，得m2一16m一17=0，解得m=—1，或m=17.當(dāng)m=一1時(shí)，方程為x2+6x+5=0，A>0，滿足題意；當(dāng)m=17時(shí)，方程為x2+30x+293=0,A=302—4x1x293VO,不合題意，舍去.綜上，m=17．說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可.（2）在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式A是否大于或大于零.例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為一12，求這兩個(gè)數(shù)．分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x,y,利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù).也

可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，貝Vx+y=4,①xy=—12.②由①，得y=4—x,代入②，得x(4—x)=—12,即x2—4x—12=0,??X]=—2,x?―6..[x=—2,[x=6,??「6,叫；712因此,這兩個(gè)數(shù)是—2和6．解法二：由韋達(dá)定理可知,這兩個(gè)數(shù)是方程x2—4x—12=0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程,得x1=—2,x2=6．所以,這兩個(gè)數(shù)是—2和6．說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn),解法二(直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題)要比解法一簡(jiǎn)捷．例5若x]和x2分別是一元二次方程2x2+5x—3=0的兩根.求IX1—X2I的值；11求丄+丄的值；x2x212x13+x23．解：TX]和x2分別是一元二次方程2x2+5x—3=0的兩根，53??X+X=一—,XX=-.1221221）?I1）?IX]—兀212=兀]2+X?2—2X]X?=（X]+X?）2—4X]X?=（一|）2一44一中校本課程一中校本課程一中校本課程37一中校本課程37=25+6二492)11X22)11X2+x2+=2X2X2X2-X21212(X+X)2-2XX121

(XX)21253(-2)2-22(-2)25+3(-2)2(3)X13+x23=(X1+x2)(X12—X1X2+X22)=(X1+X2)[(X]+x2)2—3X]X2]TOC\o"1-5"\h\z553215\o"CurrentDocument"=(—)x[(—)2—3x(-)]=—?\o"CurrentDocument"2228說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)X1和X2分別是次方程aX2+bX+c=0(a主0),則-b+、；b2一4ac-b-、；b2一4ac-b+Jb2-4ac-b-Jb2一4ac2xjb2-4ac2a2a2a2a2a2\：b2-4acv'AIX]—X2I=|a||a||a|于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2+〃x+c=0(a#0),則x1—x2i=-(其中AIaI=b2—4ac)．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論．例6若關(guān)于X的一元二次方程X2—X+a—4=0的一根大于零、另一根小于零求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)X],x2是方程的兩根，則TOC\o"1-5"\h\zX]X2=a—4V0,①且A=(—1)2—4(a—4)>0.②由①得aV4,17由②得aV_4-:?a的取值范圍是aV4.練習(xí)1．選擇題：TOC\o"1-5"\h\z方程x2-2p3kx+3k2=0的根的情況是()(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒(méi)有實(shí)數(shù)根若關(guān)于x的方程mx2+(2m+l)x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()(A)mV(B)m>—丄44(C)mV—，且m主0(D)m>——，且m主0442．填空:——若方程x2—3x—1=0的兩根分別是x—和x2，則一+一=.\o"CurrentDocument"12xx—2方程mx2+x—2m=0(m#0)的根的情況是.以一3和1為根的一元二次方程是.已知Ja2+8a+16+1b-11二0，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2+ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？已知方程x2—3x—1=0的兩根為x1和x2，求(x1—3)(x2—3)的值.習(xí)題2.1A組1．選擇題:已知關(guān)于x的方程x2+kx—2=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()(A)—3(B)3(C)—2(D)2(2)下列四個(gè)說(shuō)法：方程x2+2x—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；方程x2—2x+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；7方程3x2—7=0的兩根之和為0,兩根之積為-—；3方程3x2+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)(3)關(guān)于x的一元二次方程ax2—5x+a2+a=0的一個(gè)根是0,則a的值是()(A)0(B)1(C)—1(D)0,或—1填空:TOC\o"1-5"\h\z方程kx2+4x—1=0的兩根之和為一2,則k=.方程2x2—x—4=0的兩根為a,卩，則a2+p2=.已知關(guān)于x的方程x2—ax—3a=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是(4)方程2x2+2x—1=0的兩根為兀］和x2，貝山兀］一x2l=.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2—(2m+l)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2—7x—l=0各根的相反數(shù).B組1．選擇題:已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2—8x+7=0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于()TOC\o"1-5"\h\z(A)(B)3(C)6(D)9若“，x2是方程2x2—4x+1=0的兩個(gè)根，則2+二的值為()12xx213(A)6(B)4(C)3(D)-2如果關(guān)于x的方程x2—2(l—m)x+m2=0有兩實(shí)數(shù)根a,卩，則a+p的取值范圍為()(A)a+p>2(B)a+p<2(C)a+p>1(D)a+p<1(4)已知a,b,c是AABC的二邊長(zhǎng)，那么方程cx2+(a+b)x+4=0的根的情況是()(A)沒(méi)有實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根TOC\o"1-5"\h\z若關(guān)于x的方程x2+(ki—1)x+k+1=0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為()(A)1,或－1(B)1(C)－1(D)02．填空:若m,n是方程x2+2005x—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m2n+mn2—mn的值等于.如果a,b是方程x2+x—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3+a2b+ab2+b3的值是?3．已知關(guān)于x的方程x2—kx—2=0．求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1+x2)>x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩根為x1和x2.求：(1)Ix〔一x2l和"1+“2；122(2)x13+x23．關(guān)于x的方程x2+4x+m=0的兩根為x1，x2滿足Ix1—x2I=2，求實(shí)數(shù)m的值.已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2—4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.3(1)是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x]—x2)(x1—2x2)=—成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；求使+■—2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；xx

21若k=—2，九二土，試求九的值.x2若關(guān)于x的方程x2+x+a=0的一個(gè)大于1、另一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2．2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y2.2.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)問(wèn)題1函數(shù)y=ax2與y=x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y=2x2,y=-x2,y=—2x2的圖象，通過(guò)這2些函數(shù)圖象與函數(shù)y=x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y=ax2與y=x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫(huà)出函數(shù)y先畫(huà)出函數(shù)y=x2,y=2x2的圖象.圖2.2-2圖2.2-2通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=ax2（a^0）的圖象可以由y=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到?在二次函數(shù)y=ar2（a^0）中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小.問(wèn)題2函數(shù)y=a（x+h）2+k與y=ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系.同學(xué)們可以作出函數(shù)y=2(x+l)2+l與y=2x2的圖象(如圖2-2所示)，從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y=2(x+1)2+1的圖象?這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn).類(lèi)似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y=—3x2，y=—3(x—1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a丹)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”.由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+2x)+c=a(x2+2x+)+c—TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"aa4a24a/b、b2-4ac=a(x+)2+\o"CurrentDocument"2a4a所以，y=ax2+bx+c(a#0)的圖象可以看作是將函數(shù)y=ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a丸)具有下列性質(zhì)：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開(kāi)口向上;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-?嚴(yán)嚴(yán))，\o"CurrentDocument"2a4a對(duì)稱(chēng)軸為直線x=—-b；當(dāng)xV―］時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x>-］時(shí)，y\o"CurrentDocument"2a2a2a隨著x的增大而增大；當(dāng)x=-b時(shí)，函數(shù)取最小值y=竺土?\o"CurrentDocument"2a4a當(dāng)aV0時(shí),函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開(kāi)口向下;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b，竺土)，2a4a對(duì)稱(chēng)軸為直線x=—b；當(dāng)xV-b時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>-b時(shí)，y\o"CurrentDocument"2a2a2a隨著x的增大而減?。划?dāng)x=丄時(shí)，函數(shù)取最大值y=竺二竺?2a4a上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來(lái)．因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題．

例1求二次函數(shù)y=—3x2—6x+l圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值(或最小值)，并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大(或減小)？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．解：Ty=—3x2—6x+1=—3(x+1)2+4,???函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱(chēng)軸是直線x=—1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,4)；當(dāng)x=—1時(shí)，函數(shù)y取最大值y=4；當(dāng)xV—1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>—1時(shí)，y隨著x的增大而減小;采用描點(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A（—1，4）），與x軸交于點(diǎn)B（^3-3,0）和C(-弋+3,0)，與y軸的交點(diǎn)為D(0,1),過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象(如圖2.2—5所示).說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．例2把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，求b，c的值.解法一：y=x2+bx+c=(x+-)2+c-竺，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左24平移4個(gè)單位，得到y(tǒng)=(x+2+4)2+C-罟+2的圖像，也就是函數(shù)y=x2的圖像，所以，

---4=0,<-解得b=~8,c=14.b-c-—+2=0,〔4解法二：把二次函數(shù)y=x-+bx+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y=x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2+bx+c的圖像.由于把二次函數(shù)y=x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=(x—4)2+2的圖像，即為y=x2—8x+14的圖像，.??函數(shù)y=x2—8x+14與函數(shù)y=x2+bx+c表示同一個(gè)函數(shù)，?：b=—8，c=14.說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律.這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn).今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題.例3已知函數(shù)y=x2，-2<x<a，其中a>-2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值.分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論.解：(1)當(dāng)a=—2時(shí)，函數(shù)y=x2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(一2,4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x=—2；當(dāng)一2VaV0時(shí)，由圖2.2-6①可知，當(dāng)x=—2時(shí)，函數(shù)取最大值y=4；當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取最小值y=a2；當(dāng)0<aV2時(shí)，由圖2.2-6②可知，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最大值y=4；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值y=0；當(dāng)a>2時(shí)，由圖2.2-6③可知，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取最大值y=a2；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值y=0.圖2.2-圖2.2-6說(shuō)明：在本例中，利用了分類(lèi)討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．練習(xí)1．選擇題：(1)下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是()(A)y=2x2(B)y=2x2—4x+2(C)y=2x2—1(D)y=2x2—4x(2)函數(shù)y=2(x—1)2+2是將函數(shù)y=2x2()向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2．填空題(1)二次函數(shù)y=2x2—mx+n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—2)，貝Vm=,n已知二次函數(shù)y=x2+(m—2)x—2m，當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．函數(shù)y=—3(x+2)2+5的圖象的開(kāi)口向，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為;當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取最值y=；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減小.求下列拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大(小)值及y隨x的變化情況，并畫(huà)出其圖象．(1)y=x2—2x—3；(2)y=1+6x—x2.已知函數(shù)y=—x2—2x+3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大(小)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：(1)x<—2；(2)x<2；(3)—2<x<1；(4)0<x<3.

二次函數(shù)的三種表示方式通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1?一般式：^=ax2+b;x+c(afi&)；2?頂點(diǎn)式：y=a(x+%)2+氐(a#0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一h,k)?除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示.為了研究另一種表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2+bx+c=0.①并且方程①的解就是拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為零)，于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y=ax2+bx+c(a列)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式A=b2-4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式A=b2-4ac存在下列關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a^0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax2+bx+c(a^0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則A>0也成立.當(dāng)A=0時(shí),拋物線y=ax2+bx+c(a^0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(拋物線的頂點(diǎn))；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則A=0也成立.當(dāng)AVO時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a^0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ar2+bx+c(a^0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則AV0也成立.于是，若拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x”x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，所以x〔+x2x〔+x2=——,12ax1x2=am).-=xix2bc以，y=ax2+bx+c=a(x2+x+)aa=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2).由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論：若拋物線y=or2+for+c(o#0)與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y=a(x—x1)(x—x2)(哄)?這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3?交點(diǎn)式：y=a(x—xj(x—x2)(a#0)，其中x、，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題?例1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，—1)，求二次函數(shù)的解析式?分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a?解：???二次函數(shù)的最大值為2,而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，???頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.又頂點(diǎn)在直線y=x+1上，所以，2=x+l,?x=l.?頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2)?設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+1(a<0),?二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，—l)，—1=a(3—2)2+1，解得a=—2.??二次函數(shù)的解析式為y=—2(x—2)2+1，即y=—2x2+8x—7.說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題.因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題.例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,求此二次函數(shù)的表達(dá)式.分析一：由于題目所給的條件中,二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式.解法一:???二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一3,0),(1,0),?°?可設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3)(x—1)(a主0),展開(kāi)，得y—ax2+2ax—3a,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為=-4a,4a由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2,1|—4al—2,即a—±_.2所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y—-x2+x--，或y——-x2-x+-.2222分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一3,0),(1,0),所以，對(duì)稱(chēng)軸為直線x——1,又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2,可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,或一2,于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解,然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(—3,0),或(1,0),就可以求得函數(shù)的表達(dá)式.解法二：???二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一3,0),(1,0),?對(duì)稱(chēng)軸為直線x——1.又頂點(diǎn)到x軸的距離為2,?頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,或—2.于是可設(shè)二次函數(shù)為y—a(x+1)2+2,或y—a(x+1)2—2,由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,0),???0—a(1+1)2+2,或0—a(1+1)2—2.11??a—,^或a22所以，所求的二次函數(shù)為y——-(x+1)2+2,或y—-(x+1)2—2.22說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題,在今后的解題過(guò)程中,要善于利用條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題.例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(—1,—22),(0,—8),(2,8),求此二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)該二次函數(shù)為y—ax2+bx+c(a#0).由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得—22=a—b+c,<—8=c,8=4a+2b+c,解得a=—2,b=12,c=~8.所以，所求的二次函數(shù)為y=—2x2+12x—8.通過(guò)上面的幾道例題,同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下,分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來(lái)求二次函數(shù)的表達(dá)式？練習(xí)1.選擇題:1)函數(shù)y=—x2+x—1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)無(wú)法確(2)函數(shù)y=—2(x+1)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()D)(—1,—2)A)(1,2)(B)(1,—2)(C)(—1D)(—1,—2)填空：(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與x軸交于點(diǎn)(一1,0)和(2,0),則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a(a#0).(2)二次函數(shù)y=—x2+^.；3x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為.根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的解析式.1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,—2),(0,—3),(—1,—6)；當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,11)；函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1—辺，0)和(1+寸20),并與y軸交于(0,—2).2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱(chēng)變換1．平移變換問(wèn)題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可．例1求把二次函數(shù)y=x2—4x+3的圖象經(jīng)過(guò)下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位．分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀(即不改變二次項(xiàng)系數(shù))，所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置(即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng))，所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式．解：二次函數(shù)y=2x2—4x—3的解析式可變?yōu)閥=2(x—1)2—1,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，—1)．把函數(shù)y=2(x—1)2—1的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,—2),所以,平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y=2(x—3)2—2.把函數(shù)y=2(x—1)2—1的圖象向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(—1，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y—2(x+1)2+2.2．對(duì)稱(chēng)變換

問(wèn)題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置或開(kāi)口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向來(lái)解決問(wèn)題．例2求把二次函數(shù)y=2x2—4x+l的圖象關(guān)于下列直線對(duì)稱(chēng)后所得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：直線x=—1；直線y=1.解：(1)如圖2.2—7，把二次函數(shù)y=2x2—4x+1的圖象關(guān)于直線x=—1作對(duì)稱(chēng)變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置，不改變其形狀.—2x2+12x+17.由于y=2x2—4x+1=2(x—1)2—1,可知，函數(shù)y=2x2—4x+1圖象的頂點(diǎn)為A(1,—1)，所以，對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的頂點(diǎn)為A1(—3,1),所以，二次函數(shù)y=2x2—4x+1的圖象關(guān)于直線x=—1對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的函數(shù)解析式為y=2(x+—2x2+12x+17.所得到圖象的函數(shù)解析式為y——2(x—1)2+3,即y——2x2+4x+1.二、分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)．例3在國(guó)內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g不超過(guò)40g付郵資160分，超過(guò)40g不超過(guò)60g付郵資240分，依此類(lèi)推，每封xg（0<x<100）的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）？寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象．分析：由于當(dāng)自變量x在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的.所以,可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)T在各個(gè)小范圍內(nèi)（如20<x<40）變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）.解：設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù).這個(gè)函數(shù)的解析式為'80,xe(0,20]160xe(20,40]y=”40,xe940,80]320xe(60,80]400,xe(80,100]由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖2.2－9所示．2.3方程與不等式2.3.1二元二次方程組解法方程x2+2xy+y2+x+y+6=0是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做二元二次方程.其中x2,2xy,y2叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，x,y叫做一次項(xiàng)，6叫做常數(shù)項(xiàng)．我們看下面的兩個(gè)方程組：Ix2-4y2+x+3y-1=0,〔2x-y-1=0;

Jx2+y2=20,[x2-5xy+6y2=0.第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．下面我們主要來(lái)研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法．一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來(lái)解例1解方程組x2+4y2-4=0,x-2y-2=0.分析：二元二次方程組對(duì)我們來(lái)說(shuō)較為生疏，在解此方程組時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式.注意到方程②是一個(gè)一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個(gè)元，再代入到方程①，得到一個(gè)一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題.解：由②，得x=2y+2，③把③代入①，整理，得8y2+8y=0，即y(y+1)=0.解得y1=0，y2=—1.把y1=0代入③，得x1=2；把y2=—1代入③，得x2=0.所以原方程組的解是Ix=2,Ix=0,Iy1=0，Iy2=-1.12說(shuō)明：在解類(lèi)似于本例的二元二次方程組時(shí)，通常采用本例所介紹的代入消元法來(lái)求解.

例2解方程組解法一：IX+y二7,|xy二12.解法一：由①，得x=7-y.把③代入②，整理，得y2—7y+12—0解這個(gè)方程，得y—3,y—4．12把y—3代入③，得x—4；11把y—4代入③，得x—3.22所以原方程的解是(x—4,(x—3,|y1-3，1y2—4.12解法二：對(duì)這個(gè)方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把x,y看作一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，通過(guò)解這個(gè)一元二次方程來(lái)求x,y.這個(gè)方程組的x,y是一元二次方程z2—7z—12—0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，得z—3，或z—4.所以原方程組的解是練習(xí)1.下列各組中的值是不是方程組x2+y2—13,x+y—5的解?

(1)；(1)；X=2，(2)；X=3，(3)；X=X〔y二3;〔y二2;〔y二4;2．解下列方程組:fy=x+5,(i)r[x2+y2=625;fx2y2(3)+T=hy=x-3；4)x=-2,

y=-3;x+y=3,xy=-10;y2=2x,x2+y2=8.一元二次不等式解法二次函數(shù)y=x2-x-6的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：x-3-2-101234y60-4-6-6-406由對(duì)應(yīng)值表及函數(shù)圖象（如圖2.3－1）可知當(dāng)x=-2,或x=3時(shí)，y=0,即x2-x=6=0；當(dāng)xV-2,或x>3時(shí)，y>0,即x2-x-6>0；當(dāng)-2<x<3時(shí),yVO,即x2-x-6<0.這就是說(shuō)，如果拋物線y=x2-x-6與x軸的交點(diǎn)是（-2,0）與（3,0）,那么一元二次方程x2-x-6=0的解就是x】=-2,x?二3；一元二次不等式x2-x-6>0的解是xV-2,或x>3；一元二次不等式x2-x-6<0的解是-2<x<3．上例表明：由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集．那么，怎樣解一兀二次不等式ax2+bx+c>0(a^0)呢？我們可以用類(lèi)似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象來(lái)解一兀二次不等式ax2+bx+c>0(a^0).為了方便起見(jiàn)，我們先來(lái)研究二次項(xiàng)系數(shù)a>0時(shí)的一元二次不等式的解.我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),設(shè)△=b2—4ac，它的解的情形按照△>O,A=O,AVO分別為下列三種情況——有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒(méi)有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒(méi)有公共點(diǎn)(如圖2.3—2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)與ax2+bx+c<0(a>0)的解．

當(dāng)A>0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)g,0)和(x2，0),方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X]和x2(X]Vx2),由圖2.3—2①可知不等式ax2+bx+c>0的解為xVX],或x>x2；不等式ax2+bx+cV0的解為X]VxVx2?當(dāng)A=0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，b方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x]=x2=—2^，由圖2.3—2②可知不等式ax2+bx+c>0的解為/b舜—2a；不等式ax2+bx+cV0無(wú)解.如果△V0,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由圖2.3—2③可知不等式ax2+bx+c>0的解為一切實(shí)數(shù)；不等式ax2+bx+cV0無(wú)解.今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以—]，將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式.設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)的兩根為x、x且x<x，]2]2A=b2-4ac，則三個(gè)“二次”之間的關(guān)系如下表：

A>0A二0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象y=ax2+bx+cy=1=a1\x2+bx+cp.y=ax2+bx+c丄o兀二次方程ax2+bx+c=0(a>0的根有兩相異實(shí)根x,x(x<x)1212有兩相等實(shí)根bx=x=-——1x2+2x2+2x-3<0；(2)x—x2+6V0；(3)4x2+4x+1>0；(4)x2-6x+9<0；(5)—4+x—x2<0.解：(l)TA>0,方程x2+2x—3=0的解是X]=—3，x?=1????不等式的解為—3<x<l?整理，得x2—x—6>0.VA>0,方程x2—x—6=0的解為X]=—2,X?=3?所以，原不等式的解為無(wú)實(shí)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集仁<x或x>x}12Ixx,-b]2aJRax2+bx+c<0(a>0)的解集4x<x<x}1200例3解不等式：

整理，得(2x+1)2>0.由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，???原不等式的解為一切實(shí)數(shù).整理，得(x-3)200.由于當(dāng)x=3時(shí)，(x-3)2=0成立；而對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,(x-3)2<0都不成立，???原不等式的解為5）整理，得x2-x+4>0.A<0，所以，原不等式的解為一切實(shí)數(shù).例4已知不等式ax2+bx+c<0(a豐0)的解是x<2,或x>3，求不等式bx2+ax+c>0的解.解：由不等式ax2+bx+c<0(a豐0)的解為x<2,或x>3，可知xV—xV—1，或x>5-a<0，且方程ax2+bx+c=0的兩根分別為2和3,???--=5,ac_66，a即b5c6—=-5,—=6.aa由于a<0，所以不等式bx2+ax+c>0可變?yōu)閎cx2+x+<0，aa即—5x2+x+6<0,整理，得5x2-x-6>0,所以，不等式bx2+ax-c>0的解是

說(shuō)明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題．例5解關(guān)于X的一元二次不等式x2+ax+1>0(a為實(shí)數(shù)).分析對(duì)于一元二次不等式，按其一般解題步驟，首先應(yīng)該將二次項(xiàng)系數(shù)變成正數(shù)，本題已滿足這一要求，欲求一元二次不等式的解，要討論根的判別式A的符號(hào),而這里的A是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式，A的符號(hào)取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據(jù)解題的需要，對(duì)A的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論.解：A=a2-4，①當(dāng)A>0,即a<-2或a>2時(shí)，方程x2+ax+1二0的解是所以，-a-y；所以，-a-y；a2-42，x2_-a+、：a2—4原不等式的解集為x<②當(dāng)A=0，即a=±2時(shí)，原不等式的解為③當(dāng)A<0，即-2<a<2時(shí)，原不等式的解為一切實(shí)數(shù).綜上，當(dāng)a<-2，或a>2時(shí)，原不等式的解是—a-7a2—4—a+pa2—4x<,或x>22當(dāng)-2<a<2時(shí),原不等式的解為一切實(shí)數(shù)．例6已知函數(shù)y=x2—2ax+l(a為常數(shù))在一2<x<l上的最小值為n，試將n用a表示出來(lái)．分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的位置有關(guān)，于是需要對(duì)對(duì)稱(chēng)軸的位置進(jìn)行分類(lèi)討論．解：*.*y—(x—a)2+1—a2，拋物線y—x2—2ax+1的對(duì)稱(chēng)軸方程是x—a.(1)若一2<a<l,由圖2.3-3①可知，當(dāng)x—a時(shí)，該函數(shù)取最小值n—1—a2；⑵若a<-2時(shí)，由圖2.3-3②可知，當(dāng)x—-2時(shí)，該函數(shù)取最小值n—4a+5；

⑵若a>l時(shí),由圖2.3-3③可知,當(dāng)x⑵若a>l時(shí),由圖2.3-3③可知,當(dāng)x=1時(shí)，該函數(shù)取最小值n=—2a+2.綜上，函數(shù)的最小值為4a+5,a<—2,n=[1一a2,一2<a<1,—2a+2,a>1.練習(xí)1．解下列不等式：(1)3x2-x-4>0;(3)x2+3x-4>0;(2)x2-x-12<0;(4)16-8x+x2<0.2．解關(guān)于x的不等式x2＋2x＋1－a2<0（a為常數(shù)）．習(xí)題2．3A組1．解下列方程組：(x一(x一3)2+y2=9,x+2y=0;―y2=1,4x一y一2=0;⑶f2+y2=4,Ix2一y2=2.

?解下列不等式：(1)3x2—2x+lV0；(2)3x2—4V0；(3)2x—x2>—1；(4)4—x2<0.B組1.m取什么值時(shí)，方程組y2二4x,Vy=2x+m有一個(gè)實(shí)數(shù)解?并求出這時(shí)方程組的解.2?解關(guān)于x的不等式x2—(1+a)x+aV0(a為常數(shù)).?已知關(guān)于x不等式2x2+bx—c〉0的解為x<—1,或x〉3?試解關(guān)于x的不等式bx2+cx+4>0.4?試求關(guān)于x的函數(shù)y=—x2+mx+2在0<x<2上的最大值k.3.1相似形■平行線分線段成比例定理在解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們常涉及到一些線段的長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比的問(wèn)題?在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長(zhǎng)度比./A/h/}B/C在一張方格紙上，我們作平行線1,1,1TOC\o"1-5"\h\z123(如圖3.1-1),直線a交1,1,1于點(diǎn)A,B,C,123AB=2,BC=3，另作直線b交1,1,1于點(diǎn)123A',B',C'，不難發(fā)現(xiàn)竺二蘭二2.B'C'BC3我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖3.1-2,1//1//1，有竺=匹?當(dāng)然，也可以得出竺二匹?在運(yùn)用該定123BCEFACDF理解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“對(duì)應(yīng)”線段成比例.例1如圖3.1-2,1//1//1,B,123B,且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF圖3.1-2

l//1//1,DE_^^DF_8,EF_^^DF_殳2+352+35例2在AABC中，D,E為邊AB,AC上的點(diǎn)，DE//BC,ADAEDE求證：__.ABACBC證明（1）???DE//BC,/.ZADE_ZABC,ZAED_ZACB,AADEAADEsAABC,AD_AE_DEAB_AC_BC證明（2）如圖3.1-3,過(guò)A作直線1//BC,?證明（2）如圖3.1-3,過(guò)A作直線1//BC,?.?1〃DE//BC,.AD_AE*AB"AC*過(guò)E作EF//AB交AB于D，得口BDEF,因而DE_BF.?.?EF//AB,/AE_BF_DEAD_AE_DEAB_AC_5C從上例可以得出如下結(jié)論：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.例3已知AABC，D在AC上，AD:DC_2:1，能否在AB上找到一點(diǎn)E，使得線段EC的中點(diǎn)在BD上.解假設(shè)能找到，如圖3.1-4，設(shè)EC交BD于F，則F為EC的中點(diǎn)，作EG//AC交BD于G?二圖3.1-4?.?EG//AC,EF_FC,△EGF二、CDF，且EG=DC,beEG1:.EG//AD^BEGfBAD，且一==—,BAAD2:.E為AB的中點(diǎn).可見(jiàn)，當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EC的中點(diǎn)在BD上.我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥?wèn)題時(shí)，常常先假設(shè)其存在,再解之，有解則存在，無(wú)解或矛盾則不存在.例4在AABC中，AD為ZBAC的平分線，求證:AB_BD證明過(guò)我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥?wèn)題時(shí)，常常先假設(shè)其存在,再解之，有解則存在，無(wú)解或矛盾則不存在.例4在AABC中，AD為ZBAC的平分線，求證:AB_BD證明過(guò)C作CE//AD,交BA延長(zhǎng)線于E,?ADCE「轄DAD平分ZBAC,.?.ZBAD=ZDAC,由AD//CE知/BAD=ZE，/DAC=ZACE,.?.ZE=ZACE,即AE=AC,AB_BDAC_DC*例4的結(jié)論也稱(chēng)為角平分線性質(zhì)定理,可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例（等于該角的兩邊之比）.1?如圖3.1-6,lIII〃l,下列比例式正確的是（）123人ADCEcADBCA.B?DFBCBEAF廠CEAD□AFBEDFBCDFCE圖3.1-62?如圖3.1-7,DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.3?如圖，在AABC中，AD是角BAC的平分線,AB=5cm,AC=4cm,3?如圖，在AABC中，AD是角BAC的平分線,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm，求BD的長(zhǎng).4?如圖，在aABC中，ZBAC的外角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證:AB_BD1C~~DC圖3.1-95?如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BD=CE,DE延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F.求證:DF_AC3.1.2相似形B例5如圖3.1-11，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,,BAC=/CDB，求證：/AC=/CBD.證明在z\OAB與△ODC中,A_AOB=乙DOC,乙OAB=ZODC,AOABaODC,=，即化ODODOCOBOC又卜OAD與卜OBC中，=，即化ODODOCOBOCAOADaOBC,ZDAC^ZCBD.

例6如圖3.1-12，在直角三角形ABC中，ZBAC為直角，ADLBC于D.(2)AD2=BDCD圖3.1-12求證：(1)AB2=BDBC,(2)AD2=BDCD圖3.1-12證明(1)在Rt^BAC與Rt^BDA中，/B=/B,BARC△SACs?da,,即AB2=RD?BC.?rdBA同理可證得AC2=CDCB.(2)在Rt^ABD與Rt^CAD中，/C=90。一/CAD=/BAD，ADdc-Rt^ABDsRt/^CAD,,即AD2=BD?DC.…RDAD我們把這個(gè)例題的結(jié)論稱(chēng)為射影定理，該定理對(duì)直角三角形的運(yùn)算很有用.例7在厶ABC中，ADLBC于D,DE丄AB于E,DFLAC于F,求證：AE^AB=AF^AC.證明-：AD丄BC,圖3.1-13AADB為直角三角形，又DELAB,圖3.1-13由射影定理，知AD2=AE^AB.同理可得AD2=AFAC.-AE-AB=AF^AC.??例8如圖3.1-14，在例8如圖3.1-14，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn),E為邊AC上的任意一點(diǎn),圖3.1-14⑴當(dāng)冀二―甘時(shí)，有第二和￡?（如圖3-1-14a）⑵當(dāng)鄭訂占時(shí)，有等4—如圖3-1-14b）⑶當(dāng)卜占時(shí)，有AP和￡?（如圖3-1-14c）AE1AO在圖3.1-14d中，當(dāng)竺—時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用n表示少AC1+nAD的一般結(jié)論，并給出證明（其中n為正整數(shù)）.解：依題意可以猜想：當(dāng)?shù)榷視r(shí)，有ID=三成立.證明過(guò)點(diǎn)D作DF//BE交AC于點(diǎn)F,D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，倉(cāng)點(diǎn)可知茜卜AE倉(cāng)點(diǎn)可知茜卜AE_2AE_2EFnAF2+nAO_AE_2ADAF2+n想一想，圖3.1-14d中，若A^=1，則AE?ADnAC本題中采用了從特殊到一般的思維方法?我們常從一些具體的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，進(jìn)而作出一般性的猜想，然后加以證明或否定?數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是不斷探索的歷史.練習(xí)2?如圖3.1-15,D是AABC的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作、TOC\o"1-5"\h\zDE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3,則S人：S1等ADE四邊形BCDE于（）E.■A.2:3B?4:9C?4:5D?4:21圖3.1-15?若一個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為15,—條對(duì)角線把中位線分成兩條線段.這兩條線段的比是3:2，則梯形的上、下底長(zhǎng)分別是.3?已知:AABC的三邊長(zhǎng)分別是3,4,5,與其相似的^A'B'C'的最大邊長(zhǎng)是15,求厶A'B'C'的面積SAA'B'C'4?已知：如圖3.1-16，在四邊形ABCD中，E、F、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)請(qǐng)判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說(shuō)明理由；G、圖3.1-16(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD滿足什么條件時(shí)，EFGH是菱形？是正方形?5.如圖3.1-17,點(diǎn)C、D在線段AB上,PCD是三角形，(1)當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，AACP等邊sHDB?(2)當(dāng)aACPsbPDB時(shí)，求ZAPB的度數(shù).圖3.1-17習(xí)題3.11?如圖3.1-18,△ABC中，AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,則()A.DE=1,BC=7B?DE=2,BC=6C.DE=3,BC=5D?DE=2,BC=8圖3.1-182?如圖3.1-19,BD、CE是AABC的中線，P、Q分別BD、CE的中點(diǎn)，則PQ:BC等于()A.1：3B?1：4C?1：5D?1：6圖3.1-19圖3.1-204?如圖3.1-21,圖3.1-204?如圖3.1-21,在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE交AC于F,過(guò)F作FG//AB交AE于G,求證：3?如圖3.1-20,口ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于點(diǎn)F,已知BE：AB=2：3,S4,BEF求*AG2=AFFC.1?如圖3.1-22，已知AABCAG2=AFFC.1?如圖3.1-22，已知AABC中，AE：EB=1：3,BD：DC=2：EFAF1,AD與CE相交于F,則一+一的值為（）FCFD\o"CurrentDocument"3A.—B.1C?D?2\o"CurrentDocument"2圖3.1-222?如圖3.1-23,已知AA