2023年安徽省銅陵市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)

2023年安徽省銅陵市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.A.等價(jià)無窮小

B.f(x)是比g(x)高階無窮小

C.f(x)是比g(x)低階無窮小

D.f(x)與g(x)是同階但非等價(jià)無窮小

2.函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π

3.微分方程y"-y=ex的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式為(下列各式中α、b為常數(shù))。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

4.

5.A.2xy+3+2yB.xy+3+2yC.2xy+3D.xy+3

6.下列關(guān)系正確的是（）。A.

B.

C.

D.

7.等于()．A.A.2B.1C.1/2D.0

8.

9.

10.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

11.設(shè)y=2x3，則dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

12.微分方程y"+y'=0的通解為

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

13.設(shè)函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內(nèi)（）A.A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.為常量D.不為常量，也不單調(diào)

14.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

15.

16.設(shè)Y=e-5x，則dy=()．

A.-5e-5xdx

B.-e-5xdx

C.e-5xdx

D.5e-5xdx

17.設(shè)y=3-x，則y'=（）。A.-3-xln3

B.3-xlnx

C.-3-x-1

D.3-x-1

18.設(shè)有直線當(dāng)直線l1與l2平行時(shí)，λ等于()．

A.1B.0C.-1/2D.-1

19.

等于()A.A.

B.

C.

D.0

20.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的階數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(20題)21.

22.微分方程y'=2的通解為__________。

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.設(shè)y=2x2+ax+3在點(diǎn)x=1取得極小值，則a=_____。

33.

34.設(shè)y=-lnx/x，則dy=_________。

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計(jì)算題(20題)41.

42.

43.求微分方程的通解．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

46.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

47.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

48.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．

49.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù)．

50.

51.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．

52.證明：

53.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．

54.

55.

56.

57.

58.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．

59.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量，則

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.求二元函數(shù)z=x2-xy+y2+x+y的極值。

66.

67.

68.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．

69.設(shè)ex-ey=siny，求y'。

70.求由曲線xy=1及直線y=x，y=2所圍圖形的面積A。

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.設(shè)函數(shù)

=___________。

六、解答題(0題)72.求函數(shù)f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的極值.

參考答案

1.D

2.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為羅爾定理的條件與結(jié)論．

由于y=sinx在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上滿足羅爾定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，從而應(yīng)有．

故知應(yīng)選C．

3.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項(xiàng)f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應(yīng)設(shè)定y*=αxex，因此選B。

4.C

5.C本題考查了一階偏導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。

6.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的性質(zhì)。

7.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式與無窮小性質(zhì)．

注意：極限過程為x→∞，因此

不是重要極限形式!由于x→∞時(shí)，1/x為無窮小，而sin2x為有界變量．由無窮小與有界變量之積仍為無窮小的性質(zhì)可知

8.B

9.A

10.A

11.B由微分基本公式及四則運(yùn)算法則可求得．也可以利用dy=y′dx求得故選B．

12.C解析：y"+y'=0，特征方程為r2+r=0，特征根為r1=0，r2=-1；方程的通解為y=C1e-x+C1，可知選C。

13.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)增加．因此選B．

14.C

15.C解析：

16.A

【評(píng)析】基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是常見的試題，一定要熟記基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式．對(duì)簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，應(yīng)該注意由外到里，每次求一個(gè)層次的導(dǎo)數(shù)，不要丟掉任何一個(gè)復(fù)合層次．

17.Ay=3-x，則y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此選A。

18.C解析：

19.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的性質(zhì)．

由于當(dāng)f(x)可積時(shí)，定積分的值為一個(gè)確定常數(shù)，因此總有

故應(yīng)選D．

20.B

21.(03)(0,3)解析：

22.y=2x+C

23.-3e-3x-3e-3x

解析：

24.

本題考查了一元函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。

25.-2sin2-2sin2解析：

26.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式．

27.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析：

28.00解析：

29.x=-3

30.-2y

31.(sinx+cosx)exdx(sinx+cosx)exdx解析：

32.

33.

34.

35.2x

36.

37.

38.1/e1/e解析：

39.

40.2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限運(yùn)算．

由于所給極限為“”型極限，由極限四則運(yùn)算法則有

41.

42.

43.

44.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

46.由二重積分物理意義知

47.

48.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.由一階線性微分方程通解公式有

56.

57.

則

58.

列表：

說明

59.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

60.由等價(jià)無窮小量的定義可知

61.解法1原式(兩次利用洛必達(dá)法則)解法2原式(利用等價(jià)無窮小代換)本題考查的知識(shí)點(diǎn)為用洛必達(dá)法則求極限．

由于問題為“∞-∞”型極限問題，應(yīng)先將求極限的函數(shù)通分，使所求極限化為“”型問題．

如果將上式右端直接利用洛必達(dá)法則求之，則運(yùn)算復(fù)雜．注意到使用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，如果能與等價(jià)無窮小代換相結(jié)合，則問題常能得到簡(jiǎn)化，由于當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，因此

從而能簡(jiǎn)化運(yùn)算．

本題考生中常見的錯(cuò)誤為：由于當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，因此

將等價(jià)無窮小代換在加減法運(yùn)算中使用，這是不允許的．

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.相應(yīng)的齊次微分方程為y"-y'-2y=0．其特征方程為r2-r-2=0．其特征根為r1=-1，r2=2．齊次方程的通解為Y=C1e-x