2013年全國(guó)入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題

6矩

aba）（00分)

B(數(shù)a2,b【答

a2,b（7）設(shè)X,X,X是隨量，且X～N(0,1)，X～N(0,22)， ～N(5,32) 【答

量X～t(n)，Y～F(1,n)給定(00.5)常數(shù)c滿足PXc，則PYc2（ 【答

(D)1二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上設(shè)函數(shù)yf(x)由方程yxex(1y)確定， 11 limnf( n 【答案】 方程的3個(gè)解，則該方程的通解y 【答案】CexCe3x d2d2

設(shè)y

（t為參數(shù)）， tt42【答案2（12）lnxdx 【答案】ln 【答案】（14）Y1aPYa1Ya 【答案】1三、解答題：15~23小題，共94分，請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)1 xln(t（15）（本題滿分10分）計(jì)算 xdx，其中f(x)

t【詳解】

1

1f(x)dx xf(x)

1x x x21xln(1x)dx21ln(1x)dx41ln(1x)dx 14xln(11

41

（設(shè)x04ln28

01（16）（本題滿分10分）設(shè)數(shù)列an滿足條a03a11an2n(n1)an(n2)S(x)

a

n（Ⅰ）S(x)S(x)0（Ⅱ）求S(x)的表達(dá) n 【詳解】由題意S(x

axn

． S(x)n(n1)axn2(n1)(n2)a

n所以S(xS(x 特征方程為210，得1．通解為S(x)CexCex．由S(xa03S(xa11得C12C21．所以S(x)2exe x3x

)e

的極值

【詳解

y

(1

3解得

xy yx

y3A2

B2

e

C2

e

ACB22e3

1e3 x

y

，3，

A0，故不是極值點(diǎn)（18）（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)f(x在[1,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)1，證（Ⅰ）存在(0,1，使f()（Ⅱ）存在(1,1，使f(f()1【詳解】（Ⅰ）f(xf(0)0f(1)1f(x在區(qū)間[0,1]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在(0,1)f(1)f(0)f()(10)f()1因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)是偶函數(shù)，所以f()令F(x)ex(f(x)1，有F()F()0F(x)exf(x)ex(f(x)1)，對(duì)F(x在區(qū)間[,上應(yīng)用羅爾定理，存在(,(1,1)，使得F()0，從而有f()f()1（19）（本題滿分10分）設(shè)直線L過(guò)A(1,00)、B(0,1,1)兩點(diǎn)，將Lz軸旋曲面與平z0z2所圍成的立體為求曲面求AB11直線方x0

y1

z11z軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程x2y2x20y20z21顯然形心坐標(biāo)x0y2 2

z

0

7 2 0 7形心坐標(biāo)(0,0,5 1 （20）（本題滿分11分）設(shè)A ，B ，當(dāng)a,b為 使得ACCAB，并求所有矩陣C 【詳解】設(shè)C 4 xax axxax xxx

0

1其增廣A?

1

0 1 1

?)1 1 1解得此方程組的通解為

l（ 1 0 0 0 1 0kl 故C （21）（10分） 1 2 3 1 2 3f(x,x,x)2(axax 1 2 3 1 2 3 記 ，b2 2a b3 3證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2TT 若,正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2y2 1 2 3 1 2 3【詳解】（Ⅰ）f(xxx2(axax 1 2 3 1 2 3所以二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2T（Ⅱ）記A2TA2TT)22A的特征值A(chǔ)2TT)1A的特征值 f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2y2 （22）（本題滿分11分）設(shè) 量X的概率密度為f(x)

1x2,0x9

，令 X

量YX,1X2 X求Y的分布函數(shù)求概率PXY【詳解】（Ⅰ）Y的分布函數(shù)FYyPY①y②y

FYyFYy③1y2PYy,1X2PX2 1 19 y191 1 19

1

3327 P0X2 0 9

2 3

，其中為知參數(shù)且大于零。X1X2?Xn為來(lái)自總X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本求的矩估計(jì)量求【詳解 2

2 exdxex2

(limexlimex) 0?1 1?