高數(shù) 第十一章 無窮級數(shù)第四講 冪級數(shù)

第四講冪級數(shù)授課題目(章節(jié))：§11.3冪級數(shù)教學目的與要求：了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法；了解冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，會求冪級數(shù)的和函數(shù)。教學重點與難點：冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法講授內(nèi)容：一、函數(shù)項級數(shù)的概念定義1.u(x),u(x),,u(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列，稱和式12nu(x)+u(x)++u(x)+為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù)，記為￡u(x)TOC\o"1-5"\h\z1 2 n n??????n=1定義2.若xeI.,.常數(shù)項級數(shù)u(x)收斂，則稱x為函數(shù)項級數(shù)藝u(x)的收斂點;0 n0 0 nn=1若xeI，常數(shù)項級數(shù)u(x)發(fā)散，則稱x為函數(shù)項級數(shù)藝u(x)的發(fā)散點；

0 n0 0 nn=1藝u(x)的收斂點(發(fā)散點)的全體稱為藝u(x)的收斂域(發(fā)散域)。nnn=1 n=1定義3.在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)藝u(x)的和是關(guān)于x的函數(shù)，稱之為和函數(shù)s(x)。nn=1即在收斂域上，￡u(x)=s(x)nn=1例求函數(shù)項級數(shù)1+x+x2+ +xn+的收斂域及和函數(shù)。二、冪級數(shù)及其收斂域定義4.函數(shù)項級數(shù)a+a.x+ax2土+axn+稱為關(guān)于x的幕級數(shù)，記為0 1 2 n藝axn；(x=0時，藝axn收斂)nnTOC\o"1-5"\h\zn=0 n=0函數(shù)項級數(shù)a+a(x-x)+a(x-x)2++a(x-x)n+稱為關(guān)于(x-x)的幕0 1 0 2 0 n0 0級數(shù)，記為無a(x一x)n。\o"CurrentDocument"n 0??????n=0定理1.(Abell定理)如果幕級數(shù)無axn當x=x(x豐0)時收斂，則IxI<IxI時,n 0 0 0n=0無axn絕對收斂；如果區(qū)axn當x=x時發(fā)散，則IxI>IxI時，無axn發(fā)散。n n 0 0 nn=0 n=0 n=0推論如果幕級數(shù)另axn不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則nn=0必有一個正數(shù)R，使得當Ixl<R時，幕級數(shù)藝axn絕對收斂；nn=0當IxI>R時，幕級數(shù)無axn發(fā)散；nn=0當x=±R時，幕級數(shù)無axn可能收斂可能發(fā)散。nn=0定義5.正數(shù)R稱為幕級數(shù)無axn的收斂半徑；區(qū)間(-R,+R)稱為幕級數(shù)無axn的nnn=0 n=0收斂區(qū)間。注：(1)若無axn僅在x=0一點收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0，這時收斂域為點x=0nn=0(2)若三axn在整個數(shù)軸上都收斂，則規(guī)定收斂半徑R=+8，這時收斂域為nn=0區(qū)間(一叫+8)；(3)若收斂半徑R>0，則收斂域為(-R,+R)或(-R,+R］或［-R,+R)或［-R,+R］。收斂半徑的求法：公式法、比值法定理2.如果乞axn滿足定理2.如果乞axn滿足a豐0(n=0,1,2,nnn=0），=limnsa—n^ianpH0P=0P=+8解：①因p=lim\an11I=lim—n?an=1，nsn+1P則收斂半徑R=<0例1、補例1、例5求下列級數(shù)的收斂域(1)￡(-1)n-1竺nn=1(2)￡2n-ix2n-2n=12n⑶￡住土2nnn=1則R=1。當x=-1時級數(shù)￡二發(fā)散；當x=1時級數(shù)nn=1￡耳二收斂，故收斂區(qū)間為（-1,1］。nn=1②lim\(2n+1)X2n- 2 \=旦，當\x\v込時級數(shù)收斂，當\x\＞込時級數(shù)發(fā)散,n? 2n+1 (2n-1)x2n-2 2則R=込。x=±“2時級數(shù)￡占均發(fā)散，故收斂區(qū)間為（-込，込）。2n=1③設(shè)t=x-1，級數(shù)可改寫為￡，因p=lim\an11\=lim2- =丄，則R=2。n=12n-n nwan n*2n+1（n+1）2當t=-2時級數(shù)￡V1上收斂，當t=2時級數(shù)￡-發(fā)散，故收斂區(qū)間為［-1,3］。nnn=1 n=1例2求冪級數(shù)1+ xn+n!的收斂區(qū)間。三、冪級數(shù)的運算加減運算：藝axn,藝bxn的收斂半徑分別為R,R,R二min(R,R)TOC\o"1-5"\h\zn n 1 2 1 2n=0 n=0貝0藝axn±Sbxn=S(a土b)xn,xg(一R,+R)n n nnn=0 n=0 n=0和函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1幕級數(shù)Saxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)。nn=0性質(zhì)2幕級數(shù)Saxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R,+R)上可積，并有逐項積分公nn=0式Jxs(x)dxJxs(x)dx=Jx藝00axnnn=0dx=SJxaxndx=n=0Ea——n 兀農(nóng)+1n+1n=0收斂半徑不變)性質(zhì)3幕級數(shù)藝axn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R,+R)上可導(dǎo)，并且有逐項求導(dǎo)nn=0公式s，(x)=s，(x)=(Saxn)，=S(axn)，=Snn=0nn=0naxn-1nn=0收斂半徑不變)例6求S汩的和函數(shù)。n=0解：設(shè)s(x)=為 ，則有xs(x)=為 ，逐項求導(dǎo)得：[xs(x)]'=為xn=—(-1<x<1),解：n+1 n+1 1-x^一^0<lxl<lx，^一^0<lxl<lx，x=0兩端同時積分得：xs(x)=Jx =-ln(1-x)，顯然s(0)=1，則s(x)=<01-x由和函數(shù)的連續(xù)性知，s(x)在(-1,1)內(nèi)連續(xù)。補例2求幕級數(shù)為nxn-1的