淺談建模思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的培養(yǎng)與應(yīng)用

淺談建模思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的培養(yǎng)與應(yīng)用

建立數(shù)學(xué)模型是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，是針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括的或近似的表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型、探索數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過程，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能解決實(shí)際問題，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)，發(fā)展解決問題的策略，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最重要的成果就是學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，用以解決實(shí)際問題?！痹诔踔袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)課中，良好的數(shù)學(xué)建模思想，可以使學(xué)生以最佳的狀態(tài)進(jìn)入課堂的學(xué)習(xí)氛圍，使數(shù)學(xué)課堂變的更有趣，更高效。建模思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有何重要作用？如何利用建模思想進(jìn)行系統(tǒng)、高效的學(xué)習(xí)？經(jīng)過多年的實(shí)踐，簡單總結(jié)如下：一、深入理解教材的編寫意圖，創(chuàng)造性地使用教材，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。本題以棋子為背景，考查學(xué)生合情推理能力和數(shù)學(xué)建模思想，根據(jù)已有的事實(shí)和自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，做出的探索性的題目。原題如下：如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個(gè)圖案需要7枚棋子，擺第2個(gè)圖案需要19枚棋子，擺第3個(gè)圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第6個(gè)圖案需要枚棋子，擺第n個(gè)圖案需要枚棋子．解決本題學(xué)生主要經(jīng)歷觀察、比較、歸納、建模、猜想等思維形式。不同層次的學(xué)生都能選擇一種適合自己的解題方法。本題出自北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下第二章復(fù)習(xí)題27題。題目如下：（1）你知道下面每一個(gè)圖形中各有多少個(gè)小圓圈嗎？第五個(gè)圖形有多少個(gè)小圓圈？為什么？（2）完成下表：邊上的小圓圈數(shù)12345小圓圈總數(shù)（3）如果用n表示六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個(gè)六邊形邊中小圓圈的總數(shù)，那么m和n的關(guān)系式是什么？由于本題出現(xiàn)在九年級(jí)下第二章二次函數(shù)的復(fù)習(xí)題中，解決本題既可以從探索規(guī)律角度出發(fā)，也可以通過待定系數(shù)法解決此題，所以學(xué)生只要善于利用教科書這一重要資源，創(chuàng)造性地使用教科書，重視教材上的題目，要把教材中題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊?、變形或組合，在數(shù)學(xué)課中充分應(yīng)用好數(shù)學(xué)建模思想，也更利于學(xué)生建模思想的培養(yǎng)，再難的題目也會(huì)迎刃而解。二、將所學(xué)習(xí)的知識(shí)體系化，建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)模型表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)歸納。要把所學(xué)的知識(shí)連成線，穿成串，而不能是散的。要獲取理想的學(xué)習(xí)效果，就必須把握住知識(shí)的重點(diǎn)，在全面理解的基礎(chǔ)上尋找知識(shí)間的聯(lián)系，并加以歸納、整理，以利于加深理解，方便記憶。例如，【問題再現(xiàn)】：圖1，已知：直線m∥n，A、B為直線n上兩點(diǎn)，C、P為直線m上兩點(diǎn)．請(qǐng)寫出圖中△ABC和△ABP面積之間的數(shù)量關(guān)系：；【類比探究】（2）如圖2，邊長為6的正△ABC，P是BC邊上一點(diǎn)，且PB=1，以PB為一邊作正△PBD，則△ADC的面積為；（3）如圖3，邊長為6的正△ABC，P是BC邊上一點(diǎn)，且PB=2，以PB為一邊作△PBD，則△ADC的面積為；【歸納結(jié)論】（4）邊長為a的正△ABC，P是BC邊上一點(diǎn)，且PB=b，以PB為一邊作正△PBD，則△ADC的面積為；根據(jù)上述計(jì)算的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？并依據(jù)圖4予以證明.通過上述四個(gè)問題，讓學(xué)生總結(jié)得出：兩條平行線間的距離處處相等，所以頂點(diǎn)分別在兩條平行線上且同底的兩三角形面積相等，從而實(shí)現(xiàn)兩圖形之間的面積變換。.設(shè)計(jì)這兩個(gè)題目是讓學(xué)生運(yùn)用總結(jié)的規(guī)律解決實(shí)際問題，從而進(jìn)一步體會(huì)，解決這類問題只要抓住兩條平行線間的距離處處相等，頂點(diǎn)分別在兩條平行線上且同底的兩三角形面積相等這一規(guī)律，就能實(shí)現(xiàn)兩圖形之間的面積變換。三、例題設(shè)計(jì)要具有模型化的作用。課堂教學(xué)中例題習(xí)題的設(shè)計(jì)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型方法的教學(xué)，以補(bǔ)平時(shí)教學(xué)之不足。例如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用這一部分知識(shí)時(shí)，設(shè)計(jì)了這樣一道典型例題：某軟件商店經(jīng)銷一種進(jìn)價(jià)為每盤40元的益智游戲軟件，根據(jù)市場(chǎng)分析，若按每盤50元銷售，一個(gè)月能售出500盤，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10盤，（1）設(shè)銷售單價(jià)為每盤x（x≥50）元時(shí)，月銷售利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤最高？（3）若商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，獲得最大銷售利潤，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）學(xué)生通過理解題意，完成解題過程后，教師提出問題：“你認(rèn)為，做二次函數(shù)的應(yīng)用這類題目時(shí)基本的步驟是什么？”學(xué)生根據(jù)剛才的解題過程不難總結(jié)概括出：1、理解問題，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。即把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。2、分析變量之間的關(guān)系寫出函數(shù)關(guān)系式3、用適當(dāng)?shù)姆椒ㄔ谧宰兞咳≈捣秶鷥?nèi)求出函數(shù)的最值。4、結(jié)合二次函數(shù)的圖象解決相關(guān)實(shí)際問題5、根據(jù)要求合理作答。根據(jù)例題的模型化作用，學(xué)生已熟知做這類題目的方法。緊接著我又展示了這樣一道題目：某商場(chǎng)購進(jìn)一種進(jìn)價(jià)為20元的兒童襯衣。銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500.（1）設(shè)商場(chǎng)每月獲得利潤為w(元)，求w(元）與單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）如果商場(chǎng)想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種襯衣的銷售單價(jià)不得高于32元，如果商場(chǎng)要想每月獲得的利潤不低于2000元，試確定x的取值范圍，在此情況下，當(dāng)銷售單價(jià)x定為多少元時(shí)，商場(chǎng)購進(jìn)襯衣每月的成本最少？最少成本是多少元？（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）學(xué)生能夠很快根據(jù)例題的模型將該題完成。設(shè)計(jì)模型化例題的作用，其最終目的是要實(shí)現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》所指出的“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”這一基本理念。四、原題設(shè)計(jì)要注重總結(jié)，建立模型，后面的變式都回到基本模型上來。例如，在學(xué)習(xí)一元二次方程的應(yīng)用面積問題這一部分知識(shí)時(shí)，設(shè)計(jì)了這樣一道典型例題：例1.某學(xué)校要建一個(gè)長方形花園，花園一邊靠墻，（墻長25米）另三邊用花型鐵柵欄圍成，鐵柵欄長40米（1）花園面積能達(dá)到150m2嗎？（2）花園面積能達(dá)到200m2嗎？（3）面積能達(dá)到250m2嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由。學(xué)生完成解題過程后，問：“你認(rèn)為，做花園面積的應(yīng)用這類題目時(shí)基本的步驟是什么？”學(xué)生根據(jù)剛才的解題過程總結(jié)概括出：1、理解問題，建立模型。即把實(shí)際問題抽象為求長方形面積問題。2、分析長與寬之間的關(guān)系寫出長方形面積關(guān)系式3、用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ?/p>