第六章測量誤差的基本知識

會(huì)計(jì)學(xué)1第六章測量誤差的基本知識.2、測量誤差的產(chǎn)生

測量工作是在一定的條件下進(jìn)行的，一般來說，外界環(huán)境、測量儀器和觀測者構(gòu)成觀測條件。而觀測條件不理想或不斷變化，是產(chǎn)生測量誤差的根本原因。

1.外界環(huán)境

主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、大氣折光、風(fēng)力等因素的不斷變化，會(huì)導(dǎo)致觀測結(jié)果中帶有誤差。

2.儀器誤差

（1）

儀器制造誤差

（2）

檢校殘余誤差

第1頁/共22頁3.觀測誤差

觀測者的感官的鑒別能力、技術(shù)熟練程度和勞動(dòng)態(tài)度等也會(huì)產(chǎn)生誤差。

可見，觀測條件不可能完全理想，測量誤差的產(chǎn)生不可避免。但是，在測量工作實(shí)踐中，可以采取一定的措施和方法來改善乃至控制觀測條件，從而能夠控制測量誤差。

綜上所述，觀測結(jié)果的質(zhì)量與觀測條件的優(yōu)劣有著密切的關(guān)系。觀測條件好，觀測誤差就可能會(huì)小一些，觀測質(zhì)量相應(yīng)地會(huì)高一些；反之，觀測結(jié)果的質(zhì)量就會(huì)相應(yīng)降低。當(dāng)觀測條件相同時(shí)，可以認(rèn)為觀測結(jié)果的質(zhì)量是相同的。第2頁/共22頁§6-2偶然誤差的特點(diǎn)

偶然誤差的產(chǎn)生受多種因素的影響，難以消除。因而，偶然誤差便成為誤差理論中最核心的內(nèi)容和主要的研究對象。

1、在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會(huì)超出一定限值（有界性）；2、絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)要多（或稱概率大，密集性）；3、絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等（對稱性）；4、當(dāng)觀測次數(shù)n無限增加時(shí)，誤差的算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)期望）趨近于零，即

式中，[△]為真誤差代數(shù)和，即，[△]=△1+△2+……+△n。

上述偶然誤差的四個(gè)特性具有普遍性，對誤差理論的研究和測量實(shí)踐都有重要意義。第3頁/共22頁§6-3觀測值的算術(shù)平均值

在相同的觀測條件下，對某一未知量（如角度或邊長）的真值為X，對該量作n次觀測，設(shè)n次觀測值分別為l1、l2、…、ln。

則觀測值的真誤差為△i（i=1,2,…,n），即第4頁/共22頁等式兩邊求和并同除以n，有

式中[L]/n稱為“算術(shù)平均值”，習(xí)慣以x表示；當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時(shí)，根據(jù)偶然誤差特性（4），式中[?]/n趨近于零。于是可得x=X第5頁/共22頁在實(shí)際工作中，觀測次數(shù)總是有限的，算術(shù)平均值x作為未知量的估值，稱為未知量的“最或是值（或稱最可靠值）”，它比任何觀測值都接近真值。

算術(shù)平均值的一般表達(dá)式為

以上所述就是算術(shù)平均值原理，它是測量中重要理論之一。

第6頁/共22頁§6-4精度的概念及種類

從前面的分析可以知道，測量成果中會(huì)不可避免地含有誤差。但測量成果只有符合《規(guī)范》規(guī)定的限差要求時(shí)，才算合格，否則應(yīng)重測。

1、精度的的概念：就是指誤差分布的離散程度。2、精度的種類（1）中誤差m高斯分布密度函數(shù)中的參數(shù)σ

，在幾何上是曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)

，概率論中稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根）。當(dāng)觀測條件一定時(shí)，誤差分布狀態(tài)唯一被確定，誤差分布曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)也唯一被確定。用σ作為精度指標(biāo)，可以定量地衡量觀測質(zhì)量。

第7頁/共22頁所以在衡量觀測精度時(shí)，就不必再作誤差分布表，也不必繪制直方圖，只要設(shè)法計(jì)算出該組誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差σ值即可。σ的平方稱為方差σ2

，在概率論中有嚴(yán)格的定義：方差σ2是隨機(jī)變量x與其數(shù)學(xué)期望E(x)之差的平方的數(shù)學(xué)期望，用數(shù)學(xué)公式表達(dá)就是

用測量專業(yè)的術(shù)語來敘述標(biāo)準(zhǔn)差σ：在一定觀測條件下，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增加時(shí)，觀測量的真誤差△的平方和的平均數(shù)的平方根的極限，由下式表示：

第8頁/共22頁式中

為真誤差

?i的平方和，等價(jià)于

通常，觀測次數(shù)n總是有限的，只能求得標(biāo)準(zhǔn)差的“估值”，記作m，稱為“中誤差”。其值可用下式計(jì)算：由中誤差的定義可知，中誤差m不等于每個(gè)測量值的真誤差，它只是反映這組真誤差群體分布的離散程度大小的數(shù)字指標(biāo)。

第9頁/共22頁（2）平均誤差θ

定義：在一定觀測條件下，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增加時(shí)，真誤差絕對值的理論平均值的極限稱為平均誤差，記作

因觀測次數(shù)n總是有限的，故其估值表示：式中為真誤差絕對值之和。第10頁/共22頁（3）．或然誤差ρ

在一定觀測條件下，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增加時(shí)，在真誤差列中，若比某真誤差絕對值大的誤差與比它小的誤差出現(xiàn)的概率相等，則稱該真誤差為或然誤差，記作ρ。因觀測次數(shù)n有限，常將ρ的估值記作ω?；蛉徽`差ω可理解為：將真誤差列按絕對值從大到小排序，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，居中的真誤差就是ω；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，居中的兩個(gè)真誤差的平均值作為ω。平均誤差、或然誤差與中誤差有如下關(guān)系：θ≈0.7979mω≈0.6745m作為精度指標(biāo)，中誤差最為常用，因?yàn)橹姓`差更能反映誤差分布的離散程度。

第11頁/共22頁例：設(shè)對某個(gè)三角形的內(nèi)角用兩種不同精度的儀器各進(jìn)行了10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為

Ⅰ列：+3″，-4″，-3″，+4″，-5″，-2″，+3″，+3″，-4″，+5″

Ⅱ列：-1″，0″，+12″，0″，-1″，-10″，+1″，0″，+1″，-10″試求其觀測精度。

解：1.

用中誤差公式計(jì)算

第12頁/共22頁

2.用平均誤差公式計(jì)算

3.用或然誤差公式計(jì)算

按絕對值將誤差列由大到小排序，即

Ⅰ列：5″，5″，4″，4″，4″，3″，3″，3″，3″，2″

Ⅱ列：12″，10″，10″，1″，1″，1″，1″，0″，0″，0″第13頁/共22頁計(jì)算結(jié)果表明：用中誤差衡量觀測精度，第一列高于第二列，符合客觀實(shí)際，因第二列中有+12″，-10″，-10″三個(gè)大的誤差存在，誤差分布離散。很顯然，用平均誤差和或然誤差來衡量觀測精度，在本例均未有效地反映實(shí)際情況。第14頁/共22頁（4）、相對誤差

在進(jìn)行精度評定時(shí)，有時(shí)僅利用絕對誤差還不能反映測量的精度。因?yàn)橛行┝浚玳L度，用絕對誤差不能全面反映觀測精度。定義：絕對誤差與測量值之比，記作K。習(xí)慣上相對誤差用分子為1的分?jǐn)?shù)表達(dá)，分母越大，相對誤差越小，測量的精度就越高。例[3-2]用同一把已檢定過的鋼尺分別丈量兩條邊，長度分別為30m和90m，其中誤差（絕對誤差）均為±10mm。試衡量其測量精度。解：若用絕對誤差衡量測量精度，因m1=m2=±10mm,，無法判別那條邊長丈量的精度更高?，F(xiàn)計(jì)算相對誤差，有

第15頁/共22頁即第二條邊丈量精度高于第一條邊。距離測量中常用相對誤差衡量測量精度。

第16頁/共22頁§6-5誤差傳播定律在測量上的應(yīng)用

1、距離測量的中誤差

用鋼尺量距：設(shè)用長度為l的鋼尺丈量A、B兩點(diǎn)之間的距離S，共量了n個(gè)尺段，若每尺段丈量中誤差均為ml，求S的中誤差。因?yàn)镾為各尺段li的線性函數(shù)，即S=l1+l2+…+ln

S中誤差應(yīng)為上式表明：距離丈量的中誤差與所測尺段數(shù)n的平方根成正比。

第17頁/共22頁2、水準(zhǔn)測量的中誤差

設(shè)在A、B兩

點(diǎn)之間.共設(shè)n站，則A、B兩點(diǎn)之間的高差為：設(shè)每站的高差觀測中誤差均為m站，則A、B兩點(diǎn)之間的高差中誤差為：在平坦地區(qū)，各站的視線長度大致相等，每公里的測站數(shù)也大致相同，故可認(rèn)為每公里水準(zhǔn)測量高差的中誤差相同，設(shè)為mkm，則

第18頁/共22頁3、視距測量的中誤差

（1）.視距法測量水平距離的中誤差

由視距測量計(jì)算公式可直接寫出平距D的中誤差計(jì)算公式：就是視距測量中誤差的計(jì)算公式?？紤]到其他因素的影響，一般認(rèn)