2023年上海高考數(shù)學(xué)試題(理科)-解析

2023年上海市秋季高考理科數(shù)學(xué)一、填空題1．計算：【解答】根據(jù)極限運算法那么，．2．設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，那么【解答】．3．假設(shè)，那么【解答】．4．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)邊分別為a、b、c，假設(shè)，那么角C的大小是_______________〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕【解答】，故．5．設(shè)常數(shù)，假設(shè)的二項展開式中項的系數(shù)為，那么【解答】，故．6．方程的實數(shù)解為________【解答】原方程整理后變?yōu)椋?．在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點到極點的距離為__________【解答】聯(lián)立方程組得，又，故所求為．8．盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，那么這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是___________〔結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示〕【解答】9個數(shù)5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為．9．設(shè)AB是橢圓的長軸，點C在上，且，假設(shè)AB=4，，那么的兩個焦點之間的距離為________【解答】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得．10．設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，那么方差【解答】，．11．假設(shè)，那么【解答】，，故．12．設(shè)為實常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，假設(shè)對一切成立，那么的取值范圍為________【解答】，故；當(dāng)時，即，又，故．13．在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影局部．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤怼⒁粋€平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為__________【解答】根據(jù)提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．14．對區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，定義域為的函數(shù)有反函數(shù)，且，假設(shè)方程有解，那么【解答】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)時，；時，，而的定義域為，故當(dāng)時，的取值應(yīng)在集合，故假設(shè)，只有．二、選擇題15．設(shè)常數(shù)，集合，假設(shè)，那么的取值范圍為〔〕(A)(B)(C)(D)【解答】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或，解答選項為B．16．錢大姐常說“廉價沒好貨〞，她這句話的意思是：“不廉價〞是“好貨〞的〔〕(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件【解答】根據(jù)等價命題，廉價沒好貨，等價于，好貨不廉價，應(yīng)選B．17．在數(shù)列中，，假設(shè)一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，〔〕那么該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為〔〕(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】，而，故不同數(shù)值個數(shù)為18個，選A．18．在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為.假設(shè)分別為的最小值、最大值，其中,,那么滿足〔〕.(A)(B)(C)(D)【解答】作圖知，只有，其余均有，應(yīng)選D．三、解答題19.〔此題總分值12分〕如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.【解答】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C；直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．20．〔6分+8分〕甲廠以x千克/小時的速度運輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品〔生產(chǎn)條件要求〕，每小時可獲得利潤是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.【解答】(1)根據(jù)題意，又，可解得(2)設(shè)利潤為元，那么故時，元．21．〔6分+8分〕函數(shù)，其中常數(shù)；〔1〕假設(shè)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；〔2〕令，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間〔且〕滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．【解答】(1)因為，根據(jù)題意有(2)，或，即的零點相離間隔依次為和，故假設(shè)在上至少含有30個零點，那么的最小值為．22．〔3分+5分+8分〕如圖，曲線，曲線，P是平面上一點，假設(shè)存在過點P的直線與都有公共點，那么稱P為“C1—C2型點〞．(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點〞時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程〔不要求驗證〕；(2)設(shè)直線與有公共點，求證，進(jìn)而證明原點不是“C1—C2型點〞；(3)求證：圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點〞．【解答】：〔1〕C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1-C2型點〞，且直線可以為；〔2〕直線與C2有交點，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須；直線與C2有交點，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點〞?！?〕顯然過圓內(nèi)一點的直線假設(shè)與曲線C1有交點，那么斜率必存在；根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點，那么直線與圓內(nèi)部有交點，故化簡得，。。。。。。。。。。。。①假設(shè)直線與曲線C1有交點，那么化簡得，。。。。。②由①②得，但此時，因為，即①式不成立；當(dāng)時，①式也不成立綜上，直線假設(shè)與圓內(nèi)有交點，那么不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點〞．23．〔3分+6分+9分〕給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.〔1〕假設(shè)，求及；〔2〕求證：對任意，；〔3〕是否存在，使得成等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出所有這樣的，假設(shè)不存在，說明理由.【解答】：〔1〕因為，，故，〔2〕要證明原命題，只需證明對任意都成立，即只需證明假設(shè)，顯然有成立；假設(shè)，那么顯然成立綜上，恒成立，即對任意的，〔3〕由〔2〕知，假設(shè)為等差數(shù)列，那么公差，故n無限增大時，總有此時，即故，即，當(dāng)時，等式成立，且時，，此時為等差數(shù)列，滿足題意；假設(shè)，那么，此時，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是．22．〔此題總分值16分〕此題共有3個小題．第1小題總分值6分，第2小題總分值5分，第3小題總分值8分．如圖，雙曲線：，曲線：．是平面內(nèi)一點，假設(shè)存在過點的直線與、都有公共點，那么稱為“型點〞．〔1〕在正確證明的左焦點是“型點〞時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程〔不要求驗證〕；〔2〕設(shè)直線與有公共點，求證，進(jìn)而證明原點不是“型點；〔3〕求證：圓內(nèi)的點都不是“型點〞．22．解：〔1〕C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1-C2型點〞，且直線可以為；〔2〕直線與C2有交點，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須；直線與C2有交點，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點〞?！?〕顯然過圓內(nèi)一點的直線假設(shè)與曲線C1有交點，那么斜率必存在；根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點，那么直線與圓內(nèi)部有交點，故化簡得，。。。。。。。。。。。。①假設(shè)直線與曲線C1有交點，那么化簡得，。。。。。②由①②得，但此時，因為，即①式不成立；當(dāng)時，①式也不成立綜上，直線假設(shè)與圓內(nèi)有交點，那么不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點〞。23．〔此題總分值18分〕此題共有3個小題．第1小題總分值3分，第2小題總分值6分，第3小題總分值9分．給定常數(shù)，定義函數(shù)．?dāng)?shù)列，，，…滿足．〔1〕假設(shè)，求及；〔2〕求證：對任意，；〔3〕是否存在，使得，，，…，…成等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出所有這樣的；假設(shè)不存在