吉林省長春市市第二朝鮮族中學2022年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

吉林省長春市市第二朝鮮族中學2022年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△中，角的對邊分別為，若，則的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知函數(shù)f（x）=，則方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根時，實數(shù)a的取值范圍是（）（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]參考答案：B【考點】分段函數(shù)的應用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，∴y=f（x）與y=ax有2個交點，又∵a表示直線y=ax的斜率，∴y′=，設切點為（x0，y0），k=，∴切線方程為y﹣y0=（x﹣x0），而切線過原點，∴y0=1，x0=e，k=，∴直線l1的斜率為，又∵直線l2與y=x+1平行，∴直線l2的斜率為，∴實數(shù)a的取值范圍是[，）．故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，解題時應結合圖象，以及函數(shù)與方程的關系，進行解答，是易錯題．3.已知是圓：上的兩個點，是線段上的動點，當?shù)拿娣e最大時，則的最大值是（

）

A.-1

B.0

C.

D.參考答案：c略4.已知（其中為正數(shù)），若，則的最小值是

A．2

B．

C．

D．8參考答案：C5.若，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略6.．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()參考答案：D略7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s值為（[x]表示不超過×的最大整數(shù)）(

)(A)4

(B)5

(C)7

(D)9參考答案：C8.過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，延長交拋物線于點，為原點，若，則雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得的函數(shù)關于軸對稱，則的一個可能取值為（

）A．

B．

C．0

D．參考答案：B考點：y=Asin（ωx+φ）的圖象變換10.設x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)的最小值為2，則的最大值為

A．1

B．

C．

D．參考答案：D由得，可知斜率為，作出可行域如圖，由圖象可知當直線經(jīng)過點D時，直線的截距最小，此時最小為2.由得，即，代入直線得，又，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則=

參考答案：12.點A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積的最大值為．參考答案：【考點】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：根據(jù)題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設小圓的圓心為Q，球的半徑為r，因為球的表面積為，所以4πr2=所以r=，四面體ABCD的體積的最大值，底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，就是D到底面ABC距離最大值時，h=r+=2．四面體ABCD體積的最大值為×S△ABC×h==，故答案為：．【點評】本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關鍵．13.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點P，則。參考答案：略14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

．參考答案：16；15.已知點A(－2,0),B(0,2),若點M是圓x2+y2－2x+2y=0上的動點,則△ABM面積的最小值為

.參考答案：2本題考查直線與圓位置關系.將圓化簡成標準方程圓心,半徑因為,所以要求面積最小值,即要使圓上的動點到直線的距離最小而圓心到直線的距離為所以所以的最小值為16.用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有

個（用數(shù)字作答）參考答案：324

17.已知全集，在中任取四個元素組成的集合記為，余下的四個元素組成的集合記為，若，則集合的取法共有

種.參考答案：31略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（﹣1，），橢圓C的右焦點為A，點B的坐標為（，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知縱坐標不同的兩點P，Q為橢圓C上的兩個點，且B、P、Q三點共線，線段PQ的中點為R，求直線AR的斜率的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，且過點（﹣1，），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）依題意直線PQ過點（，0），且斜率不為0，設其方程為x=my+，聯(lián)立，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件能求出直線AR的斜率的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（﹣1，），∴，解得a=2，b=，∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）依題意直線PQ過點（，0），且斜率不為0，故可設其方程為x=my+，聯(lián)立，消去x，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，設點P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直線AR的斜率為k，故，，∴，∴k=，當m=0時，k=0，當m≠0時，k=，故|4m+|=4|m|+，∴0＜≤，∴0＜|k|，∴﹣，且k≠0，綜上所述，直線AR的斜率的取值范圍是[﹣]．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線斜率的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想，是中檔題．19.（本小題滿分12分）某市規(guī)定，高中學生在校期間須參加不少于80小時的社區(qū)服務才合格．某校隨機抽取20位學生參加社區(qū)服務的數(shù)據(jù)，按時間段（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生人數(shù)；（Ⅱ）從參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生中任意選取2人，求所選學生的參加社區(qū)服務時間在同一時間段內(nèi)的概率．參考答案：（Ⅰ）由題意可知，參加社區(qū)服務在時間段的學生人數(shù)為（人），參加社區(qū)服務在時間段的學生人數(shù)為（人）．所以參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生人數(shù)為（人）．（Ⅱ）設所選學生的服務時間在同一時間段內(nèi)為事件．由（Ⅰ）可知，參加社區(qū)服務在時間段的學生有4人，記為；參加社區(qū)服務在時間段的學生有2人，記為．

從這6人中任意選取2人有共15種情況．

事件包括共7種情況．

所以所選學生的服務時間在同一時間段內(nèi)的概率．20.（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知橢圓()的離心率為，其焦點在圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設、、是橢圓上的三點(異于橢圓頂點)，且存在銳角，使．(i)求證：直線與的斜率之積為定值；(ii)求．參考答案：解：(1)依題意，得

c=1．于是，a=，b=1．

………………2分所以所求橢圓的方程為．……………4分(2)(i)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①，②．又設M(x，y)，因，故

…………7分因M在橢圓上，故．整理得．將①②代入上式，并注意，得

．所以，為定值．………………10分(ii)，故．又，故．所以，OA2+OB2==3．

………14分略21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1，f′(1)=0，⑴求f(x)；⑵求f(x)的最大值；⑶若x>0,y>0,證明：lnx+lny≤.參考答案：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)的基本知識、函數(shù)性質(zhì)的處理以及不等式的綜合問題，同時考查考生用函數(shù)放縮的方法證明不等式的能力．解：⑴由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b=0,∴a=1,∴f(x)=lnx-x為所求；……………⑵∵x>0,f′(x)=-1=,x0<x<1x=1x>1f′(x)+0-f(x)↗極大值↘

∴f(x)在x=1處取得極大值-1，即所求最大值為-1；……………⑶由⑵得lnx≤x-1恒成立，∴l(xiāng)nx+l