高中數(shù)學-等比數(shù)列的前n項和練習

高中數(shù)學-等比數(shù)列的前n項和練習[A基礎(chǔ)達標]1.等比數(shù)列1,a,a2,a(1—J)A.1+^———1-11a…的前n項和為（ ）naB1—aD.D.以上皆錯an+1-1C. -a-1解析：選D.當a=1時,S=n,故選D.2.等比數(shù)列｛an｝的前n項和為S,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列.若a=1,則&等于（ ）A.7B.8C.15D.16解析：選C.設(shè)｛an｝的公比為q,因為4ai,2a2,a3成等差數(shù)列,所以4a2=4a+a3,即4a1q=4a1即q2—4q+4=0,所以q=2,+ay2,LL, 1—24 4a.又d=1,所以S4==15,故選C.1—23.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為S若S3+3s2=0,則公比q=( )B.D.B.D.A.-2C.3解析：選A.因為S3+3S2=0,所以aJ^qL+1-q3ai(1—q2)1-q=°,即(1—q)(q2+4q+4)=0.解得q=—2或q=1(舍去).4.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為已知S3=8,4=7,則a7+a8+a9=（ ）1A.一81B--857C755D萬解析：選A.法一：由等比數(shù)列前n項和的T質(zhì)知S3,S6-S3, 4成等比數(shù)列，又… （S6—S3）2+a9=S9—S6,則S3,Ss_S3,a7+a8+a9成等比數(shù)列,從而a7+a8+a9= -二8a7+a8A.法二：因為&=S+Ssq3,所以q3=一~一=一3，所以a?+a8+a9= S5=&q6=8xS3 821 、=q.故選A.85.在等比數(shù)列｛an｝中,已知40=5.在等比數(shù)列｛an｝中,已知40=13S。S10+S?0=140,則S20等于( )A.90B.70C.40D.30解析：選C.解析：選C.因為Gw3Sc,所以qwl.S30=13S10, S10=10,由S10+S30=140得與0=130,所以a(1_q10)所以a(1_q10)1-qa(1-q30)1-q=10,=130,所以所以q20所以所以q20+q10-12=0.所以q10=3,ca1(1—q2°) - 10S0= 二q =S10(1+q)=10X(1+3)=40.6.在等比數(shù)列6.在等比數(shù)列｛an｝中，若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式 an8.在等比數(shù)列｛an｝中，已知a1+&+a3=1,a4+a5+a6=-2,則該數(shù)列的前15項和Si5=解析：設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q,則由已知，得q3=-2.又a1+a2+a3=R(1—qbia1 1所以f=3,a1 1所以f=3,所以S15=ai15、 a13、5_ 15.』(1—q)=E[1—(q)]=3X[1—(—2)]="答案：11.記S為等比數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S=2,$=—6.(1)求｛an｝的通項公式;(2)求S,并判斷S+1,S,S+2是否成等差數(shù)列.解：(1)設(shè)｛an｝的公比為q.由題設(shè)可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故｛an｝的通項公式為an=(—2)n.(2)由(1)可得$=a1(；—：)=-|+(-1)n2y.?—q3 3由于&+2+8+1=—；+(—1)n? - =2[—q+(—1)“一^]=2&,故8+1,Si,S+2成等3 3 3 3差數(shù)列..數(shù)列｛an｝是首項為1的等差數(shù)列，且公差不為零，而等比數(shù)列 ｛bn｝的前三項分別是日,82,a6.⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式;(2)若b1+b2+…+bk=85,求正整數(shù)k的值.解：(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,因為a2,a6成等比數(shù)歹U,一一.2所以a2=a1,a6,所以(1+d)2=1X(1+5d),所以d2=3d,因為dw0,所以所以d2=3d,因為dw0,所以d=3,所以an=1+(n—1)X3=3n—2. ，.，a2(2)數(shù)列｛bn｝的首項為1,公比為q=—=4,a1故…2故…2+…+bk=口1—4k4k—1,4k-1 一k令工一=85,即4=2563解得k=4.故正整數(shù)k的值為4.[B能力提升].一個等比數(shù)列前三項的積為 2,最后三項的積為4,且所有項的積為64,則該數(shù)列有( )

A.13項 B.12項C.11項 D.10項解析：選B.設(shè)該數(shù)列的前三項分別為a1,ap,aq2,后三項分別為aqn3,a1qn2,aynl所以前三項之積a；q3=2,后三項之積a3q3n6=4.所以兩式相乘，得a6q3(n-1)=8,即a2qn^=2,n(n—1)又a1 ? a1q ,a〔q2 a〔qn 1=64,所以an,q2 =64,即(a2qn 1)n=642,即 2n= 642,所以n=12.12.已知等比數(shù)列｛an｝的前10項中，所有奇數(shù)項之和S奇為85：,所有偶數(shù)項之和S偶為1702,則S=a3+a6+&+a12的值為解析：設(shè)公比為q,S禺S；=q=2,由Sw=a[1S禺S；=q=2,由Sw=a[1—(q2)5]1a1=4,1-q21=854q=2.所以S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)1221-q=a1q>- 3=585.-q答案：58513.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,a1=1,且數(shù)列｛Sn｝是以c(c>0)為公比的等比數(shù)列.⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；(2)求a2+a4+…+a2n.解：由條件知S1=a1=1.(1)①當c=1(1)①當c=1時,1,n=1,

an ?an=Sn—Sn-1,n>21,0,n=1,n>2.1,n=1,②當gl時，an=(c_1)cn2?n>2.(2)①當c=1時，a2+a4+…+a2n=0；a2+a4+…+ a2n=②當cwla2+a4+…+ a2n=(c—1)(1—c2n) c2n11—c2 —1+c.14.(選做題)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備MM的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價值an的表達式；

(2)設(shè)A(2)設(shè)An=ada+…+an,若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新,證明：須在第9年初對M更新.解：(1)當n<6時，數(shù)列｛明是首項為120,公差為—10的等差數(shù)列.an=120-10(n-1)=130—10n；3 3n—6當n>7時，數(shù)列｛an｝是以a6為首項，公比為二的等比數(shù)列，又a6=70,所以an=70x-4 4因此，第n年初，M的價值an的表達式為130-10n,n<6,an：70X3>6,n>7.4(2)證明：設(shè)S表示數(shù)列｛an｝的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當1wnw6時，$=120n—5n(n—1),A=120—5(n—1)=125—5n；當n>7時，S=S6+(a7+a8+…+an)3 3n—6=570+70*4><4*1_-3n-6=780—210X4 ,3n—6780-210X-4A= n因為｛因為｛an｝是遞減數(shù)列，所以｛A｝是遞減數(shù)列，又47

=82才47

=82才80,3 9—6780-210X(4)=7679<80,96 '780-210X(3)864A8= 8所以須在第9年初對M更新.解析：因為在等比數(shù)列｛an｝中，前3項之和等于21,a1(1一43所以:“—=21,所以a1=1.1-4所以an=4nT.答案：4nT7.對于數(shù)