2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理科）試題（新課標Ⅲ）2

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則|z|=（）A． B． C． D．23．（5分）（2017?新課標Ⅲ）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)4．（5分）（2017?新課標Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展開式中的x3y3系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓+=1有公共焦點，則C的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+），則下列結(jié)論錯誤的是（）A．f（x）的一個周期為﹣2πB．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱C．f（x+π）的一個零點為x=D．f（x）在（，π）單調(diào)遞減7．（5分）（2017?新課標Ⅲ）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．π B． C． D．9．（5分）（2017?新課標Ⅲ）等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）A． B． C． D．11．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a=（）A．﹣ B． C． D．112．（5分）（2017?新課標Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（2017?新課標Ⅲ）若x，y滿足約束條件，則z=3x﹣4y的最小值為．14．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，則a4=．15．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范圍是．16．（5分）（2017?新課標Ⅲ）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的編號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17．（12分）（2017?新課標Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．18．（12分）（2017?新課標Ⅲ）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？19．（12分）（2017?新課標Ⅲ）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．20．（12分）（2017?新課標Ⅲ）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，﹣2），求直線l與圓M的方程．21．（12分）（2017?新課標Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．（10分）（2017?新課標Ⅲ）在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為，（m為參數(shù)）．設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M為l3與C的交點，求M的極徑．[選修4-5：不等式選講]23．（2017?新課標Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．答案與解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0知識點：集合的概念及其基本運算難度：中等解析：由，解得：或，∴A∩B的元素的個數(shù)是2個，故選：B．2．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則|z|=（）A． B． C． D．2知識點：數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入難度：中等解析：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．則|z|=．故選：C．3．（5分）（2017?新課標Ⅲ）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)知識點：變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸分析及獨立性檢驗難度：中等解析：由已有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)可得：月接待游客量逐月有增有減，故A錯誤；年接待游客量逐年增加，故B正確；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正確；各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確；故選：A4．（5分）（2017?新課標Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展開式中的x3y3系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80知識點：二項式定理難度：中等解析：（2x﹣y）5的展開式的通項公式：Tr+1=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展開式中的x3y3系數(shù)=+23×=40．故選：C．5．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓+=1有公共焦點，則C的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1知識點：雙曲線難度：中等解析：橢圓+=1的焦點坐標（±3，0），則雙曲線的焦點坐標為（±3，0），可得c=3，雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，可得，即，可得=，解得a=2，b=，所求的雙曲線方程為：﹣=1．故選：B．6．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+），則下列結(jié)論錯誤的是（）A．f（x）的一個周期為﹣2πB．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱C．f（x+π）的一個零點為x=D．f（x）在（，π）單調(diào)遞減知識點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ)的圖象難度：中等解析：A．函數(shù)的周期為2kπ，當k=﹣1時，周期T=﹣2π，故A正確，B．當x=時，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1為最小值，此時y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，故B正確，C當x=時，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，則f（x+π）的一個零點為x=，故C正確，D．當＜x＜π時，＜x+＜，此時函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤，故選：D7．（5分）（2017?新課標Ⅲ）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）A．5 B．4 C．3 D．2知識點：算法與程序框圖、基本算法語句難度：中等解析：由題可知初始值t=1，M=100，S=0，要使輸出S的值小于91，應(yīng)滿足“t≤N”，則進入循環(huán)體，從而S=100，M=﹣10，t=2，要使輸出S的值小于91，應(yīng)接著滿足“t≤N”，則進入循環(huán)體，從而S=90，M=1，t=3，要使輸出S的值小于91，應(yīng)不滿足“t≤N”，跳出循環(huán)體，此時N的最小值為2，故選：D．8．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．π B． C． D．知識點：空間幾何體的表面積和體積難度：中等解析：∵圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，∴該圓柱底面圓周半徑r==，∴該圓柱的體積：V=Sh==．故選：B．9．（5分）（2017?新課標Ⅲ）等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8知識點：等差數(shù)列難度：中等解析：∵等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{an}前6項的和為==﹣24．故選：A．10．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）A． B． C． D．知識點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難度：中等解析：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，∴原點到直線的距離=a，化為：a2=3b2．∴橢圓C的離心率e===．故選：A．11．（5分）（2017?新課標Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a=（）A．﹣ B． C． D．1知識點：函數(shù)的單調(diào)性及其最值難度：較難解析：因為f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0，所以函數(shù)f（x）有唯一零點等價于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解，等價于函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+）的圖象只有一個交點．①當a=0時，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此時有兩個零點，矛盾；②當a＜0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+）的圖象的最高點為B（1，2a），由于2a＜0＜1，此時函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+）的圖象有兩個交點，矛盾；③當a＞0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+）的圖象的最低點為B（1，2a），由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1，即a=，符合條件；綜上所述，a=，故選：C．12．（5分）（2017?新課標Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2知識點：曲線與方程難度：較難解析：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC?CD=BD?r，∴r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故選：A二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（2017?新課標Ⅲ）若x，y滿足約束條件，則z=3x﹣4y的最小值為﹣1．知識點：二元一次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃難度：中等解析：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式對應(yīng)的可行域（陰影部分），平移直線y=x﹣，由平移可知當直線y=x﹣，經(jīng)過點B（1，1）時，直線y=x﹣的截距最大，此時z取得最小值，將B的坐標代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目標函數(shù)z=3x﹣4y的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．14．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，則a4=﹣8．知識點：等比數(shù)列難度：中等解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．則a4=（﹣2）3=﹣8．故答案為：﹣8．15．（5分）（2017?新課標Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范圍是x＞﹣．知識點：函數(shù)模型及其應(yīng)用難度：中等解析：若x≤0，則x﹣≤﹣，則f（x）+f（x﹣）＞1等價為x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，則x＞，此時＜x≤0，當x＞0時，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，當x﹣＞0即x＞時，滿足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，當0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0時，f（x﹣）=x﹣+1=x+，此時f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，綜上x＞，故答案為：x＞16．（5分）（2017?新課標Ⅲ）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是②③．（填寫所有正確結(jié)論的編號）知識點：空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系難度：較難解析：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故|AC|=1，|AB|=，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量=（0，1，0），||=1，直線b的方向單位向量=（1，0，0），||=1，設(shè)B點在運動過程中的坐標中的坐標B′（cosθ，sinθ，0），其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），∴AB′在運動過程中的向量，=（﹣cosθ，﹣sinθ，1），||=，設(shè)與所成夾角為α∈[0，]，則cosα==|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正確，④錯誤．設(shè)與所成夾角為β∈[0，]，cosβ===|cosθ|，當與夾角為60°時，即α=，|sinθ|===，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，∵β∈[0，]，∴β=，此時與的夾角為60°，∴②正確，①錯誤．故答案為：②③．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17．（12分）（2017?新課標Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．知識點：正弦定理和余弦定理難度：中等解析：（1）∵sinA+cosA=0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2×2×cosC，∴cosC=，∴sinC=，∴tanC=在Rt△ACD中，tanC=，∴AD=，∴S△ACD=AC?AD=×2×=，∵S△ABC=AB?AC?sin∠BAD=×4×2×=2，∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2﹣=18．（12分）（2017?新課標Ⅲ）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？知識點：離散型隨機變量及其分布難度：中等解析：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X=200）==，P（X=300）=，P（X=500）==，∴X的分布列為：X200300500P（2）當n≤200時，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，當200＜n≤300時，若x=200，則Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，則Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=（800﹣2n）+=+160，∴EY≤×300+160=520，當300＜n≤500時，若x=200，則Y=800﹣2n，若x=300，則Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴當n=300時，（EY）max=640﹣×300=520，若x=500，則Y=2n，∴EY=×（800﹣2n）+（1200﹣2n）+×2n=640﹣，當n≥500時，Y=，EY=（800﹣2n）+（1200﹣2n）+（2000﹣2n）=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．綜上，當n=300時，EY最大值為520元．19．（12分）（2017?新課標Ⅲ）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．知識點：立體幾何綜合難度：中等解析：（1）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD．∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC．△ABD與△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜邊，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：設(shè)點D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE．則=．∵平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，∴===1．∴點E是BD的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨取AB=2．則O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．設(shè)平面ADE的法向量為=（x，y，z），則，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量為=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值為．20．（12分）（2017?新課標Ⅲ）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，﹣2），求直線l與圓M的方程．知識點：圓錐曲線綜合問題難度：較難解析：方法一：證明：（1）當直線l的斜率不存在時，則A（2，2），B（2，﹣2），則=（2，2），=（2，﹣2），則?=0，∴⊥，則坐標原點O在圓M上；當直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+1）x+4k2=0，則x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，則y1y2=﹣4，由?=x1x2+y1y2=0，則⊥，則坐標原點O在圓M上，綜上可知：坐標原點O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣3my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=﹣4，則（y1y2）2=4x1x2，則x1x2=4，則?=x1x2+y1y2=0，則⊥，則坐標原點O在圓M上，∴坐標原點O在圓M上；（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=﹣4，圓M過點P（4，﹣2），則=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由?=0，則（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，當k=﹣2時，直線l的方程為y=﹣2x+4，則x1+x2=，y1+y2=﹣1，則M（，﹣），半徑為r=丨MP丨==，∴圓M的方程（x﹣）2+（y+）2=．當直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x﹣2，同理求得M（3，1），則半徑為r=丨MP丨=，∴圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，綜上可知：直線l的方程為y=﹣2x+4，圓M的方程（x﹣）2+（y+）2=或直線l的方程為y=x﹣2，圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．21．（12分）（2017?新課標Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．知識點：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用難度：較難解析：（1）因為函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以當a≤0時f′（x）＞0恒成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，這與f（x）≥0矛盾；當a＞0時令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，即f（x）min=f（a），又因為f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（2）由（1）可知當a=1