2022年高考沖刺文科數(shù)學(xué)(江西卷)

2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(江西卷)第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2013江西，文1)復(fù)數(shù)z＝i(－2－i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：D解析：z＝i(－2－i)＝1－2i，在復(fù)平面上的對應(yīng)點為(1，－2)，在第四象限，故選D.2．(2013江西，文2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝()．A．4B．2C．0D．答案：A解析：當(dāng)a＝0時，顯然不成立；當(dāng)a≠0時．由Δ＝a2－4a＝0，得a3．(2013江西，文3)若，則cosα＝()．A．B．C．D．答案：C解析：cosα＝.故選C.4．(2013江西，文4)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()．A．B．C．D．答案：C解析：從A，B中各任取一個數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6種情況，其中兩個數(shù)之和為4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率為.故選C.5．(2013江西，文5)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．答案：D解析：所取的5個個體依次為08,02,14,07,01.故選D.6．(2013江西，文6)下列選項中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范圍是()．A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案：A解析：原不等式等價于①或②①無解，解②得x＜－1.故選A.7．(2013江西，文7)閱讀如下程序框圖，如果輸出i＝4，那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是()．A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜答案：B解析：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，結(jié)束．所以填入的條件是“S＜9”．故選B.8．(2013江西，文8)一幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為()．A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π答案：A解析：由三視圖可知，該幾何體是由一個長方體及長方體上方的一個半圓柱組成．所以體積V＝4×10×5＋×π·32·2＝200＋9π.故選A.9．(2013江西，文9)已知點A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|∶|MN|＝()．A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3答案：C解析：射線FA的方程為x＋2y－2＝0(x≥0)．如圖所示，知tanα＝，∴sinα＝.由拋物線的定義知|MF|＝|MG|，∴.故選C.10．(2013江西，文10)如圖，已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1m的圓O在t＝0時與l2相切于點A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y＝cosx，則y與時間t(0≤t≤1，單位：s)的函數(shù)y＝f(t)的圖像大致為()．答案：B解析：假設(shè)經(jīng)過t秒后，圓心移到O1，則有∠EO1F＝2∠AO1F，且cos∠AO1F而x＝1·∠EO1F，∴y＝cosx＝cos∠EO1F＝cos2∠AO1F＝2cos2∠AO1F－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1＝2(t－1)2第Ⅱ卷二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標原點，則α＝________.答案：2解析：切線斜率k＝＝2，又y′＝αxα－1在點(1,2)處，y′|x＝1＝α，故α＝2.12．(2013江西，文12)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．答案：6解析：由題意知每天植樹的棵數(shù)組成一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.13．(2013江西，文13)設(shè)f(x)＝sin3x＋cos3x，若對任意實數(shù)x都有|f(x)|≤a，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：[2，＋∞)解析：∵f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin∈[－2,2]，又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥2.14．(2013江西，文14)若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________．答案：解析：圓心在直線x＝2上，所以切點坐標為(2,1)．設(shè)圓心坐標為(2，t)，由題意，可得4＋t2＝(1－t)2，∴，半徑.所以圓C的方程為.15．(2013江西，文15)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．答案：4解析：作FO⊥平面CED，則EO⊥CD，F(xiàn)O與正方體的側(cè)棱平行，所以平面EOF一定與正方體的左、右側(cè)面平行，而與其他四個面相交．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．(2013江西，文16)(本小題滿分12分)正項數(shù)列{an}滿足：－(2n－1)an－2n＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)令，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.答案：（1）an＝2n；（2）Tn解析：(1)由－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正項數(shù)列，所以an＝2n.(2)由an＝2n，，則，.17．(2013江西，文17)(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若，求的值．答案：（1）略；（2）解析：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因為sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．(2)由，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以.

18．(2013江西，文18)(本小題滿分12分)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖)這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．答案：（1）－2，－1,0,1；（2），解析：(1)X的所有可能取值為－2，－1,0,1.(2)數(shù)量積為－2的有·，共1種；數(shù)量積為－1的有·，·，·，·，·，·，共6種；數(shù)量積為0的有·，·，·，·，共4種；數(shù)量積為1的有·，·，·，·，共4種．故所有可能的情況共有15種．所以小波去下棋的概率為；因為去唱歌的概率為，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝.19．(2013江西，文19)(本小題滿分12分)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E為CD上一點，DE＝1，EC＝3.(1)證明：BE⊥平面BB1C(2)求點B1到平面EA1C1答案：（1）略；（2）解析：(1)證明：過B作CD的垂線交CD于F，則BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，F(xiàn)C＝2.在Rt△BFE中，BE＝.在Rt△CFB中，BC＝.在△BEC中，因為BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，所以BE⊥平面BB1C(2)解：三棱錐EA1B1C1的體積V＝AA1·＝.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝同理，EC1＝，A1E＝.故＝.設(shè)點B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1A1V＝·d·＝，從而，.

20．(2013江西，文20)(本小題滿分13分)橢圓C：(a＞b＞0)的離心率，a＋b＝3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k答案：（1）；（2）略解析：(1)因為，所以，.代入a＋b＝3，得，a＝2，b＝1.故橢圓C的方程為.(2)方法一：因為B(2,0)，P不為橢圓頂點，則直線BP的方程為y＝k(x－2)，①①代入，解得P.直線AD的方程為：.②①與②聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點共線知，解得N.所以MN的斜率為m＝，則2m－k＝(定值)．方法二：設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，±2)，則，直線AD的方程為：，直線BP的方程為：，直線DP的方程為：，令y＝0，由于y0≠1可得N，聯(lián)立解得M，因此MN的斜率為m＝＝＝＝，所以2m－k＝＝＝＝＝(定值)．

21．(2013江西，文21)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝a為常數(shù)且a∈(0,1)．(1)當(dāng)時，求；(2)若x0滿足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為f(x)的二階周期點．證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x1，x2；(3)對于(2)中的x1，x2，設(shè)A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2,0)，記△ABC的面積為S(a)，求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值．答案：（1）；（2）證明略，，；（3）最小值為，最大值為解析：(1)當(dāng)時，，.(2)f(f(x))＝當(dāng)0≤x≤a2時，由解得x＝0，因為f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二階周期點；當(dāng)a2＜x≤a時，由解得∈(a2，a)，因，故為f(x)的二階周期點：當(dāng)a＜x＜a2－a＋1時，由(x－a)＝x解得∈(a，a2－a＋1)，因