2023年雅可比迭代實(shí)驗(yàn)報(bào)告

雅可比迭代法求解線性方程組的實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、實(shí)驗(yàn)題目分別運(yùn)用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解以下線性方程組：10.x：1-x2-2xy=7.2〈一X]+10々-2x3=8.3-x1-x2+5x3-4.2使得誤差不超過0.00001。二、實(shí)驗(yàn)引言.實(shí)驗(yàn)?zāi)康蘑僬莆沼玫ㄇ蠼饩€性方程組的基本思想和環(huán)節(jié)，熟悉計(jì)算機(jī)fortran語言；②了解雅可比迭代法在求解方程組過程中的優(yōu)缺陷。.實(shí)驗(yàn)意義雅克比迭代法就是眾多迭代法中比較早且較簡(jiǎn)樸的一種，求解方便實(shí)用。三、算法設(shè)計(jì).雅可比迭代法原理：A設(shè)有線性方程組AX=b滿足％.工()，將方程組變形為：x=Bx+f,則雅可比(Jac。bi)迭代法是指即由初始解逐步迭代即可得到方程組的解。算法環(huán)節(jié)如下：環(huán)節(jié)1.給定初始值4°),只°),...,匕°),精度?,最大允許迭代次數(shù)M,令k=l。環(huán)節(jié)2.對(duì)i=1,2,…，n依次計(jì)算凡=s廠Z%x/)/&(%w(),i=1,2,…，n)j=i7*?4=1靖7：°)1靖fx；0)環(huán)節(jié)3.求出e=max{,},若e<c,則輸出結(jié)果x「)(i=1,2,...,n),停止計(jì)算。否1</</?則執(zhí)行環(huán)節(jié)4.環(huán)節(jié)4.若Z<MM+1f太轉(zhuǎn)環(huán)節(jié)2繼續(xù)迭代。若kNM,表白迭代失敗，停止計(jì)算。.算法流程圖四、程序設(shè)計(jì)programjacobiimp!icitnoneinteger:：i,jinteger::ksavekrea1,parameter::e=0.001integer,paramete亡：n=3real:：x(n),y(n),b(n)datab/7.2,8.3,4.2/rcal::Dreal::a(n,n)open(unit=10,file='1.txt')dataa/10,-1,-1,-2,-2,5/write(10,*)”**********矩陣A的形式為****火*****”write(10,"(lx,3f6.2,/)")aforall(i=l:n)x(i)=0endforallk=0I00D=0doi=1,ny(i)=b(i)doj=1,nif(i/=j)y(i)=y(i卜a(i,j)*x(j)。enddo。y(i)=y(i)/a(i,i)enddo。doj=l,n3D=abs(x(j)—y(j))oenddofora1I(i=1:n)x(i)=y(i)endfora11。if(D>=e)then。k=k+1write(10,*)”迭代次數(shù)為二ksgoto100。elsegoto200endif2(x)writc(1(),*)"****************************************”write(10,*)"用jacobi方法解得的結(jié)果X[t]為:"owrite(10,"(lx,3f6.2,/)")x(:)stop。endprograin五、結(jié)果及討論1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果**********矩陣A的形式為**********10.00-1.00-1.00-1.0010.00-1.00-2.00-2.005.00TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"迭代次數(shù)為：1\o"CurrentDocument"迭代次數(shù)為：2\o"CurrentDocument"迭代次數(shù)為：3\o"CurrentDocument"迭代次數(shù)為：4迭代次數(shù)為：5迭代次數(shù)為：6迭代次數(shù)為：7****************************************用jacobi方法解得的結(jié)果X卬為：1.101.201.302.討論分析⑴誤差從上述輸出結(jié)果中可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)k增大時(shí)，迭代值X|,yi，Z]會(huì)越來越逼近方程組的精確解x=1.0,y=1.2,z=1.3o(2)收斂性在本題目中，用雅可比迭代法和高斯―塞德爾迭代法分別求解該線性方程組,得到的近似根是收斂的六、算法評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：迭代法算法簡(jiǎn)樸,編制程序比較容易。缺陷:迭代法規(guī)定方程組的系數(shù)矩陣有某種特殊性質(zhì)(譬如是所謂對(duì)角占優(yōu)陣)以保證過程的收斂性。高斯一塞德爾迭代法比雅可比迭代法收斂快（達(dá)成同樣的精度所需迭代次數(shù)少），但這個(gè)結(jié)論，在一定條件下才是對(duì)的，甚至有這樣的方程組，雅可比方法收斂，而高斯一塞德爾迭代法卻是發(fā)散的。在雅可比迭代法求解線性方程組時(shí)，只要誤差截?cái)嘣O(shè)計(jì)的合理，原則上可以得到很對(duì)的的解。而通常我們選取設(shè)計(jì)誤差限或設(shè)計(jì)最大迭代次數(shù)的方法來控制。由于它的準(zhǔn)確性，故在實(shí)際應(yīng)用中比較常見，對(duì)于解一般線性方程組非常有效準(zhǔn)確。通過該算法以及編程對(duì)求解的過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，雅克比迭代法的優(yōu)點(diǎn)明顯，計(jì)算公式簡(jiǎn)樸，每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的乘法，且計(jì)算過程中原始矩陣A始終不變,比較容易并行計(jì)算。然而這種迭代方式收斂速度較慢,并且占據(jù)的存儲(chǔ)空間較大,所以工程中一般不直接用雅克比迭代法,而用其改善方法。附：高斯一賽德爾程序programG-Simplicitnoneinteger：：i,jiniege亡：ksavekreal,parameter::e=0.00Iinteger,parameter：:n=3rea1:：x(n),y(n),b(n)datab/7.2,8.3,42real:：DreaI::a(n,n)opcn(unit=10,filc-1.txt*)dalaa/1-1,-2,-2,5/*木木木*水矩陣a的形式為求****水*求*write(10,"(lx,3f6.27)")aforal1(i=l:n)x(i)=0endfora1Ik=0100D=0doi=l,n0y(i)=b(i)doj=1>n。if(i<j)y(i)=y(i)-a(ij)*x(j)if(i>j)y(i)=y(i)-a(ij)*y(j)。enddo°y(i)=y(i)/a(i,i)enddodoj=l,n，D=abs(x(j)—y(j))enddofora11(i=l:n)x(i)=y(i)endforallif(D>=e)thenk=k+i。write(10,*)”迭代次數(shù)為：",k

?goto100§elsegoto200endif200wr沁([0,*)******************************************write(lo,*)”用Gauss-seide1方法解得的結(jié)果X[t]為:"write(10,"(lx,3f6.2,/)“)x(：)3stopendprogram**********矩陣人的形式為**********10.00-1.00-LOO-1.001